非線性邊界條件下擬線性瞬態方程組的Phragmén-Lindel?f 型二擇一結果

李遠飛，肖勝中，曾鵬，歐陽柏平

（1.廣州華商學院，廣東 廣州 511300；2.廣東農工商職業技術學院,廣東 廣州 510507）

1856 年SAINT-VENANT［1］提出的數學和力學方程，后被稱為Saint-Venant 原理，廣受應用數學領域研究者的關注和深入研究。其含義為“能量”隨與柱體有限端距離的增大逐漸衰減為零［2-7］。幾乎所有的研究均需要方程的解在無窮遠處衰減于零或趨近于瞬態層流的先驗假設，且通常假設在柱體的側面滿足零邊界條件。

20世紀90 年代后，Phragmén-Lindel?f 型二擇一原理被提出，并逐步成為研究熱點，不必再假設方程的解滿足Saint-Venant 原理，只要證明“能量”隨與柱體有限端距離的增加要么無限增大要么衰減為零。Phragmén-Lindel?f 型二擇一原理在物理學、力學和生物學等領域具有巨大的應用前景［8-14］。

通常的做法是先定義一個半無窮的柱體：

其中，D為x1Ox2平面上的一個有界區域且具有光滑的邊界?D。用Rz表示R的一個子區域：

其中，z為x3軸上的一個動點。用Dz表示R在x3=z處的橫截面：

假設方程的解在柱體的有限端滿足非零邊界條件，在柱體的側面滿足齊次Dirichlet 邊界條件或齊次Neumann 邊界條件。用微分不等式技術證明“能量”要么呈指數式（多項式）增加，要么呈指數式（多項式）衰減。如LIN［13］考慮了定義在R×(0，∞)上的穩態擬線性方程

對非線性項做一定限制，可得到解的二擇一定理。考慮瞬態擬線性方程

在柱體側面施加非齊次Dirichlet 邊界條件

其中，h（u）為已知函數。在柱體的有限端，有

式（3）中，g為大于零的給定函數且滿足兼容性條件g=0，在D0×(0，∞)和g（x1，x2，0）=0。

實際情況是研究的物理模型很難滿足齊次邊界條件，因此本研究更有意義。據知，目前除文獻［8，11］外，很少見關注非齊次邊界條件下二擇一拋物問題的文獻。文獻［8］研究的是三維柱體上調和方程的二擇一拋物問題，文獻［11］則假設調和方程在柱體側面滿足不同的非零邊界條件，得到解的二擇一定理。本文的模型更復雜，無法直接應用文獻［8，11］中的方法。

1 基本不等式

在研究二擇一問題時，大多文獻通常用?w的L2積分控制w的L2積分，即若w|?D=0，則

為證明本文的主要結果，結合文獻［5，8］的方法，推導常用的微分不等式。

引理1存在一個依賴于區域D的大于零的常數C1，使得

證明設P為D內一點。令P1和P2分別表示過點P平行于x1坐標軸的直線與?D的交點，令Q1和Q2分別為過點P平行于坐標軸x2的直線與?D的交點。首先，注意到

接下來，定義能量表達式，然后利用微分不等式技術推導關于此能量表達式的一階微分不等式，得到解的二擇一結果。

由式（1），可得恒等式

2 二擇一結果

分以下3 種情形分析式（17）。

由式（13）和式（31），可得到以下定理。

定理2假設u是式（1）～式（4）的解，且p=1，則當z沿x3軸趨近于∞時，u要么呈指數式增長，要么呈指數式衰減，即要么式（33）成立，要么式（35）成立。

定理3假設u是式（1）～式（4）的解，且p>1，則當z沿x3軸趨近于∞時，u要么呈指數式增長，要么呈指數式衰減，即要么式（33）成立，要么式（35）成立。

顯然，在衰減情形下，Φ(0)，Q0均與?E(0，t)有關。因此，要使定理1～定理3 都有意義，須證明?E(0，t)有界。

3 全能量估計

為在衰減情形下，推導全能量E(0，t)的上界，首先假設

其中，ε3為大于零的任意常數。取適當的ε1，ε2和ε3，使得

再由Φ0和Q0的定義，易得其上界。

4 總結

首先推導了引理1，假設式（1）～式（4）在柱體側面滿足非齊次Dirichlet 條件，利用引理1 并運用微分不等式技術，得到了解的二擇一結果。事實上，經必要的修正，本文的結論也適合非齊次Neumann邊界條件。顯然，本文結論是對文獻［13］的推廣，研究方法和結果可為進一步研究復雜模型提供借鑒。

今后，可繼續進行更深層次的研究，如研究文獻［16］中的模型

以及文獻［17］中變系數熱量方程