“多變的全等三角形”教學(xué)研究

鄧筱涵

［摘 要］文章通過“多變的全等三角形”的課例展示，介紹如何運(yùn)用一題多變進(jìn)行變式設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生找到分析數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的方法，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

［關(guān)鍵詞］全等三角形；一題多變；學(xué)習(xí)動力

［中圖分類號］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2022）23-0004-03

“全等三角形的判定”是初中平面幾何中的核心內(nèi)容，是判斷線段相等和角相等的重要依據(jù)，是研究幾何圖形不可或缺的工具。因此，學(xué)生熟練掌握全等三角形的判定方法及其應(yīng)用非常重要。初中階段著重探究的兩個平面圖形的關(guān)系是全等與相似，而全等又是相似的一種特殊情況，所以能夠靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和判定方法，是學(xué)生掌握相似三角形的基礎(chǔ)。

一、目標(biāo)和目標(biāo)分析

（一）目標(biāo)

（1）使學(xué)生掌握全等三角形的性質(zhì)和判定方法，能靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和判定方法解決問題；

（2）讓學(xué)生從基本圖形入手，學(xué)會利用圖形變換探究數(shù)學(xué)問題。

（二）目標(biāo)分析

圖形是多變的，教師在講解圖形知識時若僅設(shè)置大量問題讓學(xué)生解決，然后就題論題進(jìn)行講解，往往會增加學(xué)生的壓力，讓學(xué)生在“題海”面前失去信心，進(jìn)而導(dǎo)致學(xué)習(xí)動力減弱，而采用一題多變的方法能有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

（一）重點(diǎn)

能靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和判定方法，通過圖形變換加強(qiáng)數(shù)學(xué)變式的理解。

（二）難點(diǎn)

對全等三角形問題變式的理解。

三、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)提問，展示母題

問題1：如圖1，[AB=AD]，[BC=CD]，[△ABC]和[△ADC]全等嗎？為什么？圖中有相等的角嗎？為什么？

師生活動：學(xué)生通過獨(dú)立思考回答問題，明確每一個解題步驟的理論依據(jù)；教師指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)全等三角形的性質(zhì)和判定方法，繪制相關(guān)思維導(dǎo)圖（如圖2），總結(jié)圖形中通常隱含的條件——公共邊、公共角、對頂角。

解：[△ABC]和[△ADC]全等，理由如下。

在[△ABC]和[△ADC]中，

[AB=AD，BC=CD，AC=AC，]

[∴△ABC?△ADC（SSS）]

[∴∠B=∠D]，[∠BAC=∠DAC]，[∠ACB=∠ACD]。

設(shè)計(jì)意圖：利用本題回顧全等三角形的性質(zhì)和判定方法，總結(jié)如何根據(jù)已知條件選擇全等三角形的判定方法，為一題多變打下知識基礎(chǔ)。

（二）一題多變，引入新課

問題2：將圖3右邊的三角形沿著[AC]邊向上平移，得到一個新的圖形，[AB=DE]，[BC=DF]，此時可以說明[△ABC]和[△DEF]全等嗎？

學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)沒有公共邊，缺少一個條件，無法證明兩個三角形全等，自然而然地想到需要添加條件。那么需要添加什么條件才能使這兩個三角形全等呢？

分析：已知兩邊，找夾角或找第三邊或找直角。本題可以添加夾角相等利用SAS判定全等，或者添加第三邊相等利用SSS判定全等。因此，需添加[∠B=∠D]或[AC=EF]。

設(shè)計(jì)意圖：通過平移變換，化靜態(tài)為動態(tài)，使圖形“動”起來，啟發(fā)學(xué)生觀察圖形之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)變化之后依然存在三角形全等的關(guān)系，從變中觀察出不變。

問題3：將圖1右邊的三角形繞點(diǎn)[A]順時針旋轉(zhuǎn)，使一邊落在[AB]上，如圖4所示，此時[AB=AD]，添加什么條件，能使[△ABC]和[△ADE]全等？利用了哪些判定方法？

教師先讓學(xué)生盡可能把自己想到的條件添加進(jìn)來，再判斷正誤，最后引導(dǎo)學(xué)生從邊和角兩個角度分類討論進(jìn)行添加。

分析：隱含有公共角，屬于“已知一邊一角”的情況，可以通過添加一邊或一角，注意邊角的位置關(guān)系，利用SAS，AAS，ASA來證明。因此，需添加邊[AC=AE]，或添加角[∠B=∠D]，或添加角[∠ACB=∠AED]。

設(shè)計(jì)意圖：由平移變換變成旋轉(zhuǎn)變換，啟發(fā)學(xué)生從多個角度對圖形進(jìn)行變形，讓學(xué)生觀察圖形變形之后什么變了、什么沒變，讓學(xué)生學(xué)會建立圖形之間的聯(lián)系，進(jìn)一步拓寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生一題多變的能力。

問題4：繼續(xù)順時針旋轉(zhuǎn)三角形，使[∠CAD=∠EAB]，如圖5，此時[AB=AD]，[AC=AE]，你可以證明[BC=DE]嗎？

師生活動：學(xué)生觀察問題3與問題4之間的區(qū)別與聯(lián)系。

分析：題目間接考查全等三角形的判定方法，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)得到線段相等，利用全等來證明線段相等是比較常用的方法。在全等三角形判定的過程中由已知條件不是直接得到夾角相等，而是利用等式的性質(zhì)，等式兩邊加上同一個角證明夾角相等，這也是常用的技巧。

證明：∵[∠CAD=∠EAB]，

∴[∠CAD+∠BAD=∠EAB+∠BAD]，

即[∠CAB=∠EAD]，

在[△ABC]和[△ADE]中，

[AB=AD，∠CAB=∠EAD，AC=AE，]

∴[△ABC?△ADE（SAS）]，

∴[BC=DE]。

設(shè)計(jì)意圖：從問題3到問題4是從特殊到一般，從特殊到一般是研究客觀事物和解決問題時常用的數(shù)學(xué)思想方法，它是通過研究特殊情況來求得一般情況下的結(jié)論。有些數(shù)學(xué)知識比較抽象，直接讓學(xué)生掌握有一定難度，而從特殊情況入手，可使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探討新知識的興趣，進(jìn)而達(dá)到教學(xué)目的。

問題5：如圖6，繼續(xù)順時針旋轉(zhuǎn)三角形，已知[∠DAE=∠BAC]，[AB=AD]，[AC=AE]，連接[BE]，[CD]，請問[BE]和[CD]有什么數(shù)量關(guān)系？

師生活動：學(xué)生書寫證明過程，教師提醒幾何解題的規(guī)范格式。

分析：問題5中隱含著兩對全等三角形，引導(dǎo)學(xué)生找對全等三角形，即可解決問題。

解：[BE=CD]，理由如下。

∵[∠DAE=∠BAC]，

∴[∠BAC+∠BAD=∠DAE+∠BAD]，

即[∠CAD=∠EAB]，

在[△ABE]和[△ADC]中，

[AB=AD，∠EAB=∠CAD，AC=AE，]

[∴△ABE?△ADC（SAS）]，

[∴BE=CD]。

設(shè)計(jì)意圖：通過圖形的變換使學(xué)生感受一題可以多變，可以轉(zhuǎn)化成新的題目，但萬變不離其宗，解題的關(guān)鍵在于從復(fù)雜的圖形中找出全等三角形。

（三）活動探究，合作領(lǐng)悟

問題6：通過上述活動，你們已經(jīng)初步體會了有趣的一題多變、一圖多變。你們是否可以把例題中的圖形沿著[AC]邊剪開分成兩個三角形，把這兩個三角形任意組合成一個新的圖形，然后命題并解答？

預(yù)設(shè)得到的圖形（如圖7）：

師生活動：教師組織學(xué)生以小組合作的形式探究、解決問題，并讓小組派代表展示，其他小組進(jìn)行點(diǎn)評，教師最后進(jìn)行總結(jié)。

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過一題多變，能得到常見的圖形，不但增加了學(xué)生的圖形儲備，而且建立了圖像間的聯(lián)系，還培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識和發(fā)散性思維能力。經(jīng)過本環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，學(xué)生的學(xué)習(xí)由被動轉(zhuǎn)為主動，學(xué)生也產(chǎn)生了自主研究的需要，經(jīng)過小組協(xié)作學(xué)生體驗(yàn)到了合作學(xué)習(xí)的快樂，并體會到了成功的快樂，進(jìn)而提高了學(xué)習(xí)能力。

（四）課堂小結(jié)，鞏固提升

問題7：本節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些知識？掌握了哪些研究圖形的方法？還有什么疑惑的地方？

學(xué)生回答：

（1）掌握了全等三角形的性質(zhì)和判定方法及其運(yùn)用；

（2）通過一題多變，理解了在解題時要抓住本質(zhì)的東西，要善于從復(fù)雜圖形中提取基本圖形；

（3）經(jīng)歷了圖形的變化過程，學(xué)會了在解題時如何去研究問題，從而得到一類問題的解法。

設(shè)計(jì)意圖：通過指導(dǎo)學(xué)生對本節(jié)課的重難點(diǎn)加以歸納，使得學(xué)生能夠抓住知識重點(diǎn)，梳理學(xué)習(xí)的過程，提煉一題多變的方法，培養(yǎng)學(xué)生歸納概括的能力。

（五）布置作業(yè)，延伸興趣

做教科書第56頁第7題、第9題（題目略），并將第7題進(jìn)行變式，自主命題并解題。

（六）板書設(shè)計(jì)（如圖8）

四、教學(xué)反思

學(xué)生的學(xué)習(xí)動力可分為內(nèi)部動力和外部動力，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中關(guān)注的是數(shù)學(xué)知識是否使其感興趣，知識的呈現(xiàn)方式是否被其所接受，教師作為外部動力因素之一就影響著學(xué)生的內(nèi)部動力。因此，教師必須在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中啟發(fā)學(xué)生產(chǎn)生對數(shù)學(xué)的需要和興趣，讓學(xué)生不斷地在學(xué)習(xí)活動中感受到成功的快樂，從而增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

本節(jié)課的課題為“多變的全等三角形”，比較生動有趣，賦予全等三角形生命力，拉近數(shù)學(xué)與學(xué)生之間的距離，學(xué)生會產(chǎn)生好奇：全等三角形會發(fā)生怎樣的變化？在教學(xué)時，教師可采用幾何畫板動態(tài)展示三角形變化的過程，使靜態(tài)的圖形運(yùn)動起來，讓學(xué)生體會到原來圖形之間是有聯(lián)系的，每一個原本看起來孤立的圖形，實(shí)際上都是由一個基本圖形演變而來。一題多變的設(shè)計(jì)可以幫助學(xué)生找到研究數(shù)學(xué)的方法，并學(xué)會舉一反三、觸類旁通，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。在題目的設(shè)置方面也不拘泥于簡單的證明，而是設(shè)置了開放式的答案，有助于訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維。

通過上述一題多變的體驗(yàn)，學(xué)生初步掌握了進(jìn)行一題多變，玩轉(zhuǎn)兩個全等三角形的方法。在活動探究、合作學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，教師給學(xué)生搭建了一個充分展示自我的平臺，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在合作學(xué)習(xí)過程中，后進(jìn)生可以變化圖形，優(yōu)等生可以設(shè)置題目，中等生可以解答題目，使得各個層次的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上都獲得了不同的發(fā)展，也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力。教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)置一改單調(diào)、古板、重復(fù)的傳統(tǒng)解題教學(xué)模式，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有趣味性，使學(xué)生能感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂，使學(xué)生的思維更有活力。

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）