利用展開圖培養直觀想象能力研究

韋香蘭

［摘 要］立體幾何中的最值問題常常需要將幾何體或旋轉體展開成平面圖形（空間問題平面化），再利用平面幾何的知識來解決。立體幾何的最值問題是高考數學的常考點，它不僅考查學生立體幾何知識的綜合運用，還考查學生的直觀想象能力。對于立體幾何中的最值問題，很多教師都進行了深入研究，并提出了解決的方法。文章結合立體幾何中求線段和的最值問題，基于立體幾何的展開圖探討學生直觀想象能力的培養策略。

［關鍵詞］直觀想象能力；立體幾何；展開圖

［中圖分類號］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻標識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2022）23-0023-03

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養。直觀想象是數學學科核心素養的六大內容之一。數學教學很重要的一點就是培養學生的直觀想象能力，因為數學的結論常常是“看”出來的，不是“證”出來的，這種“看”依賴的就是數學直觀。因此，直觀想象的教育價值在于提升學生數形結合的能力，發展幾何直觀和空間想象能力，增強運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識。在立體幾何的學習中，培養學生的直觀想象能力尤為重要，因為學生若“看”不出立體圖形中的線、面、角之間的關系，解題時就會無從下手。向量法指引一部分學生解決了難題。然而，任何一種方法都不是萬能的，仍有一部分題目用向量法求解并不簡單，特別是展開圖問題、折疊問題、不規則圖形問題。運用向量法需要學生有較強的計算能力以及能較好地掌握向量的概念及性質。因此，對于傳統幾何法的探究仍是高中教師教學的重點。而注重提高學生的直觀想象能力，讓學生學會利用圖形描述問題，抓住問題的本質，把握立體圖形中各元素之間的關系，建立形與數的聯系，尋求問題解決思路等則是教學的目標。那么，教師在立體幾何展開圖問題的教學中應如何將復雜的立體幾何問題平面化，幫助學生有效解決立體幾何問題呢？下面筆者以立體幾何中的線段和的最值為例，由淺入深，通過不同類型的題目，反思如何將立體幾何問題平面化，抓住問題的本質，解決實際問題。

一、立體幾何展開圖中常見的問題及解決方法

（一） 在表面上爬行問題

［例1］如圖1，在直三棱柱[ABC-A1B1C1]中，[△ABC]為直角三角形，[∠ABC=90°]，[AC=4]，[BC=CC1=3]，[P]是[BC1]上一動點，若一小蟲沿其表面從點[A1]經過點[P]爬行到點[C]，則其爬行路程的最小值為________________________。

分析：由于小蟲沿表面爬行，展開方式有以下幾種可能。

（1）若沿圖2所示的展開圖爬行，當[P]在[C1]處時，爬行路程的最小值為7；

（2）若沿圖3所示的展開圖爬行，當[P]是[BC1]與[A1C]的交點時，爬行路程的最小值為[73]；

（3）若沿圖4所示的展開圖爬行，當[P]在[C1]處時，爬行路程的最小值為7。因此，最短的爬行路程為7。

解決此類問題的關鍵是引導學生發現不同的展開方式，做到不重復、不遺漏。因為爬行的最短路程一定是直線，而在不同的平面很難實現，因此，我們的任務是將[A1]所在的平面和平面[BCC1B1]展開成一個平面，圖中[A1]所在的平面有三個，所以應該是有三種不同的展開方式，畫展開圖的思路變得明朗，同時保證做到不重復、不遺漏。問題轉化為探索平面圖形中的數量關系，通過比較得到最優的爬行方式。本題中需要從實物中抽象出具體的幾何圖形，用圖形探索解決問題的思路。在尋找不同的展開圖的過程中，培養了學生的識圖能力，畫展開圖則需要有較好的作圖能力。而利用圖形解決問題的過程，則培養了學生的直觀想象能力。

（二）各點在同一平面上的最值問題

［例2］如圖5，在棱長為1的正方體[ABCD-A1B1C1D1]中，[E]為線段[B1C]的中點，[F]是棱[C1D1]上的動點，若點[P]為線段[BD1]上的動點，則[PE+PF]的最小值________________________。

分析：[P]，[E]，[F]在同一平面[ABC1D1]上，這樣空間問題就轉化為平面問題。要求線段和[PE+PF]的最小值，只需要[P]，[E]，[F]三點共線，并在一條定直線上求一點[P]，使得線段和最小。該問題中的三點只有[E]為定點，[F]，[P]均為動點，該問題又轉化為點關于直線[BD1]對稱的問題。因此，只需要作[E]關于[BD1]對稱的點[E]，再過[E]作[EF]垂直于[C1D1]于[F]，此時，[EF]與[BD1]交于點[P]（如圖6），這樣就找到了動點[P]與[F]使得線段和最小，此時[PF+PE=PF+PE=FE=C1Q]，最后利用矩形[ABC1D1]的邊的大小關系求[C1Q]的值即可。

解：連接[AD1]，作 [E]關于直線[BD1]的對稱點為[E]，過[E]作[EF⊥C1D1]于[F]，由[AB=1]，[BC1=2]，[∴sin∠C1BD1=33]，[HE=66]，[EE=63]，[EQ=23]，所以[PF+PE=PF+PE=FE=C1Q=EC1+EQ=22+23=526]。

該問題考查學生是否能從立體圖形中抽象出平面圖形，讓抽象的問題直觀化，將立體幾何平面化，同時借助圖形提出數學問題，發現圖形與數量的關系，達到解決實際問題的目的。能借助幾何知識發現三點共面，借助空間想象對幾何圖形進行變換，將數的問題（求線段和的最值）轉化為圖形問題，是解決該問題的關鍵。這類問題能較好地培養學生的識圖、變圖能力，能打開學生的思維空間，能讓學生將圖形中的點、線、面的位置關系看得更加透徹，發展學生的直觀想象能力。

（三）各點不在同一平面上的最值問題

［例3］如圖7，在長方體[ABCD-A1B1C1D1]中，[AB=2]，[BC=AA1=1]，點[M]為[AB1]的中點，點[P]為對角線[AC1]上的動點，點[Q]為底面[ABCD]上的動點（點[P]，[Q]可以重合），則[MP+PQ]的最小值為________________________。

分析：該問題中[M]，[P]，[Q]有2個點是動點，而且不在已知的平面內，而要解決線段和的最小值問題，就要將問題轉化為三點在同一平面上的問題。因此，需要將平面[AB1C1]向上翻折到與平面[ACC1A1]共面，如圖8，[M]為[AB1]的中點，[P]，[Q]分別為[AC1]和平面[ABCD]上的動點，此時[M]，[P]，[Q]三點共面，因此，要求[MP+PQ]的最小值，只需要[M]，[P]，[Q]三點共線即可。

解：將平面[AB1C1]向上翻折到與平面[ACC1A1]共面，過點[M]作直線垂直于[AC]，分別交[AC]和[AC1]于[Q]，[P]兩點，在四邊形[ACC1B1]中，[sin∠CAC1=sin∠C1AB1=12]，[∴sin∠B1AC=32]，[AM=12AB1=32]，[MP+PQ=MQ=34]。

［例4］如圖9，在棱長均為[23]的正四面體[ABCD]中，[M]為[AC]的中點，[E]為[AB]的中點，[P]是[DM]上的動點，[Q]是平面[ECD]上的動點，則[AP+PQ]的最小值是________________________。

分析：類似于例3，將問題轉化為三點在同一平面上的問題。因此，需要將空間圖形進行展開，難點在于如何恰當地展開。[A]是定點，[P]是線段[DM]上的動點，[Q]是平面[DCE]上的動點，我們先考慮，若[P]為線段[DM]上的定點時，[PQ]何時最小。該問題轉化為點面距，如何確定點[Q]的位置呢？我們知道面面垂直可以推出線面垂直，則點[Q]一定在兩垂直平面的交線上。已知[AB⊥平面DCE]，要過[MD]作平面與平面[DCE]垂直，只需過[M]作[MG∥AE]交[CE]于[G]，連接[DG]，則[平面DMG⊥平面DCE]，交線為[DG]，在假定[P]為定點的情況下，過[P]作[PO⊥DG]交[DG]于[O]，[則PO⊥平面CED]（如圖10），此時[AP+PQ≥AP+PO]。下面討論在何種情況下[AP+PO]最小。顯然[A]，[P]，[O]三點共線時，[AP+PO]最小。我們只需將平面[DMA]沿[DM]展開，使平面[DMA']與平面[DMG]共面，注意到△[DMA]，△[DGM]都是直角三角形，展開后△[DMA']仍是直角三角形，過[A]作交線[DG]的垂線交[DM]于[P]，交[DG]于[Q]，此時的[A'P+PQ=A′Q]最小（如圖11）。

解：注意到[DA=DA=23]，[DM=3]，[MG=12AE=32]，[∠A'DM=30°]，[A'Q=23sin∠A'DQ=23sin（30°+∠MDG）=3cos∠MDG+3sin∠MDG]，利用直角三角形[DGM]，就可以求出[AQ=11+32]。

各點都不在同一平面內，同時有兩個動點的問題，綜合性強，解題時學生容易進入誤區，僅憑感覺去判斷點、線、面之間的關系，這是學生在識圖、變圖上掌握得還不夠所導致的。上述解題的關鍵在于如何恰當地展開圖形，在展開圖形時要明確哪些量是變化的，哪些量是不變的，同時分析時還要運用立體幾何中判定共面和垂直等知識來判斷圖形變形后點、線、面之間的關系。

該類問題能很好地培養學生的幾何直觀和空間想象的能力。本題中幾何體線、面多，點在動，是一個相對復雜、抽象的幾何問題，需要對立體幾何圖形進行降維，將立體圖形平面化，讓知識點接近學生的認知域。在平面圖形中尋找圖形與數量之間的關系這一操作過程中，學生體會到了立體幾何思維的嚴謹性，感悟了圖形轉變過程以及轉變后點、線、面之間的變與不變，學生對圖形的認識更加清晰，且能抓住問題的本質，邏輯思維更加縝密，同時大大調動了學生大膽猜想、深入探究的積極性和主動性。

二、在立體幾何教學中培養學生的直觀想象能力

對于立體幾何問題的解決，引發了許多教師的思考，如何培養學生的直觀想象能力，也是高中一線教師研究的熱點。我們知道，直觀想象能力的應用貫穿高中數學大部分章節，如函數、向量、解析幾何，而在立體幾何的學習中直觀想象能力更是必備的。因此，在立體幾何的教學中，教師更要注重學生直觀想象能力的培養。首先，教師要利用實物模型來培養學生的識圖能力。在新教材中，對幾何體的認識都是源于長方體，原因是生活中處處存在長方體，這就提供了豐富的實物模型和現實情境。建立了實物和圖形的聯系。類比對長方體的學習和認識，對其他立體幾何圖形的認識變得自然，能較快找到實物模型和抽象圖形之間的關系，學生識圖能力得到提高，這就是學生直觀想象能力形成的過程。其次，教師要重視利用基本圖形解決立體幾何問題。對學生而言，立體幾何很抽象，線多，角多，面多，線線關系、線面關系、角與角之間的關系總是與自己觀察到的情況不相符，很難發現它們的數量關系。實際上，在空間幾何體中，長方體、正四面體、球是基本圖形，它們在生活中十分常見，如果能把這些基本圖形的組成元素的位置關系搞清楚，并能提煉出本質特征，那么就容易排除干擾，從而順利解題。因此，教師要重視基本圖形的作用，立足從“基本圖形”到“變式圖形”再到“綜合圖形”的教學，在這一過程中，學生的直觀想象能力自然得到培養。再次，教師要重視三種數學語言的表述和轉化。圖形語言、符號語言和文字語言是立體幾何的基本語言，先將文字語言轉化為圖形語言，再用符號語言清晰表達，這是尋求解決問題的基本思路，也是分析和解決問題的基本方法，更是培養學生直觀想象能力的有效策略。最后，對于復雜的立體幾何圖形，應關注圖形的運動、變換，在圖形變換過程中，教師應重視關注線線、線面、角角等基本元素的變化。讓學生在變化中體會到圖形與圖形之間的關系，圖形與數量的關系，形成數學直觀。總之，培養學生的直觀想象能力應滲透在日常教學當中，教師應通過教學實踐來提升學生的直觀想象能力。

［ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻 ? ］

［1］ ?中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ ?魏成年.立體幾何中的展開翻折問題探究［J］.高中數學教與學，2016（12）：38-40.

［3］ ?孫岳煒.立體幾何中的最值問題［J］.數學學習與研究，2019（5）：126.

［4］ ?周丹.高中立體幾何教學中培養學生直觀想象素養的策略［J］.上海中學數學，2022（6）：1-4，26.

（責任編輯 黃桂堅）