利用數學方法求解物理極值問題

江蘇省南通中學（226001）朱 華

著名科學家歐拉說過：“如果宇宙中最大或者最小規律不出現，那么，宇宙間根本不會發生任何情況。”從歐拉的描述中，我們可以看出極值問題在物理學中有著非常重要的意義。在高中物理學習中，也經常需要求極值。有些時候，根據題目所給的物理現象，結合物理概念和規律進行分析，找到符合題目要求的物理量并不簡單，甚至特別復雜，但如果換個角度，利用數學規律和方法，就能快速得到結果。

利用數學方法求解物理極值問題，需要根據物理規律建立數學方程，先將物理問題轉化為數學形式，然后利用各物理量間的數量關系，選用合適的數學規律求解極值。這種方法，對學生的物理建模能力、數學推演能力有較高要求，如果能夠熟練掌握，則能收到事半功倍的效果。

一、建立一元二次方程，利用根的判別式求極值

一元二次方程的根的判別式在數學中通常都是判斷根的情況，放在物理情境中，則能利用方程沒有實數解時Δ <0 這一規律，得出不等式，然后求出對應的物理量的極值。

［例1］某司機駕駛一輛轎車以大小為v1的速度向前行駛，突然發現前方s處有一輛以大小為v2的速度向前勻速行駛的貨車，已知v1>v2。由于前方的道路狹窄無法繞過，于是該司機選擇立即減速。已知轎車的加速度大小為a，為了不與前方貨車相撞，求a的取值。

解析：已知初速度和加速度，可以根據運動學方程列式

由題意可知兩車如果相撞，則滿足條件

聯立以上三式可得：

上式可變形為關于t的二元一次方程，得：

當方程沒有實數解，即Δ=b2?4ac=4(v1?v2)2?8as<0 時，兩車不會相撞，由此可得a>

二、靈活應用三角函數的性質，求解物理最值問題

三角函數的值域問題在高中數學中是考查的熱點，求解方法很多，比如利用均值不等式求值域，合理轉化利用有界性求值域，利用單調性求值域，變換法求值域，等等。但在物理問題中，通常用不到那么復雜的方法，最常見的就是利用三角函數的性質求解。

［例2］如圖1 所示，在不光滑地面上停放著一輛小車，小車右側是一個半徑為R的四分之一圓弧，有質量為m的光滑小球無初速度地從圓弧頂端沿圓軌道面滑下，小車在整個過程中始終保持靜止。求小車受到地面的靜摩擦力最大時小球的位置及當時靜摩擦力的大小。

圖1

解析：光滑小球在四分之一圓弧軌道上的運動可視為圓周運動。設當小車受到地面的靜摩擦力最大時小球所在位置與圓心O的連線與豎直方向夾角為θ，小球速度大小為v，小球受到的支持力為N，根據牛頓第二定律和機械能守恒定律可得：

根據牛頓第一定律，解得小球對小車的壓力大小為：

其在水平方向的分量為：

根據平衡力性質可知，地面對小車的靜摩擦力方向向右，大小為：

根據三角函數的性質可知，當sin 2θ=1 即θ=45°時，小車受到地面的靜摩擦力最大，此時小球所在位置與圓心的連線與豎直方向夾角為45°，最大靜摩擦力為fmax=3mg/2。

三、建立不定式，利用不定式性質求物理問題中的極值

不等式的性質，決定了它是解決很多極值問題最簡潔的方式，當然，也要具體問題具體分析，當無法建立不等式時，就無法使用。在物理問題中，涉及空間關系、幾何關系，或者題給限制條件滿足不等式時，可以直接列式，另外就如例1 中的情況，也可以間接構建不等式。

［例3］如圖2 所示，是一個離子收集器的原理模擬圖。已知，在矩形ACDG（各邊都足夠長）中存在垂直紙面向里的可調節磁感應強度的勻強磁場，離子源射出的離子經靜電場加速后通過處于A點處的狹縫垂直AG邊和磁場方向進入磁場，然后運動到GA邊被收集器分類收集。若被加速的兩種帶電荷量均為+q的離子質量分別為m1和m2，且m1>m2，靜電場電勢差為U，離子進入靜電場時的初速度忽略不計，不考慮離子間的相互作用和重力。

圖2

在實際情境中，由于狹縫存在寬度，且相對于離子的大小來講該寬度不可忽略，因此會造成兩種離子在GA邊上的落點有重疊，從而出現無法完全分離離子的現象。設GA邊的長度為L，狹縫寬度為d（狹縫右邊沿在點A處），為保證離子能夠完全被分離收集，求狹縫寬度d的最大值。

聯立①②兩式得兩種離子在磁場中的軌道半徑為別為：

根據圓周運動規律分析可知，離子在磁場中的運動軌跡是一個半圓，因此其在GA邊上的落點都在其進入磁場的入射點左側2R處。由于狹縫的寬度為d，因此落點區域的寬度也是d。為保證離子能夠完全被分離收集，應滿足條件2(R1?R2)≥d④

四、利用求導法求物理問題中的極值

在高等數學中，函數的極限是基本概念之一，導數等概念都是在函數極限的定義上完成的。導數的求解是求極限的方法：當Δx→0 時f(x)有極限，這個極限叫作f(x)在該點（x=x0）的導數。利用公式可表述為=f′(x)，而這一方法同樣可以在物理求極值問題中得到應用。

［例4］如圖3 所示，現有兩個電荷量均為Q的正點電荷固定在A，B兩點，AB=2L，在AB的中垂線上的C點由靜止釋放一個質量為m、帶電量為q的正檢驗電荷（重力可忽略不計）。試求檢驗電荷運動的最大加速度及在何處達到最大加速度。

圖3

解析：根據靜電場的性質可知，檢驗電荷在AB的中點處所受合力為0，在AB的中垂線上的任意一點它所受合力的方向均是沿著AB的中垂線方向。如圖4 所示，假設檢驗電荷運動到D點，相關數據如圖所示，此時對其受力進行分析可得：

圖4

檢驗電荷的加速度為：

由上式可知，檢驗電荷的加速度a是關于θ的函數，令f(θ)=sinθ?sin3θ

則f(θ)的導數為：

f′(θ)=cosθ?3 sin2θcosθ

令f′(θ)=0，即

cosθ?3 sin2θcosθ=0

五、利用二次函數求物理問題中的極值

在數學中，利用二次函數求極值常用到配方法和頂點坐標法求函數的極大值或極小值。如果在物理問題中能夠建立關于待求物理量的二次函數，即可采用上述方法快速解決極值問題。

［例5］如圖5 所示，在水平桌面上放有一個材質均勻的矩形金屬框abcd，其中矩形框的長為2L、寬為L，金屬框的單位長度電阻值為R0。金屬桿MN材質、粗細與金屬框相同，接觸良好地放在金屬框上。有磁感應強度為B的勻強磁場垂直通過金屬框所在平面。現以b點為原點，bc所在直線為x軸建立坐標系。若金屬桿MN受到沿x軸正方向的外力從金屬框左端以速度v向右勻速運動，不計摩擦力，求：

（1）通過金屬桿MN的電流與坐標x的關系；

（2）金屬桿MN所受外力的最大值與最小值。

解析：（1）設金屬桿MN左側總電阻為R1，右側總電阻為R2，金屬桿的運動位移為x，根據題意可得：

在金屬桿MN運動過程中，它切割磁感線，故其相當于一個電源，產生的感應電動勢為：

根據歐姆定律可得整個回路的總電阻為：

通過金屬桿MN的電流為：

聯立①②③④⑤式可得：

（2）題中金屬桿MN做勻速運動，故外力大小應等于金屬桿所受安培力。

由①②④式可得整個回路的總電阻為：

由二次函數的極值可知，若想外電路總電阻最大，則有：

當外電路總電阻最大時，金屬桿MN中通過的電流最小，即所受安培力最小，最小電流為：

最小安培力為：

當x=0 或x=2L，即金屬桿MN位于金屬框最左端或最右端時，外電路的總電阻最小，此時金屬桿MN中通過的電流最大，即所受安培力最大，最大電流為：

最大安培力為：

數學方法在求解物理極值問題的過程中具有獨特的作用，恰當應用數學方法可以使問題化難為易，化繁為簡，提高解題效率，拓展解題思路。想要做到準確高效，學生不僅需要具備嚴謹的邏輯推理能力，還應具有豐富的想象能力。