基于博弈論的轉(zhuǎn)向與驅(qū)動穩(wěn)定系統(tǒng)協(xié)同控制

劉貽華

（廣東理工學院智能制造學院，廣東肇慶 526100）

0 引言

車輛底盤控制系統(tǒng)的主動安全性能提升歷來是國內(nèi)外研究機構(gòu)的重點研究方向[1-2]。主動安全主動控制系統(tǒng)有多種類型，如防抱死制動系統(tǒng)（ABS）、電動穩(wěn)定程序（ESP）、主動前轉(zhuǎn)向系統(tǒng)（AFS）、差分制動系統(tǒng)（DBS）等，它們可以有效提高不同緊急情況下的車輛安全性和穩(wěn)定性。然而，這些基于轉(zhuǎn)向或基于驅(qū)動/制動的主動控制系統(tǒng)大多是獨立設計和實現(xiàn)相關(guān)功能，每一個主動控制系統(tǒng)都是為了解決一個特定的問題而設計的，沒有考慮其他共存系統(tǒng)相互耦合影響。因此，不同主動控制系統(tǒng)之間可能會產(chǎn)生沖突，例如，基于轉(zhuǎn)向的穩(wěn)定控制系統(tǒng)（AFS），在車輛遇到緊急情況時會產(chǎn)生額外的轉(zhuǎn)向角度來避免發(fā)生碰撞事故。與此同時，同時存在于車輛上的基于制動/驅(qū)動的控制系統(tǒng)（DYC）也會向相應的執(zhí)行機構(gòu)發(fā)出控制命令，由于沒有考慮多個控制子系統(tǒng)耦合影響問題，兩個不同的子系統(tǒng)的響應動作最終可能在一定程度上相互抵消，使車輛的主動安全性能有所降低。

而博弈論協(xié)同控制策略能夠有效地解決不同子系統(tǒng)共存耦合時相互影響造成控制精度下降等問題，目前已經(jīng)在電力市場電能合理供需平衡控制、礦石自燃傾向預測、物流配送優(yōu)化、網(wǎng)絡寬帶控制系統(tǒng)智能控制及汽車驅(qū)動/轉(zhuǎn)向分層協(xié)同控制等領域進行研究與應用。

由于博弈論適用于解決多個決策者之間的沖突問題，本文將底盤控制中的多個子系統(tǒng)合作控制問題轉(zhuǎn)化為多個參與者的博弈問題[3]。針對四輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)（FWS）和主動驅(qū)動控制系統(tǒng)（ADC）之間的潛在沖突問題，本文將FWS和ADC視為博弈論框架中的兩個參與者，在實際應用中，采用線性二次微分方法來處理兩個子系統(tǒng)任務分配的沖突問題，便于通過解析和數(shù)值求解得到最優(yōu)解[4-6]。

為了進一步提高車輛的主動安全和橫向穩(wěn)定性，本文基于博弈論對車輛的轉(zhuǎn)向與驅(qū)動協(xié)同控制問題進行深入研究，主要的創(chuàng)新點有3個方面：首先，采用博弈論方法來處理兩個并行的底盤穩(wěn)定控制系統(tǒng)；其次，采用考慮負載轉(zhuǎn)移影響的加權(quán)轉(zhuǎn)矩分配方法對內(nèi)環(huán)進行控制；最后，采用內(nèi)-外環(huán)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)了所提出的底盤協(xié)同控制方法。

1 全局策略和參考

1.1 全局協(xié)同控制策略

本文所提出的協(xié)同控制策略全局控制結(jié)構(gòu)如圖1所示，它主要由兩個控制回路組成：一個外環(huán)控制器和一個內(nèi)環(huán)控制器。外環(huán)控制器基于博弈論思想，根據(jù)駕駛員的輸入和車輛/道路情況，計算出期望的橫擺力矩和前輪轉(zhuǎn)角。在內(nèi)環(huán)控制器中通過4個獨立驅(qū)動輪之間的轉(zhuǎn)矩分配來實現(xiàn)對橫擺力矩的，所需的轉(zhuǎn)向角度將根據(jù)前輪和后輪轉(zhuǎn)向比執(zhí)行。

圖1 全局控制結(jié)構(gòu)

此外，設計了對比控制器。對底盤控制系統(tǒng)中的FWS和ADC子系統(tǒng)采用線性二次調(diào)節(jié)（LQR）控制，比較兩種控制方法下的車輛主動安全和橫向穩(wěn)定性，以評價所提協(xié)同控制策略的有效性。

1.2 車輛動力學模型

控制器設計采用具有橫向運動和橫擺運動的單軌模型作為參考模型[7]。選擇側(cè)偏角β和橫擺角速度γ來表示車輛的橫向動力學，如下式：

式中：x=[β γ]T為狀態(tài)變量；u=δf為前輪轉(zhuǎn)向輸入。

假設輪胎模型為線性模型，在小轉(zhuǎn)向角情況下保持恒定的縱向速度，則可導出如下常數(shù)矩陣：

式中：Cf和Cr分別為前后軸的車輪側(cè)偏剛度；m為車輛質(zhì)量；Iz為橫擺轉(zhuǎn)動慣量；lf和lr分別為質(zhì)心到前后軸的距離；vx為恒定縱向速度。

2 基于博弈論的協(xié)同策略

2.1 外環(huán)控制器

根據(jù)單軌車輛動力學建立線性二次微分博弈模型[8]，其中兩個參與者分別為FWS和ADC。已知初始狀態(tài)x(t0)=x0時，其狀態(tài)變量x=[β γ]T，計算表達式為：

圖2 單軌車輛動力學模型

的類似假設條件，可以推導出相關(guān)的輸入矩陣：

對于每個參與控制者（i=1，2），二次成本函數(shù)為：

其中，對于i=1，2時，有Qi≥0,Rij＞0，所有加權(quán)矩陣是實對稱的。

根據(jù)納什均衡解的有關(guān)條件，最優(yōu)解對( u*1,u*2)必須滿足：

式中：上標*表示基于博弈問題的納什均衡解。

求解線性二次博弈模型，定義哈密頓函數(shù)為：

根據(jù)龐特里亞金最小原理，應滿足以下必要條件：

根據(jù)式（2）和式（3）定義的線性二次微分博弈策略，可導出一個唯一的開環(huán)納什均衡解，如式（10）所示：

其中Li滿足耦合的非對稱Riccati型微分方程，其具有自由終態(tài)時間和開環(huán)結(jié)構(gòu)，如式（11）：

式（10）中Φ(t,0)滿足如下的轉(zhuǎn)換方程：

此時，只有當耦合Riccati方程（11a和11b）具有穩(wěn)定性解并且式（13）中兩個正態(tài)代數(shù)Riccati方程（13）具有對稱穩(wěn)定解時，給定初始狀態(tài)的納什均衡解存在。

在求解交叉耦合的代數(shù)Riccati方程11（a）和11（b）的過程中引入博弈論方法[5，7，9]，考慮了FWS和ADC相互耦合對車輛穩(wěn)定性控制的影響，能夠使FWS和ADC這兩個底盤穩(wěn)定性控制子系統(tǒng)協(xié)同工作。

為簡化計算過程，將前后輪轉(zhuǎn)向角設定為比例關(guān)系，即δr=k×δf，其中定義的k可使穩(wěn)態(tài)側(cè)偏角收斂到零，其計算表達式如下[10]：

通過求解上述耦合代數(shù)Riccati方程，可以得出基于微分博弈的協(xié)同策略控制變量：

為了說明基于博弈論的控制策略優(yōu)勢，采用了基于LQR的控制策略進行比較，其二次成本函數(shù)定義如下：

其中權(quán)矩陣Q、R為實對稱，且Q≥0,R＞0。假設前后轉(zhuǎn)向角成比例關(guān)系，將輸入簡化為ulqr=[ δf,M]T，后輪轉(zhuǎn)向仍由式（12）確定，則最優(yōu)LQR反饋控制解滿足如下形式：

對于式（1）所示的系統(tǒng)動力學模型，系統(tǒng)常數(shù)矩陣Blqr可以轉(zhuǎn)換為：

式（17）中L滿足Riccati方程，即有：

2.2 內(nèi)環(huán)控制器

在外環(huán)控制器中得到了控制變量δ*f、δ*r和M*，然后分別由相應的執(zhí)行機構(gòu)來實現(xiàn)。對于轉(zhuǎn)向控制，控制變量δ*將直接與FWS通過線控轉(zhuǎn)向（SBW）連接實現(xiàn)轉(zhuǎn)向控制操作。根據(jù)兩個參與者博弈的定義，橫擺力矩M*需要通過線控ADC實現(xiàn)控制。因此，內(nèi)環(huán)控制器的主要工作是通過合理的將驅(qū)動或制動力矩分配給4個輪子來實現(xiàn)所需的橫擺力矩M*。

將橫擺力矩M*的轉(zhuǎn)矩分配問題轉(zhuǎn)化為約束優(yōu)化問題，結(jié)合輪胎利用率[11]的概念，將目標函數(shù)定義為：

其中Tci是分配給第i個輪胎的轉(zhuǎn)矩，i=1，2，3，4分別表示左前、右前、左后和右后。Tci≥0表示驅(qū)動，Tci＜0表示制動。Fzi是每個車輪的法向載荷，0≤ξi≤1是權(quán)重系數(shù)，λ是道路附著系數(shù)，r是車輪有效半徑。其目的是通過僅假定縱向輪胎力來實現(xiàn)外環(huán)控制器中導出的期望橫擺力矩M*，以最大程度地減少輪胎的使用。

式（20）函數(shù)優(yōu)化目標為在僅考慮輪胎縱向力的情況下使得輪胎利用率最小化，以實現(xiàn)外環(huán)控制器中所需的期望橫擺力矩M*。

車輪轉(zhuǎn)矩應滿足以下約束條件[12]：

其中，d是軸距，Tmax是輪內(nèi)電動機可以提供的轉(zhuǎn)矩峰值。

為了簡化和減少變量，根據(jù)等式21（a）和21（b），可以分別用T4和T1表示T2和T3：

將目標函數(shù)式（20）變換為：

為了簡化和便于計算，將同一側(cè)車輪分為一組，也即將每一側(cè)車輪都視為一個單軌模型。因此，分別推導Jc1和Jc2相對于T1和T4的正定函數(shù)，則最優(yōu)解可推導為：

權(quán)重系數(shù)ξi(i=1～4)根據(jù)橫向荷載轉(zhuǎn)移確定[16]，假設每一邊有相同的權(quán)重，即ξ1=3和ξ2=4。

分配給其他兩個車輪的轉(zhuǎn)矩可根據(jù)式（18）計算，與分配轉(zhuǎn)矩相對應的每個車輪正常載荷可以通過以下公式計算[13]：

式中：h表示車輛質(zhì)心高度；ax是縱向加速度；可以直接測得。假設為單軌模型僅需考慮車輛縱向動力學。

由于實際情況并不一定滿足式（21）的約束條件，當上述最優(yōu)問題無解時，轉(zhuǎn)矩分配將簡化為簡單的比例分配策略，即除了式（21）的基本約束外，每個車輪的轉(zhuǎn)矩分配正比于每個車輪的法向載荷，滿足以下方程式[14]：

結(jié)合式（21）（25）和（26），按比例分配的車輪轉(zhuǎn)矩可推導為[15]：

3 仿真結(jié)果及其分析

通過與CarSim/Simulink的聯(lián)合仿真驗證了該協(xié)同控制方法的有效性。在初始速度為80 km/h的低附著系數(shù)路面上進行了雙移線工況測試（DLC），CarSim中內(nèi)置的駕駛員模型用于執(zhí)行DLC控制操作。仿真關(guān)鍵參數(shù)如表1所示。

表1 仿真主要參數(shù)

為了驗證所提控制策略的性能，設置駕駛員預瞄時間為0.5 s，并將仿真結(jié)果與基于微分博弈的控制以及傳統(tǒng)LQR控制進行對比。假設同一軸車輪轉(zhuǎn)向角相同，則δf=δ1=δ3,δr=δ2=δ4，如圖3所示。

圖3 平面運動中的車輛動力學模型

圖4所示為雙移線工況（DLC）時駕駛員模型中的方向盤轉(zhuǎn)角。圖中DGC表示基于微分博弈的控制方法，LQR表示傳統(tǒng)的LQR控制，NoC是指沒有特殊控制，只有CarSim內(nèi)置駕駛員模型施加的轉(zhuǎn)向輸入情況。由圖可知，DGC和LQR兩種情況下的驅(qū)動轉(zhuǎn)向輸入在幅值上非常相似，相位相差較小。在第一次轉(zhuǎn)彎時，LQR轉(zhuǎn)向系統(tǒng)性能較好，而在第二次轉(zhuǎn)彎時，基于微分博弈的轉(zhuǎn)向系統(tǒng)性能較好。Carsim內(nèi)置控制條件下，駕駛員模型的輸出角度在第一次轉(zhuǎn)彎時變得非常大，表明車輛在雙移線工況下已失去橫向穩(wěn)定性。

圖4 CarSim中不同控制方法的方向盤轉(zhuǎn)角

圖5和圖6分別給出了不同控制策略下的側(cè)滑角和橫擺角速度響應。與駕駛員模型轉(zhuǎn)向角相對應，在沒有特殊控制的情況下，車輛會出現(xiàn)較大的側(cè)滑角和橫擺角速度響應。而對于基于微分博弈控制和LQR控制的情況，系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定且響應速度快。相比之下，微分博弈控制的響應幅值比LQR控制的響應幅值要小，在側(cè)滑角和橫擺角速度方面，響應相位與驅(qū)動模型輸入相位基本保持一致。另外，由于兩個并行子系統(tǒng)之間合理分配了控制權(quán)限，基于微分博弈的控制穩(wěn)定性優(yōu)于LQR控制。

圖5 側(cè)偏角響應

圖6橫擺角速度響應

圖7所示為前輪控制轉(zhuǎn)向角變化情況。結(jié)果表明，與基于微分對策的控制相比，LQR控制具有更大的控制權(quán)限。由于后輪的轉(zhuǎn)向角與前輪轉(zhuǎn)向角變化相似只是振幅略有不同，故圖中僅畫出了前輪轉(zhuǎn)向角變化情況。圖8所示為前輪和后輪之間的轉(zhuǎn)向角比，由圖8可知，相變的特征速度約為59.3 km/h。當縱向速度大于59.3 km/h時，后輪轉(zhuǎn)向角與前輪轉(zhuǎn)向角保持相同的相位。當縱向速度小于59.3 km/h時，后輪轉(zhuǎn)向角與前輪轉(zhuǎn)向角相位相反。

圖7 可控前輪轉(zhuǎn)向角度

圖8 前后轉(zhuǎn)向角比

圖9所示為修正橫擺力矩，該控制變量的精準控制將通過外環(huán)的主動驅(qū)動控制（ADC）系統(tǒng)來實現(xiàn)。顯然DGC對M*的控制范圍要比LQR大得多，表明在微分博弈控制的情況下，基于ADC的橫擺力矩控制具有更大的權(quán)限，橫向穩(wěn)定性更好。

圖9 橫擺力矩控制

圖10（a）和（b）分別顯示了DGC和LQR控制策略下每個車輪分配的驅(qū)動力矩。這里，Ti＞0表示行駛，Ti＜0表示制動。從DGC控制情況下的控制轉(zhuǎn)向角和橫擺力矩可以看出，與LQR控制情況相比，ADC子系統(tǒng)分配了更大的功率。因此，在相同的作用順序（轉(zhuǎn)矩形狀）下，DGC分配的轉(zhuǎn)矩幅值大于LQR分配的轉(zhuǎn)矩幅值。另外，左前輪和右后輪以及右前輪和左后輪均是同步運動的，兩組車輪分別通過驅(qū)動和制動進行反相位動作，在外環(huán)產(chǎn)生合適的修正橫擺力矩。

圖10不同控制策略的分配轉(zhuǎn)矩

圖11 所示為不同情況下的縱向速度變化。在較大轉(zhuǎn)矩干預下，微分博弈控制對縱向動力學的影響小于LQR控制，說明微分博弈控制（DGC）的穩(wěn)定性優(yōu)于LQR控制。

圖11 縱向速度變化情況

圖12車輛運動軌跡比較

圖12 所示為不同情況下的車輛運動軌跡，BAS表示車輛期望運動軌跡。由圖可知，盡管沒有施加特殊控制情況下車輛也可以跟蹤所需的軌跡。但是，在沒有施加控制情況下，車輛在最終轉(zhuǎn)彎結(jié)束之前就超出了預定的車道，這對于實際情況是危險的。對于DGC和LQR控制策略來說，雖然DGC和LQR控制策略都可以確保車輛沿著預定車道行駛，但DGC控制下的車輛可以更準確地沿著期望軌跡行駛，車輛的安全性和橫向穩(wěn)定性較高。

4 結(jié)束語

本文將四輪轉(zhuǎn)向（FWS）和主動驅(qū)動控制（ADC）兩個底盤穩(wěn)定系統(tǒng)的協(xié)同控制問題轉(zhuǎn)化為具有無限邊界和開環(huán)信息結(jié)構(gòu)的兩者博弈問題，提出了一種多個穩(wěn)定性控制子系統(tǒng)協(xié)同控制策略。

以基于轉(zhuǎn)向控制的FWS子系統(tǒng)和基于驅(qū)動控制的ADC子系統(tǒng)分別作為系統(tǒng)的兩個博弈者，并與傳統(tǒng)的LQR控制方法進行對比，驗證了所提出微分博弈控制方法的有效性。通過采用內(nèi)環(huán)加外環(huán)控制回路將博弈論的思想引入到協(xié)同控制系統(tǒng)中，實現(xiàn)了基于博弈的兩種底盤控制系統(tǒng)的協(xié)同配合控制。

在CarSim/Simulink的聯(lián)合仿真環(huán)境下，對該協(xié)同控制策略在雙移線（DLC）工況下的性能進行了測試驗證。仿真結(jié)果表明，與LQR控制方法相比，微分博弈控制方法可以對四輪轉(zhuǎn)向（FWS）和主動驅(qū)動控制（ADC）進行控制權(quán)限分配，從而有效提高車輛的主動安全和橫向穩(wěn)定性能。