“前概念”理念下教學單元的分析與設計*
——以蘇科版“一元一次不等式”為例

周 煉

(江蘇省泰州市第二中學附屬初中,225300)

教師時常會以自身的教學經驗來判斷學生的學習水平已經達到的高度,并以此來組織教學.事實上,學生在不同年齡階段的認知水平、知識儲備是參差不齊的,以至于當一個概念進入他們的大腦時處理方式與教師的預想是有差異的.教師在即將開展一個新的單元教學前,切不可過于主觀地進行無依據的預設與猜想,需要充分利用好手頭的物化資料,如教材、課標、課外讀物等了解學生的知識儲備與層次水平,同時要對學生進行與單元教學內容相關的深度訪談、調查研究,充分了解基本學情,挖掘學生的前概念,并以此為基礎作出一個相對整體的單元學前分析.

一、前概念的內涵

現代心理學研究表明:人類總是帶著一些先行的知識、技能去理解一個新事物,影響對環境的關注、組織與解釋,以此形成的認識系統會循環影響人們的推理、識別、提取等能力,這樣的先行知識便是前概念.無論是兒童還是成年人都會以自身已有的前概念系統來解碼信息、認識世界,它是一個能賦予事物個性意義的網絡分析系統,代表了個人的觀念與立場,并能幫助他們作出預測與判斷[1].

二、前概念理念下教學單元分析的必要性

前概念對于要開始新一單元的學習者來說既可能是積極的,也可能是消極的.若不積極探究學生的已有思維,創建可以揭露思維的任務與條件,幫助學生在章學習前就把隱藏的前概念暴露出來,教師就無法判斷前概念對學習的影響是積極的還是消極的.此時教師需要通過章前導學課將學生的思維方式、認知策略引入正確的方向,形成一個較為清晰的章研究體系,否則花再多的時間反復講解、大量訓練也只是讓新知識在學生的認知大門前短暫地停留,最終沒有在他們心里留下任何印記.

三、前概念理念下學生知識水平與學情的分析

1.依托《課標》分析學生的知識水平

根據《義務教育數學課程標準(2022年版)》(以下簡稱《課標》)第四學段課程內容可知,不等式在“數與代數”內容版塊中的排序位于“數與式”之后,在所屬分支“方程與不等式”中位于“方程與方程組”之后,由此可見數與式、方程與方程組的學習能為不等式提供豐富的前概念.在不等式的分條目要求中大多數都能與已學知識對應(如表1),例如“根據具體情境了解不等式,會用不等式解決問題”在“有理數”“代數式”“方程與方程組”中均有類似描述,這說明前概念在不等式中有較多的可遷移之處[2].

表1

《課標》在第一學段“數的認識”中提到:“理解<,=,>的含義,能用符號和詞語描述萬以內數的大小”“能結合具體情境初步認識兩個一位小數的大小,能比較兩個同分母分數的大小”;在第二學段“數的認識”中提到:“能比較小數的大小和分數的大小”.根據以上內容不難發現,雖然在小學時已經開始要求學生會用一些基本不等符號比較兩個數的大小,但其研究范圍局限于“數”,并未涉及“式”,學生的前概念可能既有“對不等符號使用較為熟悉”的積極影響,也存在“個體與整體”“數與式”之間的差異性導致的消極影響.

2.關于學生的基本情況分析

由于在初中階段學生已經通過研究兩種方程模型,積累了能根據實際問題分析數量關系并將現實問題抽象成數學模型的經驗,基本能建立“數學——現實”的有效聯結,所以教師可以設計相對豐富的實踐活動,使學生在親身經歷中體會新舊知識之間的關聯,同時也讓前概念易于外顯化.另外,初一學生的認知水平已經進入形式運算階段,開始由具象思維向抽象思維過渡,他們有能力進行一些簡單形式化的思維活動.這為本節課自主建構、類比教學提供了有力依據.

3.關于以往教學經驗的回顧分析

根據教材安排,本章的第一課時是“生活中的不等式”,主要目的就是通過大量實例讓學生感受到生活中處處有不等關系,并將其抽象成不等式模型.但由上文分析可知,學生在小學階段就已經接觸過不等式,如果整節課把控不好節奏,僅用大量實際問題進行“轟炸”,在歸納概括得出不等式的概念后思維就會處于“空轉”狀態進而導致課堂效率低下.很多教師可能意識到了這一點,基于此把前兩節課合并為一節課上,在匆匆結束新課后便開始與學生共陷題海.這樣教學的大致結果就是剛開始學生錯誤率極高,但隨著練習量的增加正確率開始提升,但只要隔了一段時間暫停訓練,有可能重蹈覆轍,學生再次陷入題海,形成惡性循環.或許正是因為本章內容在前面所學知識中有太多的可借鑒之處,所以當很多細節沒有梳理清楚時,學生的很多前概念與新知識是相互混雜的,學生帶著疑惑與朦朧記住的只是知識的表層,而對于知識的本質并未深刻地理解[3].

四、前概念理念下教學單元的設計策略

1.善用類比強化學生前概念的正遷移作用

波利亞曾說過:“類比既是一種相似,也是一種推理.”類比的最終目標是實現學習的遷移.遷移分正遷移和負遷移,分別會對學習產生積極與消極的影響.一般來說教學應該促進正遷移,規避負遷移.

比如,在“不等式”的章前導學課中,我們可以將方程學習的前概念類比到不等式中去,設計如下教學環節:還記得上學期我們是按照怎樣的路徑研究方程的嗎?類比方程的研究思路,你能設計一個有關不等式的研究路徑嗎?請將你的想法填在表2中.

表2

該問題引導學生從前概念中關于方程的研究思路尋求不等式的研究思路,以等式與不等式之間的“共振點”“生長線”來引導學生作研究路徑上的類比.在觀察與猜想的基礎上通過比較與分析與已有的概念框架產生對接,充分地發揮了前概念對于學習新知識的積極作用.

再比如,在“不等式的解集”這一課中,我們可以設計如下教學環節來引導學生運用數軸的前概念類比不等式解集的表示方法:一條公路有三條行車道,分別是小型客車道,中間行車道和右側行車道.中間行車道的行駛速度為mkm/h,其限速路標如圖1所示,請用數學式子表示下列數量關系.

在實際教學中學生大概有以下幾種寫法:m≤100或m≥60,100≥m≥60,60≤m≤100.由于有代數式與方程的學習經驗,以及小學掌握過“<，>，≠”三種不等符號的用法,學生可能給出了一些不規范的寫法,此時教師需要挖掘與之有關的前概念來幫助學生適應新知識.由于數軸上的點是從左往右按照從小到大的順序排列的,與不等式解集的表示方式高度相似,所以可以將其作為類比素材,在規范寫法的同時還可以為后續在數軸上表示不等式的解集作鋪墊.

以上兩個案例均利用了學生前概念中有積極影響的部分進行了類比,通過提問、設計、嘗試等形式將新知識與前概念進行關聯以產生正遷移作用.無論是類比數軸規范地表示不等式的解集,還是類比一元一次方程的研究路徑設計一元一次不等式的研究路徑,都能讓學生在面對未知時通過前概念找到原型,充分把握類比對象與原型的相似之處.

2.通過實踐消除學生前概念的負遷移作用

前概念是寶貴的類比資源,但也時常因為與新知識產生價值沖突會反過來阻礙學習進程,而成為抑制學習的重要因素.這種影響甚至會貫穿整個章內學習.基于前概念對教學單元進行分析的另一個作用便是將可能會產生負遷移影響的前概念暴露出來并加以修正.研究表明,學習者不是被動的“參與者”,是調用所學知識解決真實問題的“創造者”,學生只有根據已有的學習經驗與知識積累煉制出與自身、環境相容的價值才是有意義的[5].如此看來,要消除前概念的負遷移效果,就要設計一些新知識與前概念對立的體驗活動.

比如,在“生活中的不等式”教學中,我們可以設計如下教學環節消除數的不等關系比較對不等式學習的負遷移效果:

實驗1多次隨意抽取兩位同學比身高,看看他們身高一樣嗎?你能用數學式子描述兩位同學比較身高的結果嗎?

實驗2現隨機選擇一位同學報出他的身高,請大于這個身高的同學舉手,你能類似地用一個數學式子描述這一群學生的身高特點嗎?(學生實驗結果如表3)

隨機比較兩位同學的身高是學生熟悉的,但要描述大于某個身高的“一類”數卻需要較強的符號意識與歸納能力,這對剛接觸代數式不久的初一學生來說略有困難.設計第一個實驗有兩個作用,在體現了生活中存在大量不等關系,突顯不等式研究價值的同時也與第二個實驗形成了鮮明的對比,使學生意識到描述數的不等關系存在著局限性,揭示出了前概念中“重數輕式”的不足.事實上,代數式本身就是一種抽象表達,若在抽象的基礎上再用抽象的方式來教學便難以為學生所接受,而采用實驗的方式可以讓個體與環境在交互中沖擊對原有認知中一對一不等關系的“刻版印象”,逐漸形成集合思想,引導學生用代數視角描述不等關系.

再比如,在“不等式的基本性質”這一課中,我們可以設計如下教學環節來避免等式的性質對不等式性質學習的負遷移效果:一只紙箱質量為1kg,當放入一些蘋果(每個蘋果的質量為0.25kg)后,紙箱和蘋果的總質量不超過10kg,問這只紙箱內最多能裝多少個蘋果?

在沒有介紹不等式性質的前提下,學生能嘗試列出不等式1+0.25x≤10,然后通過移項、合并同類項以及系數化為1可得x≤36.但若此時對其進行變式,改為“一只紙箱質量不少于1kg,紙箱和蘋果的總質量為10kg,現在要拿走一些蘋果(每個蘋果的質量為0.25kg),那么最多能拿走多少個蘋果?”,學生在列出不等式10-0.25x≥1后,會參照解方程得到x≥36.但當x=37時,10-0.25×37=0.75,與題意不符.

從數學建模的完整性出發,本環節通過“蘋果裝箱問題”讓學生嘗試解不等式,最初學生在解“1+0.25x≤10”時誤以為解不等式與解方程并無兩樣,但在解“10-0.25x≥1”時用同樣的方法就出現了問題(沒有變號),通過對比精準地將學生在本章內與解不等式易混淆的前概念暴露了出來.

以上兩個案例中的“比較身高”實驗就包含了數與式之間的矛盾與沖突,學生在比身高的過程中能切實感受到比較兩個數的大小與概括一類數的范圍之間是存在差異的,從而意識到在不等式中引入集合思想的必要性,避免出現過于關注數的前概念傾向對研究式的不等關系造成的負遷移作用;在另一個案例“蘋果裝箱問題”中,先后各設置一個不需要變號和需要變號的解不等式問題,讓學生嘗試著用解方程的方法去解,學生會發現同一種方法產生了兩種截然不同的結果,形成了成功和與失敗的強烈對比.若學生不是親身體會過這種矛盾與反差,就不會引起對解方程與解不等式之間差異的重視,不用變號的方程前概念對解不等式的負遷移影響就不會輕易地暴露出來.不等式與方程固然有很多可類比之處,但一味地類比不僅會限制學生的想象力,更會將差異化知識同質化,從而使他們建立錯誤的概念網絡.在章前導學課中教師可以設計一些類似“比較身高”“蘋果裝箱問題”的活動讓學生在實踐中感悟到某些前概念的知識與方法套用在新知識身上是站不住腳的,此時大腦便會支配學生作出相應的行為來修正“概念網絡”,在原有的基礎上生成更適應現狀的新概念[6].