冪等矩陣線性組合的可逆性及逆的表示

馮福存, 常莉紅, 韓惠麗

(寧夏師范學院 數學與計算機科學學院, 寧夏 固原 756000)

0 引言

近年來,國內外很多學者對各種特殊矩陣的組合及組合的相關性質進行了廣泛和深入的研究,并得到了一些很好的結果[1-3].冪等矩陣作為一類重要且性質豐富的特殊矩陣，具有廣泛的應用,國內外許多從事相關研究的專家發表了一系列文章[4-5].由于密碼學、統計學和系統理論中的很多問題都與冪等矩陣的線性組合密切相關,因此很多學者對兩個冪等矩陣組合的性質產生了濃厚的興趣,并對其進行了深入的研究和探索.文獻[6]研究了兩個冪等矩陣線性組合的可逆性問題,得到兩冪等矩陣線性組合可逆的若干充分必要條件.文獻[7]給出了在Banach空間中兩個冪等算子線性組合的局部性定理.文獻[8]討論了兩個冪等矩陣的和、差與線性組合非奇異性之間的一些關系.文獻[9]研究了3個互不相同的同階冪等矩陣,在任意兩個可交換的條件下它們線性組合的冪等性和可逆性.通過對它們的研究,使得算子系統結構的內在關系變得更加清晰,也讓相關的矩陣理論的課題研究有了堅實的理論基礎.

本文在以上文獻的基礎上,進一步討論一組冪等矩陣在特定條件下的可逆性問題,討論任意方陣分解為冪等矩陣線性組合或冪等矩陣與冪零矩陣的線性組合問題,并在此基礎上給出任意可逆矩陣分解為一組冪等矩陣線性組合的表示形式.

1 基本概念和記號

定義 1.1[10]設A是n階矩陣,如果A2=A,則稱A為冪等矩陣.

關于冪等矩陣有如下結論:

結論 1.1[11]冪等矩陣A可對角化,且特征值只能為0或1.

結論 1.2[12]冪等矩陣不一定是對稱矩陣.

結論 1.3[12]冪等矩陣A滿足r(A)=tr(A).

結論 1.4[11]A是冪等矩陣的充要條件是r(A)+r(I-A)=n成立.

結論 1.5[12]若A是冪等矩陣,則A可逆當且僅當A=I.

2 冪等矩陣線性組合的可逆性

首先給出滿足特定條件的一組對稱冪等矩陣所具備的性質,然后給出滿足特定條件的這組對稱冪等矩陣線性組合的可逆性判定.

定理 2.1若A1,A2,…,Am均是n階對稱冪等矩陣,其中r(Ai)=ri,且A1+A2+…+Am=I.則：

1)r1+r2+…+rm=n;

2)Ai+Aj(i≠j)是對稱冪等矩陣;

3)AiAj=AjAi=0(i≠j).

2) 令B=Ai+Aj,C=I-B,則B為對稱矩陣,且

n=r(I)=r(B+C)≤

r(B)+r(C)=

r(Ai+A

所以

n=r(B)+r(C)=r(B)+r(I-B)，

得B是冪等矩陣,因此,Ai+Aj是對稱冪等矩陣.

3) 由Ai+Aj是冪等矩陣,可得

AiAj+AjAi=0,

(1)

(1)式兩邊分別左乘和右乘Ai，得

AiAj=AjAi=-AiAjAi,

得

AiAj+AjAi=2AiAj=2AjAi=0,

所以

AiAj=AjAi=0,i≠j.

定理 2.2A1,A2,…,Am均是n階對稱冪等矩陣,其中r(Ai)=ri,且A1+A2+…+Am=I.若A=α1A1+α2A2+…+αmAm,則A是對稱矩陣,且A可逆的充要條件是αi≠0.

證明A是對稱矩陣,顯然由定理2.1可知,AiAj=0(i≠j)，故

A(Aix)=αi(Aix).

(2)

由定理2.2的證明過程,考慮其逆過程可得.

定理 2.3A是對稱矩陣,若A的特征值為λ1,λ2,…,λm,則存在一組對稱冪等矩陣A1,A2,…,Am,使得A=λ1A1+λ2A2+…+λmAm成立.

證明A是對稱矩陣,A的特征值為λ1,λ2,…,λm,則存在正交矩陣P使得(3)式成立,

A=PΛPT,

(3)

其中Λ為對角矩陣,對角線上元素由A的特征值λ1,λ2,…,λm構成.

設特征值λi的特征子空間Vλi的維數為ri,(3)式可寫為

λ=

λ1A1+λ2A2+…+λmAm,

其中

A,

(4)

推論 2.1A是可對角化(非對稱)矩陣,若A的特征值為λ1,λ2,…,λm,則存在一組冪等矩陣A1,A2,…,Am,使得A=λ1A1+λ2A2+…+λmAm成立.

在定理2.3中，若A的特征值滿足λi≠0(i=1,2,…,m),即A可逆,則有A1+A2+…+Am=I.

定理 2.4A是不可對角化矩陣,若A的特征值為λ1,λ2,…,λm,則存在一組冪等矩陣A1,A2,…,Am和一個冪零矩陣B,使得A=λ1A1+λ2A2+…+λmAm+B成立.

證明A是不可對角化矩陣,設A的特征值為λ1,λ2,…,λm,則存在可逆矩陣P使得

A=PJP-1,

(5)

其中,J=diag(J1,J2,…,Jm)為A的若爾當標準形,Ji是由A的特征值λi構成的若爾當塊.

設特征值λi的根子空間V的維數為ri,(5)式可寫為

A=

λ

λ1A1+λ2A2+…+λmAm+B,

(6)

滿足(Hri)ri=0,令H=(lij)n×n,則

由于A不可對角化,可知lii+1不全為零.取s=max(r1,r2,…,rm),可得Hs=0.Bs=PHsP-1=0.證畢.

3 冪等矩陣線性組合的逆

在前文討論的基礎上,可對應依次給出相應條件的逆矩陣.

證明A是可逆的對稱矩陣,則

(A-1)T)*=

故A-1是對稱矩陣.

由定理2.3的證明可知

兩邊取逆,由P是正交矩陣可得

所以

引理 3.1若H是冪零矩陣,f(x)=a1x+a1x2+…+anxn,f(x)∈C[x],則f(H)也是冪零的.

證明因為H是冪零矩陣,不妨設存在正整數t,使得Ht=0,則

f(H)=a1H+a1H2+…+anHn=

(a1I+a1H+…+anHn-1)H,

可得

[f(H)]t=(a1I+a1H+…+anHn-1)tHt=0.

引理 3.2設H=(hij)n×n,其中

hii+1不全為零,則Hn=0,且對任意λ≠0,有

證明

(λI+H)(λI+H)-1=

證明A的特征值為λ1,λ2,…,λm,由A是可逆的,可知λi≠0(i=1,2,…,m).

由定理2.4的證明,對(6)式兩邊取逆，可得

由引理3.2可得

A-1=

其中

gi(H

(-1)

則(7)式可寫為

其中Ai如(4)式所示,滿足

H=diag(h1(H),h2(H),…,hm(H)),

hi(Hri)=H

(-1)

取s=max(r1,r2,…,rm),由引理3.1,可得Hs=0,Ds=PHsP-1=0.證畢.

致謝寧夏師范學院課程思政示范課程建設(NSSZ2021011)對本文給予了支持，謹致謝意！