圓弧齒線圓柱齒輪建模及接觸應力分析*

王小崗，葉友東，范武勝

(安徽理工大學 機械工程學院，安徽 淮南 232001)

0 引 言

齒輪傳動在現代工業中扮演著非常重要的角色，它具有效率高、結構緊湊、傳動精度高等特點，因而被廣泛應用于機械傳動領域。 直齒、斜齒、人字齒是最常見的齒輪傳動，由于結構上的原因，上述圓柱齒輪存在一定的缺點[1]，如漸開線直齒圓柱齒輪承載力有限、斜齒輪存在軸向力以及人字齒輪加工復雜等問題的存在[2]。 近些年國內外有些學者對圓弧齒線圓柱齒輪也進行研究，王虹等利用ANSYS 對齒輪進行了動力學分析[3]；馬登秋對齒輪不同位置的沖擊接觸應力的分布進行了研究[4]；ZHANG X G 等研究了圓弧齒線圓柱齒輪的接觸線，并對齒輪的接觸應力和彎曲應力進行了研究[5]。 CHEN Y C 等[6]推導了該齒面數學模型，研究了其傳動誤差等，研究結果表明，該齒輪具有重合度大、接觸潤滑性能好、無軸向力、噪音低、嚙合性能好、效率高等優點，相對于直齒輪傳動存在的平穩性較差，易產生沖擊、振動和噪聲問題以及斜齒輪存在軸向力、人字齒輪加工繁瑣復雜等問題，該齒輪在大多數應用環境下可以代替使用。

為解決上述圓柱齒輪結構上存在的缺點，筆者分析了一種新型的齒輪傳動—圓弧齒線圓柱齒輪。 圓弧齒線圓柱齒輪的主要特征是其齒線為一段空間曲線，圓弧齒線圓柱齒輪的齒廓既可以是漸開線，也可以是諾維柯夫圓弧曲線[7]。 通過分析得出該齒輪作為機械傳動領域的一種機械基礎零件，具有非常廣闊的應用前景。

1 圓弧齒線圓柱齒輪的加工原理

目前，可查詢到的圓弧齒線圓柱齒輪的加工方法有很多[8]，如雙刃旋轉刀盤銑削加工、單刃旋轉銑刀盤加工、平行連桿機構加工、數控立式銑床加工等，但最常見的加工方法為旋轉刀盤法和平行連桿法。 旋轉刀盤銑削加工與平行連桿法機構相比，齒輪加工效率更高，同時也可以保證精度，在系統剛度、最大切削速度、加工齒形合理性、是否能加工硬齒面方面，旋轉刀盤法具有更好的工藝性能[9]，故目前使用范圍最為廣泛。 但這種方法會使圓弧齒線圓柱齒輪表面留有加工痕跡，后續還需要進一步精加工。

旋轉刀盤銑削加工齒輪的原理如圖1 所示，在加工齒輪的過程中，包括了3 個運動[10]:刀盤的高速旋轉切削運動、齒坯繞中心的旋轉運動和刀盤的水平移動、保證加工完整的刀盤的進給運動。 刀盤安裝在機床主軸上，齒坯安裝在機床上，機床工作時，刀盤和齒坯之間將按既定的速度進行展成運動，所以:

圖1 圓弧齒線圓柱齒輪的加工原理

式中:VT是刀盤沿X方向移動速度；VR是齒坯節圓上的旋轉速度。

加工一個完整的齒后，利用分度機構完成齒坯分度，繼續進行下一個齒面的加工，直至加工一個完整的齒輪[11]。

建立如圖1 所示坐標系，S0(X YZ)為靜止坐標系，S1(X1Y1Z1)為與齒固聯的動坐標系，ST(XTYTZT)為與刀盤固聯的坐標系，以速度VT＝R·ω相對S0坐標系做平移運動，R為齒坯的分度圓半徑，刀具平均展成半徑為Rt，右側內刀刃用于生成凸齒面，左側外刀刃用于生成凹齒面，內外刀刃的展出半徑分別為Rn＝R-πm/4 和Rm＝R＋πm/4，齒輪凸齒面的半徑略小于凹齒面半徑。

根據加工原理可知，加工凸齒面和凹齒面的刀盤半徑存在差異，導致中間截面處的齒槽寬略小于齒輪端面齒槽寬。 當由上述原理加工而成的一對齒輪副進行嚙合時，其中一個齒輪的凸面與另一個齒輪的凹面接觸嚙合，由于齒面的展成半徑不同，齒輪的嚙合狀態就如圖2 所示，此時的齒輪為點接觸嚙合。 如圖3 所示。 圓弧齒線圓柱齒輪的理想嚙合狀態為線接觸嚙合，此時齒輪的凸齒面展成半徑與凹齒面的展成半徑相等，沿齒寬方向的齒廓均為漸開線齒廓，齒線為圓弧的一部分，齒輪的周向齒槽寬和法向齒槽寬處處相等，齒輪副的接觸線為空間曲線。

圖2 點接觸嚙合

圖3 線接觸嚙合

2 圓弧齒線圓柱齒輪齒面方程

如圖4(a)所示，該齒面∑可以認為是由某一徑向截面齒面漸開線齒廓T沿基圓柱齒線S掃描形成[3]。 在基圓柱中間截面建立坐標系，使S1(X1Y1Z1)的X1O1Y1平面通過基圓柱中間截面，Z1通過基圓軸線，基圓半徑為Rb1。 坐標系Sh(XhYhZh)是距離中間截面h 的齒線位置坐標系，β為弧齒線的位置角，輪齒與平面XhOhZh截面如圖4(b)，其與齒面∑的交線Th為漸開線。

圖4 圓弧齒線圓柱齒輪漸開線齒廓

齒廓漸開線方程為:

式中:α為漸開線展開角。

Z1和Zh同軸且都通過基圓柱軸線，平面XhOhZh截面的齒廓可認為是由X1O1Y1平面上的漸開線齒廓繞Z軸旋轉β得到，坐標系Sh下的漸開線的方程為:

根據其幾何關系可以推出圓弧齒線位置角為:

式中:R為分度圓半徑；RT為齒線半徑。

由Sh坐標系轉換到S1坐標系的變換矩陣為:

通過坐標變換:

可導出齒面方程:

式中:b為齒寬。

3 圓弧齒線圓柱齒輪建模

圓弧齒線圓柱齒輪副的基本參數如表1 所列，基于三維建模軟件SolidWorks，按照以下基本步驟:根據參數畫出基圓、齒根圓、分度圓和齒頂圓及漸開線；然后畫出圓弧齒線圓柱齒輪的端面齒形和中間截面齒廓，在Matlab 中編寫相關程序生成空間引導線，將引導線離散為若干點的坐標導入到SolidWorks，利用曲線功能生成空間引導線；由于圓弧齒線圓柱齒輪的齒線為圓弧形狀，在生成模型時只需要計算每個端面的旋轉角度，最后根據引導線執行放樣切除、圓角和陣列命令，就可以得到圓弧齒線圓柱齒輪模型。 如圖5 所示。

表1 圓弧齒線圓柱齒輪的主要幾何參數

圖5 圓弧齒線圓柱齒輪模型

平行于漸開線圓弧齒線圓柱齒輪中間軸線平面的任意截面齒廓均為漸開線齒廓，齒輪的周向齒厚也處處相等，并且該齒輪凹凸面曲率半徑也相等，齒線為圓弧的一部分。 這種齒形屬于標準齒形，一對壓力角和模數相等的圓弧齒線圓柱齒輪能嚙合順暢，齒面接觸為線接觸，該齒形可以增大接觸區域和重合度，使齒輪的使用壽命增加。 齒輪副的模型如圖6 所示。

圖6 圓弧齒線圓柱齒輪 齒輪副模型

4 圓弧齒線圓柱齒輪副接觸應力分析

根據文獻[12]，圓弧齒線圓柱齒輪的齒面接觸應力與齒寬和齒線半徑密切相關，并且相同條件下，圓弧齒線圓柱齒輪副的接觸強度較直齒輪和斜齒輪有明顯提高。 文中研究相同條件下不同齒寬、齒線半徑對該齒輪齒面接觸應力的影響，利用ANSYS Workbench 對齒輪接觸應力進行分析和總結。

4.1 齒寬對接觸應力的影響

為了分析齒寬對圓弧齒線圓柱齒輪接觸應力的影響，選取8 組齒寬系數不同的齒輪副進行接觸應力分析，齒寬系數?a為齒輪寬度與中心距的比值，其余參數如表1 所列。 將建立的齒輪副模型導入到ANSYS Workbench 中對齒輪副進行接觸應力分析，材料默認為結構鋼，彈性模量為2×1011Pa，泊松比為0.3，小齒輪施加扭矩T＝200 N·m，齒面接觸類型為摩擦接觸，摩擦系數0.05，得到八組輪齒接觸應力云圖，如圖7 所示。

圖7 不同齒寬時輪齒的接觸應力云圖

圖7(a)～(h)分別對應了8 組不同齒寬系數的圓弧齒線圓柱齒輪副在扭矩T＝200 N·m 下的接觸應力的大小，接觸應力值如表2 所列。 將不同齒寬的齒輪接觸應力值進行擬合，得到的曲線如圖8 所示。

表2 不同齒寬時輪齒接觸應力參數

圖8 不同齒寬接觸應力分布圖

圖8 中，當齒輪的齒數z、模數m、齒線半徑R、壓力角α等參數一定時，齒輪的承載能力在一定范圍內會隨著齒寬b的增加而增強。 但當齒寬系數?a大于0.6 時，齒面的接觸應力開始增大，載荷沿著齒寬的分布開始不均勻，容易造成偏載和應力集中的現象，使齒輪的實際承載能力下降。

4.2 齒線半徑對接觸應力的分析

為了分析變齒線半徑對圓弧齒線圓柱齒輪接觸應力的影響，選取8 組齒線半徑不同的齒輪副進行接觸應力分析，其余參數如表1 所列。 小齒輪施加T＝200 N·m 的扭矩，分析設置與上述一致，得到的8 組接觸應力云圖如圖9 所示。

圖9 不同齒寬時輪齒的接觸應力云圖

圖9(a)～(h)分別對應了8 組不同齒線半徑的圓弧齒線圓柱齒輪副在扭矩T＝200 N·m 下的接觸應力的大小，接觸應力值如表3 所列。 將不同齒線半徑的接觸應力值進行擬合，得到的曲線如圖10 所示。

表3 不同齒線半徑時輪齒的接觸應力參數

圖10 不同齒線半徑接觸應力分布圖

從圖10 可以看出，齒輪的齒數z、模數m、齒線b、壓力角α等參數一定時，齒輪的接觸應力隨著齒線半徑的增加，總體表現為先減小后增大的趨勢，圖形類似拋物線。 通過結果分析可知，該齒輪的承載能力與其齒線半徑密切相關，但齒線半徑并非越小越好或越大越好，而是在其他參數確定的情況下，齒線半徑在某個范圍內，齒輪承載能力最好，接觸應力值最小。由10 可知，當1.5b≤R≤2.5b時，圓弧齒線圓柱齒輪的承載能力最好。

5 結 論

(1) 通過對圓弧齒線圓柱齒輪副加工原理和齒面方程的分析，利用建模軟件SolidWorks 和分析軟件Matlab 得到圓弧齒線圓柱齒輪的精準模型，為后續的分析提供了相關基礎。

(2) 理論上齒輪齒面接觸應力隨齒寬系數的增加而減小，但并非越大越好，當?a大于0.6 時，會使齒槽中的空氣體積變化大，嚙合過程中使空氣被壓出的速度很快，導致噪音增大，而且隨著齒寬的增大，載荷沿著齒寬的分布越不均勻，容易造成偏載和應力集中的現象，使齒輪的實際承載能力下降。

(3) 在模數m＝4，齒數z1＝20、z2＝30 的圓弧齒線圓柱齒輪副中，齒輪的齒線半徑在1.5b≤R≤2.5b時，齒輪的承載能力最好。 在齒輪其他相關參數不變的情況下，隨著齒線半徑的增加，接觸應力總體表現為呈現先減小后增大的趨勢，最終隨著齒輪齒線半徑增大到無限時，結果近似于直齒輪。 研究的結論為圓弧齒線圓柱齒輪以后的工程應用和設計提供了理論依據。