齒輪彎曲疲勞強度與壽命及計算機輔助計算*

吳守尊，張小勇

(國網平涼供電公司，甘肅 平涼 744000)

0 引 言

齒輪傳動是兩個相互嚙合的齒輪傳遞力和運動的一種傳動方式，具有結構緊湊、傳動平穩且精確、傳動效率高以及使用壽命長等諸多優點，在大型發電設備、水泥機械、軋鋼設備、汽車、飛機、輪船以及航天航空等多個領域廣泛使用[1-2]。 齒輪傳動是機械傳動系統中使用最廣泛的方式之一，也是其中的核心元件，一旦出現故障將導致設備的停工檢修，造成巨大的產能損失。 如風力發電機組中齒輪失效導致的故障問題高達60%[3]，因此對齒輪損傷、失效以及壽命的研究是提高設備工作效率和使用安全性的關鍵問題。

不同工作條件下齒輪發生失效的原因不同，主要失效形式分為齒面點蝕、齒面磨損、齒面塑性變形和齒根斷裂，多種失效形式也可能同時發生[4]。 大數據統計表明，齒根斷裂是導致齒輪副失效的最常見形式，52%以上齒輪都會發生齒根斷裂[5]。 常見的齒根斷裂形式有疲勞斷裂和過載折斷兩種，而齒根的疲勞斷裂占據三分之二以上。 因此對齒根裂紋的擴展和齒輪疲勞壽命的計算十分重要。 筆者將采用應力分析和數值建模的方法對齒根彎曲強度以及疲勞裂紋的萌生、擴展和斷裂進行理論研究分析，并在此基礎上通過計算機模擬對齒輪的疲勞壽命進行預測。 目的是為齒輪齒根彎曲疲勞強度及壽命的相關研究提供參考坐標。

1 齒根彎曲疲勞強度計算

齒輪主要失效方法是齒根的疲勞斷裂，因此對齒輪輪齒的彎曲應力分析是齒輪設計以及安全可靠性分析中必不可缺的。 經驗表明齒輪輪齒所受應力在齒根處發生應力集中，從而齒根是輪齒彎曲疲勞強度的薄弱處。 計算齒輪彎曲疲勞強度時，通常將輪齒等效為一個懸臂梁，而齒根的危險界面采用30°切線法來確定[6]，根據圖1 的受力分析計算輪齒的彎曲應力σF，如式(1):

圖1 30 °切線法確定齒根危險界面示意圖

式中:K是載荷因數；T1是傳遞的轉矩；B、d1和m分別是齒輪的寬度、分度圓直徑和模數；YFa、YSa、Y∈分別是是齒形系數、應力修正系數和重合度系數。

對于齒輪來說，其分度圓上的齒厚h與齒高l的比值約為0.7，這一數值大于工程計算中可等效為懸臂梁的臨界值，這種情況下齒輪的彎曲疲勞強度近似計算將產生不可避免的誤差。 通過有限元的方法可以對上述過程進行修正，研究表明，采用有限元計算的齒根彎曲疲勞強度的精確度比傳統計算方法提高了10%以上[7]。

2 齒根彎曲疲勞裂紋擴展

齒輪工作時，輪齒在載荷的作用下受彎曲應力的作用，且齒根處應力最大。 齒輪轉動過程中，輪齒從開始嚙合到嚙合結束再到重新嚙合的過程，某一點處的載荷不斷重復循環。 在交變應力的反復作用下，齒根處將發生疲勞裂紋的萌生、擴展直至齒根斷裂[8]。對齒輪疲勞裂紋的研究和分析是研究齒輪疲勞斷裂的重要內容。

2.1 裂紋類型

斷裂力學中，根據裂紋形成的幾何特征和受力分析將裂紋分為如圖2 所示三種[9-10]。

圖2 3 種類型裂紋的受力情況及幾何示意圖

Ⅰ型:張開型裂紋是受到垂直于裂紋面的拉應力的作用，使裂紋兩側發生分離并形成一定的角度而形成的。

Ⅱ型:滑開型裂紋是受到對平行于裂紋面且垂直于裂紋源前端的剪切應力的作用，使裂紋面兩側發生相對滑移從而形成的。

Ⅲ型:撕開型裂紋是受到平行于裂紋面、平行于裂紋前端的切應力作用，導致裂紋面兩側發生沿切應力方向的相對滑動而形成的。

直齒圓柱齒輪在嚙合過程中受到的力可分解為垂直于裂紋表面的拉應力和垂直于裂紋前端切應力。因此，齒輪嚙合過程中張開型裂紋和滑開型裂紋都可能發生。 實驗研究和模擬仿真結果表明:直齒圓柱齒輪的裂紋主要是張開型裂紋，其次是滑開型裂紋[11]，即為Ⅰ型裂紋和Ⅱ型裂紋的復合型裂紋。

2.2 裂紋尖端的應力及強度因子計算

根據彈性斷裂力學，裂紋尖端附近的應力場如式(2):

式中:σij(r，θ)表示裂紋的極坐標，其中r和θ分別表示半徑和角度；KⅠ、KⅡ、KⅢ分別代表張開型應力強度因子、滑開型應力輕度因子和撕開型強度因子；fij(θ)是關于角度的函數。

對于直齒圓柱齒輪而言，裂紋是以Ⅰ型裂紋為主的Ⅰ-Ⅱ型復合裂紋，所以KⅢ的值取0。 齒根處裂紋尖端的應力如式(3)、(4)。 研究表明，裂紋尖端的角度與應力場附近的強度因子有關，如式(5)[12]。

2.3 基于Paris 理論的裂紋擴展過程

根據Paris 理論將疲勞裂紋的擴展過程分為裂紋萌生階段、裂紋穩定擴展階段和裂紋失穩擴展階段[13]，如圖3 所示。

圖3 疲勞裂紋擴展過程

第1 階段:裂紋萌生階段，齒輪在連續的交變應力作用下，即使應力幅值沒有達到材料的屈服強度，也能使齒輪材料在性能較差、組織有缺陷的表面發生滑移或塑性變形，從而形成微裂紋源，此時裂紋擴展較慢。

第2 階段:裂紋穩定擴展階段，形成的微裂紋源在交變應力的作用下將使裂紋沿某一路徑繼續擴展。該階段裂紋尺寸還較小，裂紋擴展緩慢，此過程形成的裂紋不足以嚴重影響齒輪的正常工作和機械運行，不會發生疲勞破壞。

第3 階段:裂紋失穩擴展階段，裂紋繼續擴展到齒輪達到臨界值時，齒輪強度降低，使其不足以支撐工作載荷，裂紋快速擴展到整個齒根，齒根發生斷裂。

研究表明，裂紋的擴展速度與裂紋尖端應力場的應力強度因子有關，Paris 通過大量的實驗得到了裂紋擴展速度與裂紋尖端應力場的應力強度因子之間的關系，如式(6)[14]:

式中:da/dN是裂紋擴展速度；C、m是與齒輪材料有關的常數，可通過查閱手冊獲得。 根據裂紋擴展速度大小將疲勞裂紋擴展過程分為了3 個階段，第1 階段擴展速度接近于0(da/dN＜10～10 m/c)，第2 階段裂紋擴展速度一般為10-9～10-5m/c，裂紋擴展速度超過這一范圍即達到了第3 階段[15]。

3 疲勞壽命計算理論與方法

齒輪疲勞失效將嚴重影響設備的運行，對工業生產效益具有重大影響。 對齒輪使用壽命的研究具有重要價值。 齒輪的使用壽命通常指齒輪的疲勞壽命，即指齒輪在發生疲勞失效前在一定的交變應力下所經歷的作用次數[16]。

3.1 計算理論

齒輪疲勞壽命是裂紋發生失穩擴展前的應力循環次數，因此齒輪疲勞壽命的計算可以分為疲勞裂紋萌生壽命和裂紋擴展壽命的計算兩部分[17]。

3.1.1 疲勞裂紋萌生壽命

疲勞裂紋萌生壽命指零件出現一個宏觀裂紋所經歷的交變應力次數，用Nf表示。 對于齒輪而言，疲勞裂紋的萌生速率與應力集中的齒根處的應變、應力密切相關。 研究表明塑性應變與載荷循環次數的對數呈線性關系，由此用來研究裂紋的萌生壽命。 疲勞裂紋萌生壽命與應變具有如式(7)的關系，而零件的應變可通過式(8)進行計算:

式中:E是材料的彈性模量；σf'、b是材料的疲勞系數和疲勞指數；εf'、c是材料的疲勞延性系數和疲勞延性指數；n'表示材料循環應變發生硬化的指數，以上與材料屬性相關的參數均可通查閱書目及資料獲得。

3.1.2 裂紋擴展壽命

裂紋擴展壽命Np用于判斷零件是否達到損傷容限，并使用極限進行估算。 基本思路是通過斷裂力學理論和試驗的方法研究初始裂紋在交變應力下的裂紋擴展特性，齒輪材料內預制裂紋達到臨界尺寸時經歷的交變應力循環次數即為零件的裂紋擴展壽命[18]。 而裂紋擴展速度da/dN與零件內裂紋的尺寸、形狀和位置相關，可通過積分求解得到裂紋擴展壽命，如式(9):

式中:a0、ac分別表示零件內裂紋的初始長度和臨界長度；A和m是由實驗決定的常數。

3.2 雨流計數法

從式(7)～(9)中可以看出，傳動過程中的應力集中、平均應力等是影響疲勞壽命的重要因素。 如圖4 所示，實際齒輪傳動過程中齒輪的載荷譜很復雜，只有將較大的應力循環分解成單個較小的應力循環，才能減小對疲勞損傷的預算偏差。 為了保證載荷譜中每個循環都被準確記錄，通常采用雨流計數法對載荷譜進行處理。

圖4 齒輪傳動過程中的載荷譜

將力-時間曲線旋轉90°，以某一個絕對值最大的峰或谷作為起點，讓雨點沿峰或谷的內測往下流并在下一個峰或谷處滴落，直到遇到比起始點更大的峰或谷時停止滴落。 取下一個峰或谷繼續進行同樣的操作，當遇到之前的雨滴時計數立即停止，直至取出所有的循環，并記錄每個循環的應力幅值和均值，通過該方法可以獲得疲勞載荷的特性[19]。

4 計算機輔助計算

傳統計算方法中往往需要一些近似處理來簡化計算，但有些近似處理是不合理的，這種處理會使預測與實際結果大相徑庭，如齒根彎曲應力計算過程中的將輪齒等效為懸臂梁的處理產生的偏差是不可忽視的。 此外，傳統計算方法過程繁瑣，迭代過程容易出錯。 在工程問題求解中，最常用的方法是有限元分析。 有限元分析是一種有效的分析手段，它可以將整個目標劃分成若干個作用單元，通過對有限個作用單元的數學計算和物理模擬來無限逼近實際問題的結果。 如使用CAD、Pro/E、SolidWorks 等軟件建模，再導入到ABAQUS、ANSYS 和MSC 等有限元軟件，通過調試參數模擬實際運行狀態進而對齒輪的疲勞強度進行計算[20]， 對齒輪傳動過程進行分析可以有效模擬齒輪嚙合過程中彎曲應力的分布情況，并對裂紋擴展路徑進行模擬，對疲勞壽命進行精確的預測。

賀藝等[21]采用ANSYS 對漸開線圓柱齒輪嚙合過程中的彎曲強度進行了計算，獲得了彎曲應力在輪齒的分布規律和如圖5 所示的齒根處的最大彎曲應力值。

圖5 齒輪應力分布圖

對風機發電齒輪組的齒根處裂紋擴展進行有限元模擬，獲得裂紋長度和循環次數的關系如圖6 所示。

圖6 裂紋長度與循環次數關系圖

圖6 中裂紋擴展的各個階段是十分明顯的，在經歷1. 41×106次循環后裂紋擴展進入失穩階段，即疲勞失效。 2.5 MW 風電三級齒輪箱齒輪裂紋和模擬結果對比如圖7 所示，裂紋擴展路徑和深度一致性較好，裂紋曲率的微小差別是由于溫度、變載及磨損等因素造成的[12]。

圖7 實際疲勞裂紋擴展與模擬結果對比

以Von Mises 應力作為疲勞壽命的有限元分析計算參量大大提高了齒輪疲勞強度的數據點的計算精度。 如表1 所列，計算壽命和試驗壽命的比值在0.3～1.5 之間[22]，完全滿足工程使用需求。

表1 齒輪彎曲疲勞計算與試驗壽命

5 結 語

在一定程度上，高精密齒輪的生產水平的突破是我們從制造大國到制造強國的關鍵影響因素之一。文中闡述了齒輪受載過程中的彎曲疲勞應力分析、疲勞裂紋的萌生、擴展和斷裂及疲勞壽命的計算預測和計算機輔助計算，結果顯示預測計算和有限元分析結果與實際結果具有較好的一致性，證實了齒輪齒根疲勞壽命預測的重要價值。 希望通過以上工作達到保證齒輪正常工作、定期修檢的目的，從而實現工作效率和工業產值的提高。