基于三維本構模型的形狀記憶合金彈簧力-位移關系研究*

黃竑鋼

(西南交通大學 力學與航空航天學院，四川 成都 610031)

0 引 言

形狀記憶合金(Shape Memory Alloy，簡稱SMA)是一種新型智能材料，不僅具有獨特的形狀記憶效應和超彈性效應，而且有良好的阻尼特性、耐疲勞性和耐腐蝕性。 因此，它被廣泛地應用于航天航空、機械電子、生物醫療等多個領域。 其中，超彈性SMA 由于其極強的滯回耗能特性，而被廣泛地用作土木結構中的阻尼器，以增強結構的抗震減震效果。 因此，有必要了解SMA 彈簧的力學性能及其工作原理，對其力學行為進行詳細研究，為SMA 彈簧在工程應用中的設計和使用提供依據。

SMA 的本構模型是模擬SMA 彈簧力學行為的重要部分。 目前，國內外學者們主要是基于熱力學本構模型對SMA 彈簧進行模擬。 例如，Tobushi 和Tanaka[1]基于Tanaka 的一維熱力學本構模型[2]模擬SMA 彈簧的力-位移關系，其研究中只考慮了彈簧絲截面上的扭矩。 結果表明，在位移幅值較小的情況下，該方法的模擬效果較好。 Liang 和Rogers[3]在先前工作[4]的基礎上，提出一種簡便的非線性SMA 彈簧模型，并給出了更準確的SMA 彈簧的設計方法。Toi 等[5]采用Brinson 提出的一維本構模型[6]，考慮彈簧絲截面的扭轉變形，對SMA 彈簧進行模擬，并進行了有限元分析，通過和實驗的比較，驗證了方法的有效性。 Aguiar 等[7]采用剪切形式的一維本構模型[8]對SMA 彈簧進行模擬，假設相變在SMA 絲中是均勻發生的。 結果表明其建立的模型可以較為準確地描述SMA 彈簧的力學行為。 Mirzaeifaret[9]比較了基于Boyd-Lagoudas 本構模型[10]的直桿扭轉模型和曲桿扭轉模型，模擬了SMA 彈簧的力學行為。 結果表明，曲桿扭轉模型的模擬結果較好。 Enemark等[11]在修正的Lagoudas 模型基礎上，同時考慮彈簧絲截面上的扭矩和彎矩，建立SMA 彈簧模型，并進行了驗證試驗。 Savi 等人[12]通過實驗和基于Auricchio模型[13]的有限元方法，研究了幾何非線性對SMA 彈簧力學行為的影響。 結果指出，當彈簧指數較大時，幾何非線性效應的影響較為明顯。 上述研究表明，基于現有的熱力學本構模型對SMA 彈簧的力-位移關系進行模擬是可行的。 最近，黃斌等[14]對Motahari和Ghassemich[15]提出的SMA 多段線性本構模型進行修正，并利用修正后的模型模擬SMA 彈簧在復雜加載條件下的力-位移關系，試驗和模擬結果表明，該修正模型的模擬方法較原模型更準確。 Zhang等[16]基于Graesser-Cozzarelli 本構模型[17]，同時考慮彈簧絲截面上的扭矩和彎矩的影響，對SMA 彈簧的力-位移關系進行模擬。 其模擬結果較好，同時還研究了彈簧指數和彈簧初始高度對SMA 彈簧力-位移關系特性的影響。

目前建立的SMA 彈簧力-位移關系所使用的本構模型大多為一維本構模型，將彈簧絲截面上的正應力和切應力單獨考慮，忽略了正應力和切應力之間的耦合效應。 另外，同時考慮彈簧絲截面上的扭矩和彎矩對彈簧力-位移關系影響的研究也還有待深入。筆者采用SMA 的三維熱力學本構模型，同時考慮截面上的扭矩和彎矩，結合彈簧理論，對SMA 彈簧的力-位移關系進行模擬，建立了SMA 彈簧在拉伸荷載下的力-位移關系數值仿真模型。 此外，通過編寫通用有限元軟件Abaqus 中的用戶材料子程序(UMAT)對SMA 彈簧進行有限元實現。 最后，通過NiTi 合金絲的材料試驗和SMA 彈簧的多級加載試驗，驗證了文中所用方法的有效性和正確性。

1 SMA 彈簧拉伸試驗

本文試驗采用的材料為NiTi 合金絲，通過工廠加工制得NiTi 彈簧，如圖1(a)所示。 彈簧絲半徑為0.74 mm，彈簧圈半徑為6.3 mm，有效圈數為6 圈，彈簧的初始長度為21.5 mm。 使用合適的夾具將彈簧試件固定在MTS 858 試驗機上，如圖1(b)所示。 試驗加載采用位移加載模式，加載速度為1 mm/s，試驗環境溫度為27 ℃。 試驗的加載工況為不同位移幅值加載，位移幅值分別為40 mm、50 mm、60 mm、 70 mm和80 mm。

圖1 SMA 彈簧拉伸試驗

為了獲取SMA 材料相關參數，需要對SMA 絲材進行不同應變幅值拉伸卸載試驗。 取同一批次的Ni-Ti 合金絲在MTS 858 試驗機上進行低應變率(5×10-4s-1)和低應變幅值(2.2%，3.2%，4.2%，5.3%，6.3%)的拉伸卸載試驗，拉伸試樣的總長度為78 mm，標定長度為38 mm。

2 SMA 的本構模型

在小變形框架下，將材料點總應變張量ε 分解為三個部分，即彈性應變張量εe、熱膨脹應變張量εT和相變應變張量εtr，即:

彈性應變張量εe和應力張量σ 的關系可以通過胡克定律得到:

式中:C(ξ)是四階的彈性張量；εT可以表示為:

式中:α 和Tr分別是二階熱膨脹張量和參考溫度。

參考Lagoudas 和Entchev[18-19]的工作，相變應變張量的率tr可以寫成:

以及馬氏體相變方向張量Ntr可以寫成:

式中:是馬氏體體積分數率；gtr是馬氏體完全相變所造成的相變應變大小；σdev是偏應力張量；ξrecent和分別是逆相變開始點的馬氏體體積分數和相變應變張量。

參考Yu 等[20]的工作，在連續介質熱力學框架下，建立了材料點的Helmholtz 自由能，并通過不可逆熱力學推導，得到了熱力學驅動力πtr，即:

式中:Δc＝cM-cA，；cA和分別是參考狀態下奧氏體的定容熱容和組態熵；cM和分別是參考狀態下馬氏體的定容熱容和組態熵；T0是平衡溫度；X是相變各向同性抗力。

為便于數值實現，參考Anand 和Gutin[21]的工作，采用冪律形式的方程描述馬氏體體積分數的演化:

式中:mtr是材料參數，用來控制黏性大小，當mtr趨于∞大時，黏性效應消失，即退化為無黏性情形；Y是一個控制應力-應變曲線相變滯回環寬度的變量。

參考Yu 等人[20]的工作，對Y進行如下改進:

式中:Y0、Yc1和Yc2為材料參數，由此可以描述逆相變開始時的馬氏體體積分數對滯回環寬度的影響。

另外，對相變各向同性抗力的逆相變部分進行改進:

式中:h1、h2和n為材料參數；變量ξrela用來刻畫逆相變開始時的非線性部分，它與逆相變開始時的馬氏體體積分數相關，可以表示為:

在引入應力平衡方程和變形幾何方程后，結合上文給出的本構方程，可以得到描述SMA 應力-應變關系的封閉方程組。

3 SMA 彈簧的建模

當SMA 彈簧發生較大的軸向變形時，彈簧絲截面上除有扭矩的作用外，也有較大的彎矩，文中將同時考慮彈簧絲截面上的扭矩和彎矩的影響。 當SMA彈簧的圈半徑和絲半徑的比值較小時，由于彈簧絲的彎曲效應，在彈簧發生變形的時候，彈簧絲截面將會發生畸變，導致截面上的應變分布不再對稱。 但Mirzaeifar 等[9]發現，這種效應對SMA 彈簧的力-位移關系的影響不明顯，為簡化分析，這里不考慮這種效應的影響，認為截面上的應變分布是對稱的，如圖2 所示。

圖2 彈簧絲截面切應變γ 和正應變ε 分布圖

假設SMA 彈簧的初始圈半徑為R0，初始長度為L0，彈簧初始螺距角為α0，彈簧有效圈數為N，彈簧絲的半徑為r，彈簧在軸向力F下的縱向位移為u，彈簧變形后的螺距角和圈半徑分別為α和R，如圖3 所示。利用圖3，彈簧絲的總長度可以表示為:

圖3 SMA 彈簧受拉示意圖

則彈簧的初始螺距角可以寫為:

彈簧變形后的螺距角和圈半徑分別為:

因此，圖2 中彈簧絲截面上分布的正應變和切應變具體可以表示為:

式中:ρ為極坐標系中的徑向坐標；y為笛卡爾坐標系中垂直于彈簧中心軸的縱坐標。

在利用式(15)、(16)得到彈簧絲截面上分布的切應變和正應變后，結合第2 節中介紹的SMA 本構模型，可以獲得彈簧絲截面上分布的切應力和正應力。 然后，可以通過如下兩個積分式得到彈簧絲截面上的扭矩MT和彎矩MB:

式中:θ為徑向坐標；ρ所對應的角坐標。

最后，從圖3 中可以發現，彈簧沿長度方向的縱向力F是由彈簧絲截面上的扭矩MT和彎矩MB共同引起的，其表達式為:

根據以上步驟，就可以得到SMA 彈簧的力-位移關系。

4 SMA 彈簧的數值模擬

由SMA 材料試驗，可以得到文中所需的相關材料參數。 根據材料參數，對彈簧試件的力-位移試驗曲線進行數值模擬和有限元分析，所需的SMA 彈簧試件參數如表1 所列。

表1 SMA 彈簧相關參數

首先，采用第2 節中提出的本構模型對材料應力-應變關系進行模擬。 如圖4 所示，在加載過程中，模擬結果與試驗完全吻合；在卸載過程中，模擬結果很好地描述了滯回環與應變幅值的關系，以及逆相變開始時的非線性段，由此驗證了上述本構模型的正確性。

圖4 SMA 材料試驗及其模擬

然后，根據SMA 材料參數，對SMA 彈簧試件的力-位移試驗曲線進行數值模擬，控制與試驗相同的工況進行加載，模擬結果和試驗結果的對比如圖5 和圖6 所示。

圖5 SMA 彈簧考慮截面彎矩的模擬與試驗結果

圖6 SMA 彈簧不考慮截面彎矩的模擬與試驗結果

從圖5 中可以看出，在同時考慮了彈簧絲截面上扭矩和彎矩的模擬結果中，與試驗結果較為吻合，模擬結果較為準確地描述了SMA 彈簧在拉伸卸載過程中的相變開始點，逆相變開始時的非線性段，以及滯回環隨著位移幅值的增大而變大的現象。

從圖6 中可以看出，不考慮彈簧絲截面彎矩的情況下，SMA 彈簧的模擬結果與試驗結果差距較大，誤差主要發生在SMA 彈簧開始相變之后。 位移幅值越大，其模擬結果的誤差越大。 這里主要的原因是，當彈簧位移幅值增大，在拉伸過程中，彈簧的螺距角變大，使得截面上的彎矩增加，導致長度方向上的力增大。 所以位移幅值越大時，彈簧絲截面上彎矩的影響就會越大。

5 有限元分析

將2 節中提及的本構模型通過隱式歐拉法進行數值離散，并編寫有限元軟件Abaqus 中的用戶材料子程序(UMAT)，對彈簧的變形行為進行有限元分析。SMA 彈簧的幾何模型及其網格劃分如圖7 所示。 將SMA 彈簧下端固定，上端施加位移荷載，得到SMA 彈簧拉伸至位移幅值時的馬氏體體積分數云圖，如圖8所示。 從圖8 中可以看出，在遠離施加荷載的位置，沿彈簧絲長度方向，馬氏體相變是均勻發生的。 在SMA 彈簧絲截面上，彈簧的內側先發生馬氏體相變，靠近外側的則稍后。

圖7 SMA 彈簧幾何模型及網格劃分

圖8 SMA 彈簧馬氏體體積分數分布云圖

提取力-位移關系曲線，如圖9 所示。

圖9 SMA 彈簧試驗、數值和有限元模擬結果對比

由圖9 可以看出，數值模擬和有限元模擬都很好地描述了SMA 彈簧在拉伸卸載過程中的變形特性。在位移荷載施加到18 mm 左右時，SMA 彈簧開始進入相變。 從試驗結果和模擬結果來看，文中所分析的幾個工況中，SMA 彈簧均未發生完全相變。 在卸載后，位移減小至0，彈簧恢復至初始時無變形的狀態。

由此，試驗和模擬的結果充分說明了上述方法的有效性和正確性。

6 結 語

文中采用三維的SMA 本構模型，參考已有的工作，對滯回環寬度和逆相變中的相變抗力進行適當改進，并結合彈簧理論，建立SMA 彈簧力-位移關系模型，模擬結果很好地描述SMA 彈簧的變形特性。 此外，建立了對應的SMA 彈簧有限元模型，討論了馬氏體體積分數在彈簧絲截面上的變化情況。 通過NiTi彈簧試件的多級加載試驗，驗證了文中方法的有效性和正確性。 文中考慮彈簧絲截面彎矩的影響，通過對比模擬和試驗結果發現，在彈簧變形中，彈簧絲截面彎矩會影響彈簧的力-位移關系曲線，且其影響會隨著彈簧位移幅值的增加而增大，故在進行彈簧力-位移關系的研究時，考慮彈簧絲截面彎矩的影響可以使結果更加準確，更符合實際。