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從制作無蓋的長方體紙盒說起

2022-11-29 07:15:04趙娟
初中生世界 2022年41期

文/趙娟

問題1:如圖1,如何用一張正方形的紙片制作一個無蓋的長方體紙盒?

圖1

對于這個問題,我們不妨反過來考慮,把無蓋長方體紙盒攤開,我們能得到什么樣的平面圖形?這時問題就迎刃而解了。我們只需要把正方形紙片的四個角剪掉,而且減掉的部分必須是4個大小相同的小正方形。那么,為什么是4個大小相同的小正方形呢?同學們可以動手操作一下,可以發現,剪掉的小正方形的邊長是折疊后長方體的高(如圖2)。

圖2

問題2:若正方形紙片的邊長為20cm,剪去的小正方形的邊長為xcm,折成的無蓋的長方體紙盒的容積如何表示?

要想表示長方體紙盒的容積,我們可以思考,長方體的容積和哪些量有關系。不難發現,容積和剪掉的四個角(小正方形)的大小有關系。如果大正方形的邊長為20cm,剪去的小正方形的邊長為xcm(如圖3),那么折成的無蓋長方體紙盒的長和寬均為(20-2x)cm,高為xcm,折成的無蓋長方體紙盒的容積V=x(20-2x)2。

圖3

問題3:當小正方形邊長x變化時,所得到的無蓋長方體盒子的容積如何變化?猜一猜,當小正方體的邊長取什么值時,所得無蓋長方體盒子的容積最大?

當小正方形邊長變化時,所得到的無蓋長方體盒子的容積如何變化呢?我們試著通過代入具體數值計算盒子的容積。當剪去的小正方形的邊長x取1、2、3、4、5、6、7、8、9(單位:cm)時,分別求出制成的無蓋長方體紙盒的容積,然后以表格的形式記錄下來(如表1),可以更為直觀地感受變化的過程。

表1

通過表1,我們發現:隨著小正方形的邊長x的值變大,紙盒的容積V先變大再變小,當x在2~4cm之間時,V的值比較大。我們不妨先在3~4cm之間,按0.1cm的間隔取值,然后代入計算(如表2),同理,在2~3cm之間,也按相同間隔取值、計算(表略)。

表2

通過計算,我們發現:在2~4cm之間,當剪去的小正方形的邊長等于3.3cm時,所得到的無蓋長方體盒子的容積最大,此時盒子的容積是592.548cm3。我們可以繼續在3.2~3.4cm之間,按0.01cm的間隔取值,然后代入計算。以此類推,可得到小正方形的邊長為3.333333333…時,無蓋長方體形盒子的容積最大。于是猜測,當時,V最大。

問題4:如圖4,如果正方形的邊長為acm,那么做成的無蓋長方體盒子的容積V如何表示?猜測當小正方形的邊長x與a有什么關系時,所得到的無蓋長方體紙盒容積最大?

圖4

有了問題2的思路,我們不難得出,V=x(a-2x)2,改變a的取值,重復問題3的探索過程,經過比較、歸納,猜測當時,盒子的容積最大。如果要確定當時,V最大的話,還需要嚴格的數學證明,證明方法我們后續會學到的。

制作無蓋的長方體紙盒系列問題,需要綜合應用字母表示數、列代數式、求代數式的值以及利用代數式的值探索代數式所反映的規律等知識。同學們可以通過研究這一現實的、有趣的、富有挑戰性的課題,體驗數學來源于生活,又服務于生活。

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