勇闖中考的“三數”關

文／胡煥過

數據的集中趨勢和離散程度是中考數學考查的熱點內容。隨著考查的不斷深入，此類問題的創新性、綜合性也更強，出現了一批背景豐富、考點全面、題型新穎、貼近生活的題型。下面，我們就一起走入2022年中考現場。

“三數”，即平均數、中位數、眾數，從不同的角度給我們提供了一組數據的面貌特征。正因為如此，我們把這三個數作為一組數據集中趨勢的代表。

考點1 平均數的應用

例1（2022·浙江杭州）某校學生會要在甲、乙兩位候選人中選擇一人擔任文藝部干事，對他們進行了文化水平、藝術水平、組織能力的測試，根據綜合成績擇優錄取。他們的各項成績（單項滿分100分）如表所示：

候選人甲 乙文化水平80分80分藝術水平87分96分組織能力82分76分

（1）如果把各項成績的平均數作為綜合成績，應該錄取誰？

（2）如果想錄取一名組織能力較強的候選人，把文化水平、藝術水平、組織能力三項成績分別按照20%、20%、60%的比例計入綜合成績，應該錄取誰？

【分析】（1）根據題意，求這組數據的算術平均數，再通過比較大小作出決策；（2）與（1）有區別，文化水平、藝術水平、組織能力三項成績的重要程度不相同，分別占20%、20%、60%。我們把衡量各個數據“重要程度”的數值稱為“權”。根據題意，這一問求的是這組數據的加權平均數，再通過比較大小作出決策。

解：（1）甲的綜合成績為=83（分），乙的綜合成績為84（分）。因為乙的綜合成績比甲的高，所以應該錄取乙。

（2）甲 的 綜 合 成 績 為80×20%+87×20%+82×60%=82.6（分），乙的綜合成績為80×20%+96×20%+76×60%=80.8（分）。因為甲的綜合成績比乙的高，所以應該錄取甲。

【點評】本題主要考查平均數的運用，解題的關鍵是區分算術平均數與加權平均數的概念和熟練掌握兩者的計算公式。

考點2 中位數和眾數的應用

例2（2022·河北）五名同學捐款數分別是5，3，6，5，10（單位：元），捐10元的同學后來又追加了10元。追加后的5個數據與之前的5個數據相比，集中趨勢相同的是（ ）。

A.只有平均數

B.只有中位數

C.只有眾數

D.中位數和眾數

【分析】分別計算前后數據的平均數、中位數、眾數，比較即可得出答案。

解：追加前，平均數為

從小到大排列為3，5，5，6，10，則中位數為5。5出現次數最多，眾數為5。

追加后，平均數為

從小到大排列為3，5，5，6，20，則中位數為5。5出現次數最多，眾數為5。

綜上，中位數和眾數都沒有改變。

故選D。

【點評】本題綜合考查了平均數、中位數與眾數的運用。我們要注意以下幾點：（1）求平均數需要全組所有數據，其中任何數據的變動都會引起平均數變動。平均數反映了一組數據的總體水平，易受極端值的影響。（2）求中位數需要把數據先按大小順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數，則處于中間位置的兩個數的平均數就是這組數據的中位數。某些數據的變動對中位數沒有影響，中位數反映了一組數據的中等水平，不易受極端值的影響。（3）眾數與數據出現的次數有關，結果可以不唯一。眾數反映了一組數據的多數水平，不易受極端值的影響。