概率也生長 計算有新法

文／曹小兵 崔恒劉

第四章 等可能條件下的概率

領 銜 人：崔恒劉

組稿團隊：江蘇省東臺市實驗中學教育集團

生活中的事件有許許多多的不確定性。八（下）“認識概率”從概率的統計定義出發，展開了對概率初步知識的研究，得到了計算隨機事件的概率的方法，即在一定的條件下，以試驗的客觀對稱性或均衡性為前提，進行概率的計算。這需要解決兩個問題：一是如何判斷試驗結果的等可能性；二是在等可能條件下，用哪些方法計算簡單隨機事件的概率。為此，九（上）“等可能條件下的概率”安排了3節內容來解決這兩個問題。

第1節，以熟悉的實例為問題背景，幫助我們理解隨機試驗的所有可能結果，進一步理解等可能的意義，學會根據隨機試驗結果的客觀對稱性或均衡性判斷試驗結果是否具有等可能性，歸納出等可能性事件的兩個基本特征：一是試驗所有可能出現的結果是有限個；二是每一個試驗結果出現的可能性相同。

例1兩個正四面體骰子的各個面上分別標明數字1、2、3、4，如果同時拋擲這兩個正四面體骰子，則著地面所得的點數之和是2和5，它們是等可能的嗎？

【解析】很多同學會覺得，著地面所得的點數之和分別是2、3、4、5、6、7、8，共有7種不同的結果，是等可能結果。不過，著地面點數之和是2、3、4、5、6、7、8不假，但結果不是等可能的。我們可以有序思考（為便于說明，我們將兩枚正四面體骰子分別記作骰子A和骰子B）：

如果骰子A拋出1，骰子B可能是1、2、3、4，對應的和分別為2、3、4、5；

如果骰子A拋出2，骰子B可能是1、2、3、4，對應的和分別為3、4、5、6；

如果骰子A拋出3，骰子B可能是1、2、3、4，對應的和分別為4、5、6、7；

如果骰子A拋出4，骰子B可能是1、2、3、4，對應的和分別為5、6、7、8。

由此看出，共有16種情況，著地面所得的點數之和等于2的結果只有一種，等于3的共有2種，等于4的共有3種，等于5的共有4種，等于6的共有3種，等于7的共有2種，等于8的共有1種，它們不是等可能的。

第2節，通過具體的問題情境，在理解等可能事件的兩個基本特征的基礎上，歸納出等可能條件下概率（古典概率）的計算公式：

例2甲口袋裝有編號為1、2的兩個球，乙口袋裝有編號為1、2、3、4、5的五個球，兩個口袋中的球除編號外都相同。小冰先從甲口袋中隨機摸出一個球，小雪再從乙口袋中隨機摸出一個球，若兩球編號之和為奇數，則小冰獲勝；若兩球編號之和為偶數，則小雪獲勝。

請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個游戲對雙方是否公平。

【解析】列表，所有可能的結果如下：

乙甲1 2 3 4 5 1（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）

共有10種等可能的結果，其中兩球編號之和為奇數的有5種結果，兩球編號之和為偶數的有5種結果，所以

因為P（小冰獲勝）=P（小雪獲勝），所以游戲對雙方都公平。

【點評】判斷游戲的公平性需要先計算每個事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平。

第3節，運用“無限”向“有限”轉化的思想，將“等可能條件下的概率（二）——幾何概型”轉化為“等可能條件下的概率（一）——古典概型”來研究解決，試驗的取值范圍從正整數推廣到正實數，試驗的結果從“有限”推廣到“無限”。

例3如圖1，在5×6的長方形網格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色外都相同，小正方形的頂點稱為格點，扇形OAB的圓心及弧的兩端均為格點。假設飛鏢擊中每一塊小正方形是等可能的（擊中扇形的邊界或沒有擊中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次，飛鏢擊中扇形OAB（陰影部分）的概率是（ ）。

圖1

【解析】長方形網格總面積為5×6=30，其中陰影部分面積為

【點評】對于幾何概率問題，一般轉化為同一種量的代數關系的比例問題，這個比例即事件發生的概率。

解概率題首先要確認所有可能結果是等可能的?！暗瓤赡堋笔且环N假設，是一種理想狀態，“等可能”事件具備兩個特征：試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現的等可能性。對于不具有等可能性的問題，我們要學會變換思維角度、去偽存真，將其轉化為等可能事件。如摸球試驗中同顏色球不止一個時，為了體現事件的等可能性，一般需要將它們分別編號；投飛鏢和轉盤試驗中，原題分的“塊”的面積不相等時，一般需要將它們再細分成等面積區域，然后再解。