概率易錯題面面觀

文／劉宇峰

忽視等可能性

例1把3顆算珠放在計數器的3根插棒上構成一個數字，例如，圖1擺放的算珠表示數300。現將3顆算珠任意擺放在這3根插棒上。求構成的數是三位數的概率。

圖1

【錯解】3顆算珠，3根插棒，我們將數字一一有序列舉出：

情況1：將3顆算珠放百位上，只有一種結果，表示數300；

情況2：將2顆算珠放百位上，剩下1顆有兩種放法，放在十位上，表示數210，或放在個位上，表示數201；

情況3：將1顆算珠放百位上，剩下2顆有三種放法，都放在十位上，表示數120，或都放在個位上，表示數102，或十位、個位上各放一個，表示數111；

情況4：百位上不放，有四種放法，3顆算珠都放在十位上，表示數30，或十位上放2顆，個位上放1顆，表示數21，或十位上放1顆，個位上放2顆，表示數12，或都放個位上，表示數3。

共有10種結果，其中構成三位數的結果有6種，所以構成的數是三位數的概率是

【分析】錯解一一有序地列舉出構成的數字，初看似乎有道理，但細細研究，我們不難發現，這10種結果不具有等可能性。

【正解】將3顆算珠任意擺放在計數器的3根插棒上，等價于：有3顆算珠，首先放第一顆算珠，它可以放在百位上，可以放在十位上，也放在個位上，有3種等可能放法；接著放第二顆算珠，同樣，它可以放在百位上，可以放在十位上，也放在個位上，也是有3種等可能放法；最后放第三顆算珠，它同樣有3種等可能放法（百位、十位、個位），畫樹狀圖如下：

將3顆算珠任意擺放在這3根插棒上，共有27種等可能的結果，其中構成的數是三位數的結果有19種，所以構成的數是三位數的概率為

【點評】求概率的前提條件是“等可能性”。一般地，設一個試驗的所有可能發生的結果有n個，它們都是隨機事件，每次試驗有且只有其中的一個結果出現。如果每個結果出現的機會均等，那么我們說這n個事件的發生是等可能的，也稱這個試驗的結果具有等可能性。

未能區分“有放回”與“不放回”

例2為了調動同學們學習數學的積極性，某班組織開展了“數學小先生”講題比賽，老師將四道備講題的題號1、2、3、4分別寫在完全相同的4張卡片的正面，將卡片背面朝上洗勻。小明隨機抽取兩張卡片，用畫樹狀圖或列表的方法求兩張卡片上的數字是“2”和“3”的概率。

【錯解】列表如圖。

共有16種等可能的結果，其中兩張卡片上的數字是“2”和“3”的結果有2種，

所以小明隨機抽取兩張卡片，兩張卡片上的數字是“2”和“3”的概率為

【分析】隨機抽取兩張卡片，相當于先后抽兩次，第一次抽到的卡片不放回，再抽第二次。

【正解】列表如圖。

結果1 2 3 4 1（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）

共有12種等可能的結果，其中兩張卡片上的數字是“2”和“3”的結果有2種。

所以小明隨機抽取兩張卡片，兩張卡片上的數字是“2”和“3”的概率為

【點評】對于“抽卡片”“摸球”等類型的問題，我們要看清題目條件的敘述是“有放回”還是“不放回”。對于“有無放回”，一是題目條件中明確交代是“有放回”，二是同時“抽”“摸”兩次，即暗示“無放回”。“擲骰子”“拋硬幣”“搖轉盤”等類型的問題，第一次出現的，第二次還有可能出現，相當于“抽”“摸”中的“有放回”。