具有隨機(jī)增益的電力系統(tǒng)彈性負(fù)荷頻率H∞控制

姚方方,張欣雨

(安徽電氣工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院,合肥 230051)

0 引言

在過(guò)去幾十年里，負(fù)荷頻率控制在電力系統(tǒng)負(fù)荷波動(dòng)的情況下，因其能夠?qū)⑾到y(tǒng)頻率調(diào)整到預(yù)定值的強(qiáng)大能力，受到了相當(dāng)大的關(guān)注[1-3]。對(duì)于傳統(tǒng)的負(fù)荷頻率控制，控制信號(hào)/測(cè)量值通過(guò)專(zhuān)用通信信道傳輸。眾所周知，隨著開(kāi)放式通信網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用，現(xiàn)代的負(fù)荷頻率控制是通過(guò)開(kāi)放的通信網(wǎng)絡(luò)傳輸，但在負(fù)荷頻率控制系統(tǒng)不可避免地會(huì)出現(xiàn)常數(shù)時(shí)延或時(shí)變時(shí)延等現(xiàn)象。目前，已經(jīng)報(bào)道了許多關(guān)于受通信延遲影響的電力系統(tǒng)的負(fù)載頻率控制的研究成果[4-8]。例如，在文獻(xiàn)[4]中研究了考慮到時(shí)間延遲(恒定和時(shí)變延遲)的具有負(fù)荷頻率控制的電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在李亞普諾夫穩(wěn)定性理論和積分不等式技術(shù)的基礎(chǔ)上，提出了一個(gè)確保系統(tǒng)穩(wěn)定性的新標(biāo)準(zhǔn)。在文獻(xiàn)[6]中，作者研究了負(fù)載頻率控制系統(tǒng)在不同類(lèi)型的時(shí)變/恒定延遲下的延遲相關(guān)鎮(zhèn)定方法。Peng與Zhang等人在文獻(xiàn)[8]通過(guò)考慮時(shí)滯的影響，研究了電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。

一般而言，執(zhí)行器在控制系統(tǒng)中起著非常重要的作用，因?yàn)閳?zhí)行器突如其來(lái)的故障會(huì)導(dǎo)致整個(gè)電力系統(tǒng)性能損壞甚至使得系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。因此設(shè)計(jì)了可靠的控制，以可靠的方式獲得指定的系統(tǒng)性能是十分有必要的。文獻(xiàn)[9]采用基于線(xiàn)性矩陣不等式的優(yōu)化算法，提出了一種針對(duì)隨機(jī)變化的電力系統(tǒng)設(shè)計(jì)具有混合執(zhí)行器故障的容錯(cuò)狀態(tài)反饋控制器的方法。文獻(xiàn)[10]通過(guò)非脆弱采樣數(shù)據(jù)控制方法解決了具有恒定時(shí)延和擾動(dòng)的不確定多區(qū)域電力系統(tǒng)的可靠負(fù)荷頻率控制設(shè)計(jì)問(wèn)題。文獻(xiàn)[11]研究了具有執(zhí)行器故障的馬爾可夫跳躍系統(tǒng)的異步基于觀(guān)察器的滑模控制。此外，文獻(xiàn)[12] 為了提高最大功率點(diǎn)跟蹤的動(dòng)態(tài)性能和可靠性，本文提出了一種風(fēng)力發(fā)電系統(tǒng)的自適應(yīng)主動(dòng)容錯(cuò)控制策略，克服了執(zhí)行器潛在部分丟失、未知的建模錯(cuò)誤和外部干擾問(wèn)題。

需要注意的是，現(xiàn)有的關(guān)于執(zhí)行器故障補(bǔ)償方案的結(jié)果大多是針對(duì)確定性情況提出的[13-20]。如文獻(xiàn)[13] 基于高階滑模微分和離散時(shí)間優(yōu)化技術(shù) 研究了具有噪聲測(cè)量的被動(dòng)非線(xiàn)性系統(tǒng)的輸入估計(jì)和補(bǔ)償問(wèn)題。文獻(xiàn)[15]介紹了在存在未知死區(qū)、外部干擾和執(zhí)行器故障的情況下，一類(lèi)大規(guī)模時(shí)間延遲非線(xiàn)性系統(tǒng)的自適應(yīng)神經(jīng)補(bǔ)償方案。在這篇文章中，引入了二次Lyapunov-Krasovskii函數(shù)來(lái)解決系統(tǒng)的延遲。通過(guò)使用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)估計(jì)系統(tǒng)的未知函數(shù)。此外，還開(kāi)發(fā)了一個(gè)干擾觀(guān)測(cè)器來(lái)逼近外部干擾。所提出的自適應(yīng)神經(jīng)補(bǔ)償控制方法是通過(guò)利用反步技術(shù)構(gòu)建的文獻(xiàn)[20]討論了在未建模的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)和無(wú)限多的時(shí)變執(zhí)行器故障存在的情況下的柔性操縱器的新型自適應(yīng)補(bǔ)償策略。與現(xiàn)有結(jié)果不同的是，未建模的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)由非線(xiàn)性時(shí)變延遲函數(shù)表示，借助于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)和Lyapunov-Krasovskii函數(shù)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。但在現(xiàn)實(shí)中，由于環(huán)境情況的隨機(jī)變化，執(zhí)行器故障也是隨機(jī)的。與已有的確定性可靠控制結(jié)果相比，迄今為止，關(guān)于隨機(jī)性質(zhì)下控制元件失效的研究文獻(xiàn)很少。在這方面，文獻(xiàn)[21]研究了一系列復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的基于觀(guān)測(cè)器的同步問(wèn)題，這些網(wǎng)絡(luò)受到時(shí)間延遲、外部干擾、隨機(jī)發(fā)生的執(zhí)行器故障和輸入飽和的影響。文獻(xiàn)[22]對(duì)非線(xiàn)性撓性航天器進(jìn)行了隨機(jī)執(zhí)行器失效建模，并通過(guò)采樣數(shù)據(jù)控制實(shí)現(xiàn)了有限時(shí)間姿態(tài)穩(wěn)定。此外，隨機(jī)執(zhí)行器故障的可靠控制在控制器設(shè)計(jì)中具有現(xiàn)實(shí)意義。因此，我們?cè)诒疚闹锌紤]隨機(jī)情況下執(zhí)行器故障的問(wèn)題。

另一方面，在動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的控制實(shí)現(xiàn)過(guò)程中，由于環(huán)境的影響，控制增益會(huì)隨機(jī)偏離。在這種情況下，需要用隨機(jī)的方法來(lái)考慮增益的變化來(lái)容忍偏差。隨機(jī)發(fā)生增益波動(dòng)的彈性控制的研究在文獻(xiàn)[23-30]中得到了關(guān)注。例如，在文獻(xiàn)[23]中，針對(duì)增益隨機(jī)變化的模糊系統(tǒng)有限時(shí)間無(wú)源問(wèn)題，提出了彈性可靠控制。文獻(xiàn)[24]討論了一類(lèi)具有兩種不同類(lèi)型的憶阻函數(shù)和不確定的時(shí)變延遲的憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非脆弱狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題。為了實(shí)現(xiàn)混沌Lurie系統(tǒng)的同步準(zhǔn)則，文獻(xiàn)[25]設(shè)計(jì)了隨機(jī)發(fā)生控制器增益波動(dòng)的不易脆裂的控制。文獻(xiàn)[27]討論了一類(lèi)具有執(zhí)行器故障的隨機(jī)系統(tǒng)的基于耗散性的彈性采樣數(shù)據(jù)控制問(wèn)題。特別是，假設(shè)控制器擁有不同故障率的概率性執(zhí)行器故障。此外，控制器的增益波動(dòng)以隨機(jī)的方式出現(xiàn)，服從于某些伯努利分布的白噪聲序列。文獻(xiàn)[28] 通過(guò)使用具有時(shí)變概率度量的伯努利分布白色序列來(lái)考慮控制器的增益矩陣中的隨機(jī)波動(dòng)。 提出了基于無(wú)源理論的一類(lèi)網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的彈性控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題。文獻(xiàn)[30]討論了由區(qū)間值模糊模型近似的非線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的基于耗散性的非脆弱可靠性采樣數(shù)據(jù)異步合成問(wèn)題，該系統(tǒng)具有隨機(jī)發(fā)生的參數(shù)不確定性和控制器增益波動(dòng)同時(shí)對(duì)抗半馬爾科夫型混合執(zhí)行器故障。

基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和線(xiàn)性矩陣不等式方法，在各種負(fù)荷頻率控制技術(shù)下，電力系統(tǒng)模型的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定問(wèn)題得到了廣泛的研究。例如，文獻(xiàn)[31]通過(guò)比例、積分和微分型負(fù)荷頻率控制方案研究了電力系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)魯棒穩(wěn)定性。同樣，文獻(xiàn)[32]和文獻(xiàn)[33]中分別采用自適應(yīng)事件觸發(fā)負(fù)荷頻率控制和彈性事件觸發(fā)負(fù)荷頻率控制技術(shù)分析了電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。然而在彈性可靠H∞負(fù)荷頻率控制設(shè)計(jì)下，沒(méi)有考慮具有隨機(jī)增益波動(dòng)和執(zhí)行器故障的電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定性，這是本文的主要研究動(dòng)機(jī)。

受上述討論的啟發(fā)，本文的主要工作是研究彈性可靠H∞負(fù)荷頻率控制下電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定準(zhǔn)則。本文的主要貢獻(xiàn)如下。

1)與已有文獻(xiàn)不同的是，本文提出的電力系統(tǒng)模型容易受到外部負(fù)荷擾動(dòng)、隨機(jī)執(zhí)行器故障和隨機(jī)發(fā)生增益波動(dòng)的影響。

2)推導(dǎo)了隨機(jī)執(zhí)行器故障電力系統(tǒng)存在和不存在隨機(jī)增益變化時(shí)均方漸近穩(wěn)定和鎮(zhèn)定準(zhǔn)則的時(shí)滯相關(guān)充分條件。

3)通過(guò)給出數(shù)值算例，對(duì)比文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[8]中的結(jié)果，證明了本文所提出的方法在最大允許時(shí)滯上限、最小H∞性能指標(biāo)和電力系統(tǒng)彈性穩(wěn)定上具備明顯的優(yōu)點(diǎn)。

本文的剩余部分安排如下。第一節(jié)建立了電力系統(tǒng)負(fù)荷頻率控制的動(dòng)態(tài)模型。第二節(jié)介紹了電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析與控制器設(shè)計(jì)。第三節(jié)針對(duì)隨機(jī)發(fā)生增益波動(dòng)的電力系統(tǒng)設(shè)計(jì)了可靠負(fù)荷頻率H∞控制器。在第四節(jié)，仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提本文所提出方法的有效性，分別給出了時(shí)變時(shí)延最大允許上界、最小可靠的H∞穩(wěn)定分析性能指標(biāo)以及所設(shè)計(jì)的控制器增益的分析。結(jié)束語(yǔ)在第五節(jié)中給出。

符號(hào)定義：在本文中，上標(biāo)“-1”表示矩陣逆，“T”表示矩陣轉(zhuǎn)置，* 表示對(duì)稱(chēng)矩陣中的對(duì)稱(chēng)項(xiàng)。E{x}表示x的期望。Pr{α}表示事件α的發(fā)生概率。I表示適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣。n表示n維歐氏空間，n×m表示所有n×m矩陣的集合， diag{·}表示塊對(duì)角矩陣。

1 電力系統(tǒng)負(fù)荷頻率控制的動(dòng)態(tài)模型

單區(qū)域電力系統(tǒng)的一般狀態(tài)空間模型[34]可以描述為：

(1)

其具體參數(shù)的物理意義見(jiàn)表1所示。

uF(t)=α(t)u(t)

(2)

其中:u(t)為控制輸入，α(t)為表征隨機(jī)執(zhí)行器故障現(xiàn)象的隨機(jī)變量，假設(shè)滿(mǎn)足Bernoulli分布，即:

Pr{α(t)=1}=ρ,Pr{α(t)=0}=1-ρ

(3)

表1 電力系統(tǒng)參數(shù)

其中:ρ∈[0,1]是已知常數(shù)。由式子(3)，我們得到E{ (α(t)-ρ) }=0和E{(α(t)-ρ)2}=ρ(1-ρ)。由于控制信號(hào)的傳輸，負(fù)荷頻率控制的輸入被認(rèn)為是延遲ACE。然后，PI型負(fù)荷頻率控制定義如下：

u(t)=-Ky(t-σ(t))

(4)

其中：

為了得到電力系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定準(zhǔn)則，首先給出如下引理。

引理2[35]：對(duì)于任意正定對(duì)稱(chēng)矩陣Q∈n×n和u，v∈n，有:

±uTv≤uTQu+vTQ-1v

最后，給出本文的主要研究問(wèn)題1。

問(wèn)題1：給予系統(tǒng)(4)實(shí)現(xiàn)漸近穩(wěn)定的條件，在以下目標(biāo)下設(shè)計(jì)可靠的H∞負(fù)荷頻率控制。

1)Lyapunov-Krasovskii函數(shù)是利用延遲ACE的全信息構(gòu)造的。

2)建立了達(dá)到規(guī)定H∞性能指標(biāo)的穩(wěn)定準(zhǔn)則，并給出了以下條件。

(1)w(t)=0條件下的電力系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

(2)在零初始條件下，對(duì)于任意非零w(t)∈L2[ 0，∞)和給定的δ>0，有：

2 電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析與控制器設(shè)計(jì)

在這一部分中，我們將推導(dǎo)出電力系統(tǒng)(4)穩(wěn)定性分析的時(shí)滯相關(guān)充分條件和控制器設(shè)計(jì)的基本方案。

(5)

(6)

其中:

Θ=

Θ1,1=P1A+ATP1+P2+CTC+P3+P5，

Θ3=diag{-P3,-P4}，

Π1=[A-ρBKC0W] 。

證明：考慮如下李雅普諾夫泛函：

其中:

V1(x(t))=xT(t)P1x(t)

E{

(7)

E{V2(x(t))}=E{xT(t)P2x(t)-xT(t-h)P2x(t-h)+

(8)

E{

(1-τ)xT(t-σ(t))P5x(t-σ(t))}

(9)

積分項(xiàng)利用Jensen’s不等式，逆凸定理引理1可以很容易地得到如下不等式：

(10)

其中:η1=x(t)-x(t-σ(t))，η2=x(t-σ(t))-x(t(h)。將式(10)代入式(8)，有：

E

yT(t)y(t)+δ2wT(t)w(t)}

(11)

其中:ζT(t)=[xT(t)xT(t-σ(t))xT(t(h)wT(t)]。從式(11)，我們可以很容易地導(dǎo)出式(6)。如果式(6)成立，則有：

E{V(x(t))}≤E{-yT(t)y(t)+δ2wT(t)w(t)}

從0到∞兩邊積分即可得到:

E{V(x(∞))-V(x(0))}≤

對(duì)于任意非零w(t)∈L2[0，∞)，這意味著

在零初始條件V(x(0))=0下。假設(shè)w(t)=0，存在一個(gè)標(biāo)量φ>0使得:

E{

這說(shuō)明系統(tǒng)(4)H∞性能指標(biāo)下是均方漸近穩(wěn)定的。因此，證明完畢。

基于線(xiàn)性矩陣不等式的時(shí)滯相關(guān)充分條件設(shè)計(jì)負(fù)荷頻率控制方案的可靠H∞增益，給出定理如下。

(12)

(13)

(14)

其中：

Π2=[AR-ρBFC0W]。

此外，控制增益矩陣由K=FG-1設(shè)計(jì)。

(15)

其中：

注釋1：一般情況下，根據(jù)文獻(xiàn)[6]和[7]的假設(shè)所知，他們都是基于一個(gè)增益矩陣的假設(shè)，對(duì)負(fù)荷頻率控制的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性條件進(jìn)行了研究。假設(shè)增益矩陣未知，文獻(xiàn)[6]和[7]中的方法將不在適用。而本文的方法能夠設(shè)計(jì)未知控制增益K。

3 具有增益波動(dòng)的彈性可靠負(fù)荷頻率H∞控制器設(shè)計(jì)

在本節(jié)中，我們將設(shè)計(jì)具有隨機(jī)增益波動(dòng)和隨機(jī)執(zhí)行器故障的系統(tǒng)(4)的彈性可靠負(fù)荷頻率H∞控制器。我們首先考慮彈性控制輸入如下：

u(t)=(K+λ(t)ΔK(t))y(t-σ(t))

(16)

這里，K表示正常控制增益，ΔK(t)為加性增益擾動(dòng)并滿(mǎn)足ΔK(t)=LM(t)N，其中L和N為已知常數(shù)矩陣，未知矩陣M(t)滿(mǎn)足MT(t)M(t)≤I。同時(shí)，隨機(jī)變量λ(t)∈表示隨機(jī)發(fā)生的控制器增益波動(dòng)，其滿(mǎn)足Bernoulli分布的白噪聲，且Pr{λ(t)=1}=E{λ(t)}=γ，Pr{λ(t)=0}=1-γ，γ∈[0,1]，E{(λ(t)-γ)2}=γ(1(γ)。同樣，λ(t)和α(t)是不相關(guān)的隨機(jī)變量。然后，電力系統(tǒng)(4)可以轉(zhuǎn)換為如下形式：

(17)

由以上分析可知，滿(mǎn)足均方漸近穩(wěn)定性和H∞性能指標(biāo)準(zhǔn)則的理想彈性可靠H∞負(fù)荷頻率控制可以歸結(jié)為以下問(wèn)題。

問(wèn)題2：給定系統(tǒng)(17)，為保證漸近穩(wěn)定條件，在問(wèn)題1條件下設(shè)計(jì)了彈性可靠H∞負(fù)荷頻率控制器。

(18)

成立，

其中:

Φ=

Φ2,5=-ρCTFTBT,

Φ2,7=RCTNT,

Ω=

Ω5,5=γρBLQ4，

γ=diag{-Q2，-Q2，-Q3，-Q3，-Q4，-Q4，-I}。

再由K=FG-1得到彈性可靠控制器增益矩陣。

Cx(t-σ(t))-B(α(t)-ρ)γLM(t)×

NCx(t-σ(t))-ρB(K+(λ(t)-γ)LM(t)N)×

Cx(t-σ(t))-ργLM(t)NCx(t-σ(t))+

(19)

對(duì)于任意對(duì)稱(chēng)正定矩陣Qi(i=1,2,3,4)，可得到：

(20)

(21)

(22)

(23)

然后，計(jì)算弱無(wú)窮小生成元對(duì)V(x(t))隨系統(tǒng)的演化的期望，可得：

E{?(t)}

4 數(shù)值算例

下面通過(guò)文獻(xiàn)[6]中的數(shù)值算例來(lái)論證本文所得結(jié)果的可行性和有效性。為了確立本文的主要研究目標(biāo)，本文在以下幾部分中分別計(jì)算了時(shí)變時(shí)延最大允許上界(MAUB)、最小可靠的H∞穩(wěn)定分析性能指標(biāo)以及驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的控制器增益的有效性。

例：考慮了系統(tǒng)(4)，其參數(shù)值列于表2所示。

表2 電力系統(tǒng)(4)參數(shù)值

表3 文獻(xiàn)[6]中對(duì)不同控制增益取值的σ(t)的最大允許上界

表4 定理1中控制增益的不同σ(t)取值的最大允許上界

表5 不同ρ下的σ(t)的最大允許上界的計(jì)算值

然后，我們給出H∞性能指標(biāo)分析。取h=2，τ=0.5，增益KP=0.15，KI=0.1，基于定理1和文獻(xiàn)[8]，計(jì)算了最小H∞性能指標(biāo)，并列于表6。由表6可知，本文所設(shè)計(jì)的控制方案在電力系統(tǒng)中有效地抵抗了負(fù)荷擾動(dòng)。

表6 δ的最小值計(jì)算

最后，我們分析本文所設(shè)計(jì)的控制器增益的有效性。設(shè)ρ=τ=0.1，h=0.2，ε=0.01和δ=8.5，根據(jù)定理2所得的控制增益矩陣為：

K=[1.221 1.223]

系統(tǒng)的頻率偏差圖如圖1所示。從圖1的仿真結(jié)果可以看出，系統(tǒng)在負(fù)載擾動(dòng)和隨機(jī)故障執(zhí)行器存在的情況下是穩(wěn)定的。

圖1 頻率偏差圖

K=[3.544 0.733]

為了反映所開(kāi)發(fā)控制設(shè)計(jì)方案的有效性，圖2分別給出了彈性可靠控制增益下時(shí)變時(shí)滯σ(t)=4.9sin(t)+0.2的狀態(tài)響應(yīng)仿真結(jié)果。由圖2可知，電力系統(tǒng)在本文所設(shè)計(jì)控制下，穩(wěn)定性是能得到保證的。綜上所述，即使在存在外部負(fù)荷擾動(dòng)、隨機(jī)執(zhí)行器故障和隨機(jī)增益變化的情況下，仿真結(jié)果證明了本文所提出的定理3的彈性可靠控制器能夠很好地使電力系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖2 σ(t)=4.9sin(t)+0.2下的頻率偏差圖

5 結(jié)束語(yǔ)

1)本文針對(duì)具有隨機(jī)執(zhí)行器故障、外部負(fù)載擾動(dòng)和無(wú)隨機(jī)增益變化的電力系統(tǒng)研究了其彈性可靠的負(fù)荷頻率H∞控制問(wèn)題。

2)通過(guò)構(gòu)造合適的李雅普諾夫泛函，利用逆凸技術(shù)和線(xiàn)性矩陣不等式方法，得到了相應(yīng)的穩(wěn)定性定理和穩(wěn)定性控制增益，保證了所提電力系統(tǒng)的均方漸近穩(wěn)定性。最后通過(guò)數(shù)值模擬結(jié)果驗(yàn)證了本文所提出的方法的優(yōu)越性和可行性。

3)所推導(dǎo)的條件得到的保守性小于已有結(jié)果。在我們的未來(lái)工作中，我們將把所提出的結(jié)果推廣到具有時(shí)滯的多區(qū)域電力系統(tǒng)的輸出反饋控制器的設(shè)計(jì)中。