彈體貫穿混凝土數值模擬的改進材料模型*

任會蘭，榮 譽，許香照

（北京理工大學爆炸科學與技術國家重點實驗室，北京 100081）

在軍事防護和土木工程領域，混凝土作為一種典型的建筑材料扮演著極其重要的角色，更好地理解混凝土材料在沖擊作用下的力學特性對結構的安全設計具有重要的意義[1-4]。隨著計算機性能的提高和數值方法的飛速發展，數值模擬已經成為一種重要的研究手段，而材料模型的選取又會對數值模擬結果產生巨大的影響[5-6]。因此，發展一個更有效和準確的混凝土材料模型對預測其在沖擊載荷下的力學特性和破環行為至關重要。

近些年來，Holmquist-Johnson-Cook 模型（HJC 模型）[7]作為最常用的混凝土材料模型之一，憑借較少的材料參數和相對簡單的理論基礎，已經被廣泛應用于預測混凝土受到彈體侵徹和爆炸等沖擊載荷下的力學響應和破壞模式[8-11]。這是因為HJC 模型是由Holmquist 等[7]通過對金屬Johnson-Cook 模型進行改進提出的一個動態損傷材料模型，可以較好地描述混凝土材料在大應變、高應變率和高壓下的壓縮力學行為，并考慮了壓縮應力狀態下的損傷累積、應變率效應和壓力-體積應變關系。Iqbal 等[12]采用HJC 模型開展了彈體侵徹預應力鋼筋混凝土靶的數值模擬，并對破壞區域和彈道極限進行了預測，后者的誤差小于11%。戴湘暉等[13]通過HJC 模型對彈體侵徹多層鋼筋混凝土薄靶問題進行了數值模擬，發現彈體速度和動能等數值模擬結果與實驗結果吻合較好。

然而，HJC 模型也存在以下3 點缺陷：（1）采用理想彈塑性模型來考慮混凝土材料的拉伸力學行為，也未考慮拉伸應力狀態下的損傷累積和應變率效應，導致HJC 模型不能很好地預測開坑和剪切沖塞等以拉伸失效為主的破壞模式；（2）未考慮第三偏應力不變量J3對強度面的影響，導致偏平面由低壓下三角形向高壓下圓形過渡時，HJC 模型不能描述壓縮子午線上剪切強度的減??；（3）未考慮混凝土材料的應變硬化行為，導致HJC 模型不能準確地預測圍壓下混凝土的應力-應變關系。因此，研究者們針對上述缺陷對HJC 模型進行了一些改進[14-19]。Polanco-Loria 等[14]通過引入洛德角和拉伸-壓縮子午線比考慮了J3對強度面的影響，并對HJC 模型的應變率效應項進行了微小的改進。隨后，使用改進后的模型開展了彈體侵徹鋼筋混凝土靶體的二維數值模擬，發現該模型可以較好地預測彈體剩余速度，誤差小于8%。Liu 等[15]將TCK 模型[20]中的拉伸連續損傷模型引入HJC 模型中來描述混凝土材料的拉伸損傷行為，并發現改進后的模型可以較好地反映侵徹問題中混凝土的壓縮和拉伸破壞情況。Islam 等[16]改進并簡化了HJC 模型的狀態方程和應變率效應項，減少了模型所需的材料參數，并發現改進后的模型可以較好地模擬混凝土在高壓和高應變率下的力學特性以及彈丸沖擊下的損傷行為。Kong 等[17]采用分段函數對HJC 模型的強度面進行了改進，解決了強度面在壓力零點處不連續的問題，并考慮了J3對強度面的影響。隨后，引入了非線性的拉伸損傷模型來描述混凝土材料的拉伸應變軟化行為，并改進了混凝土材料的動態增強因子，數值模擬結果表明，改進后的模型可以真實地反映侵徹過程中拉伸失效引起的開坑和剪切沖塞等破壞現象。雖然這些改進的HJC 模型在預測混凝土材料的動態力學行為和拉伸破壞行為方面表現出了一定的優勢，但對混凝土材料在壓縮應力狀態下的應變硬化和軟化行為以及體積膨脹特性仍不能較好地預測和描述。

此外，還有一些常用的、改進的和新提出的混凝土材料模型受到了研究者們的廣泛關注[21-27]，例如Karagozian & Case 模型（K&C 模型）[28]、Riedel-Hiermaier-Thoma 模型（RHT 模型）[29]、Kong-Fang 模型[30]等。上述3 個模型被廣泛用于分析混凝土結構在爆炸和侵徹等沖擊載荷下的力學響應和破壞模式，并都考慮了應變率效應、第三偏應力不變量J3、塑性損傷和壓力-體積應變關系對破壞強度面的影響，其中Kong-Fang 模型結合了HJC 模型、K&C 模型和RHT 模型的優點，可以更好地預測混凝土結構的局部和全局動態響應、斷裂以及失效。然而，這3 個模型還有一些需要改進的地方。例如，K&C 模型根據單軸壓縮強度自動生成的材料參數，不能準確地描述高壓和高應變率下的破壞強度面，也不適用于高強度和超高強度混凝土。RHT 模型采用線性模型來描述拉伸軟化行為，這種假設過于簡單且不符合實驗結果。同時，RHT 模型還具有比其他材料模型更多的材料參數，不容易進行標定。Kong-Fang 模型沒有考慮壓縮應力狀態下的應變硬化行為，這與實驗觀察到的高圍壓下的壓縮應力-應變關系，在峰值應力點之前存在著一定的差異。

綜上所述，本文中提出一種改進的混凝土塑性損傷材料模型，并將其嵌入到有限元軟件LS-DYNA中進行二次開發。隨后，開展單個單元在不同加載條件下的數值模擬，并將改進模型、HJC 模型、RHT 模型、Kong-Fang 模型和經驗公式得到的應力-應變曲線進行對比分析。最后，開展彈體貫穿鋼筋混凝土靶體的數值模擬，將改進模型和HJC 模型得到的數值模擬結果與實驗結果對比驗證，并對靶體破壞模式和彈體剩余速度進行分析。

1 混凝土材料模型

大量實驗表明，混凝土材料在峰值應力點前后分別具有明顯的應力隨應變增大和減小的現象，而現有的混凝土材料模型不能很好地描述這種應變硬化和軟化行為。因此，為了更準確地描述混凝土材料在沖擊載荷下的力學響應，本文中提出了一種改進的混凝土塑性損傷材料模型，并考慮了混凝土材料的狀態方程、應變率效應、洛德角效應、塑性損傷累積、應變硬化/軟化函數以及塑性流動。

1.1 狀態方程

在高壓和高應變率狀態下，混凝土材料的壓力-體積應變關系（即狀態方程）將會對其力學性能產生重要的影響。因此，改進的混凝土材料模型采用Holmquist 等[7]提出的狀態方程，可以分為彈性區域、過渡區域和壓實區域，如圖1 所示。

圖1 狀態方程示意圖Fig. 1 Schematic diagram of equation of state

當壓力p＜pcrush時，狀態方程位于彈性區域，μcrush和pcrush分別為混凝土內部開始出現孔洞塌陷時的壓碎體積應變和壓碎應力。該區域的壓力-體積應變關系呈線性，且拉伸狀態下壓力閾值為-ft(1-D)，其中ft為準靜態單軸拉伸強度，D為總損傷，則壓力可以表示為：

式中：K為彈性體積模量；μ=ρ/ρ0-1 為體積應變，ρ 和ρ0分別為當前密度和初始密度。

當pcrush＜p＜plock時，狀態方程位于過渡區域，混凝土內部出現一些裂紋擴展和孔洞壓實的現象，μlock和plock分別為壓實體積應變和壓實壓力。該區域的體積應變-壓力關系在加載和卸載過程中仍遵循線性關系，則壓力的表達式為：

式中：Kav=(1-Dc)K+DcK1為平均體積模量，由壓實損傷Dc對K和K1插值進行確定；μe=μ-μp為彈性體積應變；μp為塑性體積應變。有：

式中：dμp為塑性體積應變增量，dμ為總體積應變增量，Kh=(plock-pcrush)/μlock為塑性硬化模量。值得注意的是，在卸載過程中沒有塑性體積應變增量產生，即彈性體積應變增量為總體積應變增量。

當p＞plock時，狀態方程位于壓實區域，混凝土內部孔洞全部消失，達到密實狀態。該區域的壓力-體積應變關系滿足Hugoniot 關系，記為：

式中：K1、K2和K3為材料常數，μm=(μ-μlock)/(1+μlock)為修正的體積應變。

1.2 應變率效應

已有的研究表明混凝土材料是一種率敏感材料，故改進的混凝土材料模型考慮了應變率效應，并采用Xu 等[31]提出的半經驗公式來表示動態增強因子。該公式可以有效地消除壓縮狀態下的慣性約束效應，則拉伸和壓縮動態增強因子可以分別表示為

式中：ε˙為等效應變率，ε ˙0=1為參考應變率，Wx=1.6、Wy=0.8、Fm=10 和S=0.8 為材料常數，可以通過大量的三軸拉伸實驗數據擬合得到[31]，fc為準靜態單軸壓縮強度。

1.3 損傷和硬化/軟化函數

混凝土材料在塑性階段會發生明顯的應變硬化和軟化行為，特別是在壓縮狀態下。因此，在改進的混凝土材料模型中引入一個統一的硬化/軟化函數來描述應力-應變關系在壓縮狀態下的非線性增大和減小，該函數與剪切損傷和壓實損傷相關。此外，在拉伸狀態下，混凝土材料幾乎沒有應變硬化行為，因此采用拉伸損傷來描述其應變軟化行為。

壓縮狀態下塑性應變引起的剪切破壞是混凝土材料的一種主要破壞模式，則剪切損傷定義為：

式中：dεp為等效塑性應變增量，εp,f為壓縮狀態下的塑性斷裂應變，記為：

式中：D1=0.04 和D2=1 為損傷參數[7]，εf,min為壓縮狀態下斷裂應變的閾值，用來阻止低強度拉伸波引起的塑性斷裂。

孔洞塌陷造成塑性體積應變的增加，進一步導致混凝土被壓實發生破壞，故壓實損傷同樣不可忽略，可以定義為：

基于Wang 等[32]提出的應變硬化和軟化理論，通過引入與剪切損傷和壓實損傷相關的無量綱量φ對統一的壓縮硬化/軟化函數進行修正，定義為：

式中：H1和H2為控制應變硬化和軟化行為的形狀參數，Dm為峰值應力處的剪切損傷和壓實損傷之和。

對于拉伸損傷，改進的混凝土材料模型采用Weerheijim 等[33]提出的一種指數函數，具體形式為：

式中：c1=3 和c2=6.93 為拉伸損傷參數[33]，εp為等效塑性應變，εfrac為拉伸斷裂應變，其值與單元尺寸相關，表示為：

式中：Gf為斷裂能，le為單元特征長度。

結合上述3 種損傷機理，總損傷可以定義為壓縮狀態和拉伸狀態所產生損傷的最大值，即：

1.4 破壞強度面

為了更準確地描述混凝土材料的應變硬化和軟化行為，改進的混凝土材料模型采用3 個獨立的強度面，如圖2 所示，分別為最大強度面、屈服強度面和殘余強度面。其中，最大強度面結合K&C 模型[28]和HJC 模型[7]進行了改進，其表達式為：

圖2 強度面示意圖Fig. 2 Schematic diagram of strength surfaces

式中：η 為動態增強因子，B1和N1為材料常數，由三軸壓縮實驗數據擬合獲得。

例如：高中歷史教學中在講述到鴉片戰爭的內容中，就可將火熱一時的宮廷劇加以引入，如《步步驚心》等系列展示清朝繁花錦盛的宮廷劇作為導入內容，這是當下學生比較熟悉的，從影片當中所展現的內容，其實是和真正的歷史中的清王朝有著不同。真實的歷史清朝是走下坡路的華麗的老牛，而鴉片戰爭的序幕就讓中國兩千多年封建社會走向了終結。然后將鴉片戰爭的課程內容的學習呈現出來，這樣通過比較熱點的內容在課堂上作為引入點，這對激發學生的興趣就比較有效。

基于最大強度面，結合Zhang 等[34]和Wang 等[35]提出的方法進一步發展，屈服強度面表示為：

根據Tu 等[22]提出的方法，殘余強度面可以分為2 個階段，具體形式為：

式中：B3和N3為材料常數，也由三軸壓縮實驗數據擬合獲得。

通過硬化/軟化函數對上述3 個強度面進行線性插值得到了該改進混凝土材料模型的破環強度面，其表達式為：

式中：r為當前子午線和壓縮子午線的比值，用來描述剪切強度在壓縮子午線上的衰減，定義為：

式中：θ 為洛德角；J2和J3分別為第二和第三偏應力不變量；e為拉伸子午線和壓縮子午線的比值，由式（21）中5 個代表性應力狀態點通過線性插值獲得。此外，根據式（15）和（18）可以看出該改進模型采用徑向增強法來考慮混凝土材料的應變率效應，避免了直接增強法中壓力增強對破壞強度面的過高估計。

1.5 塑性流動

混凝土材料在壓縮狀態下的體積會發生膨脹，為此該改進模型引入了一個合適的塑性勢函數來考慮這種特性，具體形式為:

式中：dλ 為一致性參數，σij為應力張量。

然后，將式（22）代入式（23），塑性應變增量和等效塑性應變增量分別表示為：

式中：sij為偏應力張量，δij為克羅內克符號。

最后，結合式（24）和Malvar 等[28]采用的推導方法，可以得到一致性參數dλ 的表達式，即：

式中：G為剪切模量，K為體積模量。一旦確定dλ 的值，塑性應變增量也隨即確定，進而根據增量理論對當前應力進行更新。

2 模型驗證

基于LS-DYNA 中關鍵字user_defined_material_model 對改進的混凝土材料模型進行二次開發，并通過單個單元在不同加載條件下和彈體貫穿鋼筋混凝土靶的數值模擬，驗證了改進混凝土材料模型的有效性、準確性以及預測性能提升能力。

2.1 單個單元驗證

開展了單個單元在單軸壓縮、單軸拉伸和三軸壓縮加載下的數值模擬，并與HJC 模型、RHT 模型、Kong-Fang 模型以及經驗公式預測的應力-應變曲線進行了對比分析。

2.1.1 有限元模型

有限元模型采用八節點六面體單元，單元尺寸為10 mm×10 mm×10 mm，其中底部四個節點采用固定約束，頂部4 個節點采用位移加載，如圖3 所示。加載條件分別為單軸壓縮、單軸拉伸和三軸壓縮，其中三軸壓縮需要在單元四周施加約束壓力，其值分別為5、10 和15 MPa。表1和表2 分別給出了48 MPa 混凝土的改進模型和Kong-Fang 模型的材料參數。HJC 模型的材料參數在文獻[7]中給出，而RHT 模型的材料參數可以根據單軸壓縮強度自動生成。

圖3 單個單元模型Fig. 3 Single element model

表1 改進混凝土模型材料參數Table 1 Material parameters of improved concrete model

表2 Kong-Fang 模型材料參數Table 2 Material parameters of Kong-Fang model

2.1.2 單軸壓縮

圖4 給出了通過改進的混凝土材料模型、HJC 模型、RHT 模型、Kong-Fang 模型和經驗公式[36]得到的單軸壓縮應力-應變曲線?？梢钥闯鯤JC 模型嚴重高估了單軸壓縮峰值應力。同時，峰值應力點之前的應力呈雙線性增長，這是狀態方程由彈性區進入過渡區引起的，并非應變硬化行為。此外，HJC 模型的預測結果具有明顯的殘余應力，說明混凝土并沒有完全卸載，這與實驗結果以及經驗公式不符。類似地，RHT 模型的預測結果具有與HJC 模型相同的殘余強度，但RHT 模型考慮了應變硬化行為，且應變硬化和軟化行為都近似呈線性。對于Kong-Fang 模型，單軸壓縮應力-應變關系在峰值應力點之后與經驗公式具有較好的一致性，而在峰值應力點之前表現為線彈性上升，未考慮應變硬化行為，導致峰值應力點處所對應的應變值略小于經驗公式的預測值。然而，通過改進的混凝土材料模型預測的應力-應變曲線與經驗公式基本吻合，特別是對于峰值應力點之前的應變硬化行為的描述，說明該改進模型可以更準確地描述混凝土材料的單軸壓縮力學行為。

圖4 單軸壓縮應力-應變曲線Fig. 4 Uniaxial compressive stress-strain curves

2.1.3 單軸拉伸

圖5 給出了通過改進的混凝土材料模型、HJC 模型、RHT 模型、Kong-Fang 模型和經驗公式[32]得到的單軸拉伸應力-應變曲線。可以看出HJC 模型預測的單軸拉伸峰值應力大約是經驗公式的三倍，嚴重高估了混凝土的抗拉強度。此外，應力在達到峰值后將保持不變，說明HJC 模型采用了理想彈塑性模型來描述混凝土的單軸拉伸力學行為，這種簡化與實驗結果不符。對于RHT 模型的預測結果，單軸拉伸峰值應力的高估程度低于HJC 模型，且應力-應變曲線在峰值應力點之后呈線性下降，說明RHT 模型采用線性軟化模型來考慮混凝土材料的應變軟化行為，但預測結果和經驗公式的一致性較差。而對于改進的混凝土材料模型和Kong-Fang 模型，二者預測的單軸拉伸應力-應變曲線基本重合，單軸拉伸峰值應力等于混凝土抗拉強度，應變軟化行為也與經驗公式吻合較好。因此，該改進模型和Kong-Fang 模型可以更有效和準確地預測混凝土材料的單軸拉伸力學行為。

圖5 單軸拉伸應力-應變曲線Fig. 5 Uniaxial tensile stress-strain curves

2.1.4 三軸壓縮

圖6 給出了通過改進的混凝土材料模型、HJC 模型、RHT 模型、Kong-Fang 模型和經驗公式[37]得到的三軸壓縮應力-應變曲線。從圖中可以看出HJC 模型高估了不同約束壓力下的三軸壓縮峰值應力，且高估程度隨著約束壓力的增大而減小，說明HJC 模型更適合預測高約束壓力下的三軸壓縮峰值應力。同時，HJC 模型還低估了不同約束壓力下的殘余強度，約束壓力越大，殘余強度被低估的越明顯。此外，HJC 模型預測的應變軟化趨勢與經驗公式不同，說明HJC 模型不能很好地描述混凝土在三軸壓縮加載下的應變軟化行為。對于RHT 模型，三軸壓縮峰值應力在約束壓力為5 MPa 時，與經驗公式幾乎相等，但約束壓力為10 和15 MPa 時卻被低估，說明三軸壓縮峰值應力的低估程度隨著約束壓力的增大而增大。RHT 模型軟化部分的下降趨勢與HJC 模型類似，但應變軟化梯度小于HJC 模型。此外，當約束壓力為10 和15 MPa 時，RHT 模型的應變硬化行為呈現出兩個不同趨勢的上升階段，這種現象不合理且與實驗結果和經驗公式不相符，說明RHT 模型不能準確預測混凝土在較高約束壓力下的應變硬化行為。對于Kong-Fang 模型，不同約束壓力下的三軸壓縮峰值應力與經驗公式具有較好的一致性，但峰值應力所對應的應變小于經驗公式。此外，三軸壓縮應力-應變關系在峰值應力點之前呈線彈性，未考慮應變硬化行為，而在峰值應力點之后表現為內凹的下降趨勢，且未形成殘余強度平臺，不同約束壓力下的殘余強度也與經驗公式具有較大的差異，說明Kong-Fang 模型對于三軸壓縮加載下應變硬化和軟化行為的描述還存在不足。然而，對于改進的混凝土材料模型，三軸壓縮加載下的峰值應力和殘余強度與經驗公式基本一致，應變軟化行為也具有與經驗公式類似的下降趨勢和殘余強度平臺，說明該改進模型可以更準確地預測混凝土材料的三軸壓縮力學行為。

圖6 三軸壓縮應力-應變曲線Fig. 6 Triaxial compressive stress-strain curves

2.2 彈體貫穿鋼筋混凝土靶驗證

為了進一步驗證改進混凝土材料模型在沖擊載荷下的可靠性和準確性，開展了彈體貫穿鋼筋混凝土靶的數值模擬，并與HJC 模型的預測結果以及實驗結果進行了對比分析。

2.2.1 有限元模型

鋼筋混凝土靶的尺寸為610 mm×610 mm×178 mm，靶體內部共有3 層鋼筋網，侵徹方向未布置鋼筋，最小網格尺寸為76.2 mm×76.2 mm，鋼筋直徑為5.69 mm，如圖7(a)所示。彈體為尖卵形彈，直徑為25.4 mm，長度為143.7 mm，彈頭曲率半徑比為3.0，質量為0.5 kg，如圖7(b)所示。為了減少計算量和提高計算效率，選用1/4 對稱模型進行分析，并采用六面體網格對靶體、彈體和鋼筋進行劃分，有限元模型如圖8 所示。網格尺寸在3 倍彈徑區域內為2 mm，3～9 倍彈徑區域為3 mm，剩余區域為4 mm，網格總量為983745。此外，彈體和靶體、彈體和鋼筋、靶體和鋼筋之間均采用侵蝕接觸。靶體選用改進的混凝土材料模型和HJC 模型，材料參數如表1～2 所示。彈體假設為剛體，鋼筋選用隨動強化模型，材料參數如表3 所示。此外，通過添加關鍵字MAT_ADD_EROSION 來刪除滿足失效準則的單元，其中HJC 模型采用最大主應變和最小壓力失效準則，而改進的混凝土材料模型采用最大主應變失效準則。

表3 彈體和鋼筋材料參數Table 3 Material parameters of projectile and reinforcement

圖7 鋼筋和彈體示意圖Fig. 7 Schematic diagram of reinforcement and projectile

圖8 有限元模型Fig. 8 Finite element model

2.2.2 破壞模式

在Hanchak 等[38]開展的貫穿實驗中，選取了5 組工況進行數值模擬，彈體初始沖擊速度分別為1 058、749、606、434 和381 m/s，且彈體均未擊中鋼筋。

圖9 給出了初始沖擊速度為749 m/s 時通過改進的混凝土材料模型、HJC 模型和實驗得到的前靶和背靶破壞模式。改進的混凝土材料模型采用損傷程度來判斷混凝土是否發生破壞，當損傷D=1 時，混凝土完全破壞，如圖9(c)中紅色區域所示。然而，HJC 模型的預測結果中前靶和背靶的損傷區域并不明顯，故可以通過橫截面破壞模式中開坑和剪切沖塞階段形成的錐形區域來確定靶體破壞范圍，如圖10所示。結合圖9～10 可以看出，數值模擬結果和實驗結果都具有明顯的開坑和剪切沖塞現象，且背靶的破壞區域大于前靶。在實驗結果和改進模型的預測結果中，靶體的等效破壞直徑可以定義為：

圖9 前靶和背靶的破壞模式Fig. 9 Damage mode on the front and back surfaces

圖10 HJC 模型預測的橫截面破壞模式Fig. 10 Damage mode on the cross section predicted by HJC model

式中：D1、D2、D3和D4分別為破壞區域內4 個不同方向的直徑。

對于實驗結果，前靶和背靶的等效破壞直徑分別為30.7 和35.4 cm。對于HJC 模型，前靶和背靶可以觀察到明顯的拉伸破壞現象，但與靶體真實破壞情況并不相符，前靶和背靶的等效破壞直徑分別為22.9 和25.2 cm，與實驗結果的誤差大于25%，說明HJC 模型不能很好地預測混凝土前靶和背靶的破壞模式。然而，對于改進的混凝土材料模型，前靶和背靶的破壞模式與實驗結果吻合較好，等效破壞直徑分別為27.1 和33.6 cm，與實驗結果的誤差小于11.7%。上述結果說明改進的混凝土材料模型可以更形象和準確地描述鋼筋混凝土靶體的破壞模式。

2.2.3 剩余速度

表4 給出了改進的混凝土材料模型、HJC 模型和實驗測得的彈體剩余速度。可以看出，數值模擬與實驗結果吻合較好，二者之間的誤差隨著初始沖擊速度的增大而減小。此外，HJC 模型與實驗結果的最小和最大誤差分別為4.7%和20.8%，改進混凝土材料模型與實驗結果的最小和最大誤差分別為1.5%和15.5%。引起上述誤差的主要原因是混凝土材料模型的連續性假設和數值方法自身的計算誤差，前者是由于數值模擬中混凝土單元滿足失效準則后將被刪除，真實實驗中破壞后的混凝土仍與周圍混凝土相互作用，導致數值模擬對混凝土抗侵徹性能的預測結果較為保守，一定程度上高估了彈體的剩余速度。而后者是由于侵徹這類非線性問題具有復雜性，并且在數值計算過程中進行了許多假設和簡化，進而產生了計算誤差。但總體而言，改進的混凝土材料模型比HJC 模型的預測結果更接近實驗結果，說明該改進模型可以更準確和可靠地預測彈體的剩余速度。

表4 彈體剩余速度Table 4 Residual velocities of projectile

3 結 論

本文中提出了一種改進的混凝土塑性損傷材料模型來預測其在沖擊載荷下的力學響應和破壞模式，主要工作和結論如下。

(1) 改進的混凝土材料模型考慮了壓力-體積應變關系、應變率效應、洛德角效應和塑性損傷累積對其力學特性的影響，分別定義了剪切損傷、壓縮損傷和拉伸損傷，并引入了一個與剪切損傷和壓縮損傷相關的硬化/軟化函數來描述混凝土材料在壓縮狀態下的應變硬化和軟化行為。隨后，通過對3 個獨立的強度面進行線性插值得到了該改進模型的破壞強度面，并采用部分關聯流動法則考慮了混凝土材料的體積膨脹特性。

(2) 將改進的材料模型嵌入到有限元軟件中進行二次開發，開展了不同加載條件下單個單元的數值模擬，并與HJC 模型、RHT 模型、Kong-Fang 模型以及經驗公式的預測結果進行對比分析，結果表明改進的混凝土材料模型可以更準確地預測其在單軸壓縮、單軸拉伸和三軸壓縮力學行為。

(3) 采用改進的混凝土材料模型進行了彈體貫穿鋼筋混凝土靶的數值模擬，并對改進模型、HJC 模型和實驗得到的靶體破壞模式和彈體剩余速度進行了分析，發現改進模型的預測結果與實驗結果更吻合，說明該改進模型可以更好地預測混凝土在沖擊載荷下的力學響應和破壞模式。