基于極值理論的軌道不平順峰值超限管理研究

何 慶，汪健輝，李晨鐘，利 璐，馮曉云，王青元

(1.西南交通大學 高速鐵路線路工程教育部重點實驗室，四川 成都 610031；2.中鐵二院華東勘察設計有限責任公司，浙江 杭州 310000；3.西南交通大學 電氣工程學院，四川 成都 610031)

近年來，高速鐵路的快速發展對軌道平順性提出了新的要求。軌道平順性對行車安全、乘坐舒適性、軌道壽命及環境噪聲等具有重要影響[1]。軌道不平順的峰值超限可能會引起列車的爬軌和脫軌，對行車安全構成極大危害[2-3]，同時也是各國現有線路養護維修常用的基本評價指標[4]。

目前，國內外諸多學者均對軌道不平順的管理值標準進行了研究。吳旺青[5]通過分析仿真模型，提出了秦沈專線試驗段軌道不平順建議管理值；李明華等[6]建立了整車模型并求解運動方程，探索并給出時速300 km線路高低不平順閾值；張媛等[7]基于數據分類，利用仿真數據獲得不同速度等級下不平順峰值安全域邊界。以上研究對影響軌道平順性的控制因素進行了詳細分析，但針對鐵路養護維修基礎性工作的鐵路峰值超限風險價值以及峰值管理值的合理性研究并不多見。超限風險價值VaR指在一定置信水平和未來某段時期內的最大可能損失，廣泛應用于金融風險管理并正逐漸向其他行業擴展[8]。運用于鐵路中是對軌道不平順峰值超限風險價值的評估，在給定的顯著水平下，線路在未來一段時間內可能出現的最大峰值。

大量研究表明，基于峰值過閾值法模型的極值理論方法在描述數據分布的尾部特征方面更具優勢，側重于關注超限數據序列分布，充分考慮了所有較大實測值出現的可能，能更客觀地反映工程實際，是一種相對準確的分位數分析方法和預測工具[9-13]。針對軌道不平順峰值超限存在低頻高損、數據稀疏的特點，本文采用極值理論中的峰值過閾值法(Peaks Over Threshold)模型[14]，根據一定規則選取閾值，對歷史檢測值超過閾值數據進行建模，運用廣義帕累托分布(Generalized Pareto Distribution)[15]研究并確定新樣本序列分布函數，將既有峰值標準不同等級的容許偏差管理值視為損失值來反推超限概率P，以此來評價既有峰值管理標準的合理性。本文結合西部某高鐵軌檢車實測數據，對該方法的可行性和有效性進行了驗證。

1 峰值過閾值法模型

與一般的模型不同，峰值過閾值法模型主要研究超過設定閾值的數據樣本，觀察該類序列的數值大小及總體分布特征。對于軌檢車實測值序列X，假設u為閾值，超過閾值u的樣本個數為nu，F(x)為分布函數。峰值過閾值法模型分析的是在X>u的條件下，超限值yi=X-u(i=1,2,…,nu)的條件分布函數Fu(y)為

Fu(y)=P(X-u≤y|X>u)y≥0

(1)

式中：P為條件概率；nu確定時y即為yi。

由式(1)可得：

(2)

將式(2)變形可得

F(x)=Fu(y)(1-F(u))+F(u)X≥u

(3)

Balkema-de Haan定理表明[12,15]，對足夠大的閾值u，超限值yi近似服從于廣義帕累托分布Gξ,σ(y)，則

(4)

超限值的概率密度函數gξ,σ(y)為

(5)

因此，對于給定的一個軌檢車實測值序列{x1,x2,…,xn}，對數似然函數L(ξ,σ|y)可表示為

(6)

2 參數估計

由上述計算可知，對閾值u、尺度參數σ和形狀參數ξ的正確估計是建立峰值過閾值法模型的關鍵。根據反復試驗發現，閾值u的選取直接關系到能否準確估計尺度參數及形狀參數。過大的閾值，會導致超限樣本數量太少，從而影響分布函數的估計；過小的閾值，則無法保證超限數據的收斂性導致參數估計的偏差過大[12]?；谲墮z車實測值序列的特點，本文依據超限期望圖來確定閾值u[11,13]。

廣義帕累托分布在形狀參數ξ<1時，其超限期望函數e(m)為線性函數，可表示為

(7)

平均余值函數e(u)為

(8)

式中：nu=max{i|yi}。

由式(7)可知，若樣本具有厚尾分布特征，即可認為其服從ξ<1的廣義帕累托分布，則其期望余值為u的線性函數。因此，可以根據實測軌檢車數據得出超限期望圖，通過選取充分大的臨界值u0,使得當X≥u0時e(x)為近似線性函數作為確定閾值的依據[12]。同時，可以得到軌檢車實測值序列X中超過閾值的樣本個數nu。

當u確定以后，利用軌檢車實測值序列X，根據式(6)進行最大似然估計，即可得尺度參數σ和形狀參數ξ的估計值。

3 動態不平順峰值管理指標擬定及合理性評價

在閾值確定后，用(n-nu)/n作為F(u)的經驗估計，將式(4)帶入式(3)可得過閾值u的數據分布函數F(x)為

F(x)=Fu(y)(1-F(u))+F(u)=

(9)

根據上述方法求得式(9)中各參數的估計值后，即可確定過閾值u條件下分布函數。依據現有峰值管理中不同等級的管理值，利用分布函數的逆函數即可求得超限發生概率，從而實現對現有動態管理值的合理性評價。

令xm為軌檢車實測值不同等級下的管理值，當x>xm,軌道動態不平順影響舒適度、臨時補修或限速，其概率P為

(10)

根據動態不平順不同等級指標的重要性確定不同等級的發生概率Pα(即α)，一般為1%～5%。則對于給定置信水平P，可能損失值VaRP就是損失分布的P分位數，即xm的估計值為

(11)

具體擬定及評價動態不平順峰值管理指標的流程見圖1。

圖1 擬定峰值管理不同等級指標流程

4 實例分析

以運行速度為300 km/h的某客運專線為例，選取該線上行段280 km，2016—2019年共60次軌檢車實測數據進行分析，利用里程誤差修正模型進行預處理[16]。

4.1 厚尾檢測

以某次檢測數據中高低-半峰值(絕對值)為例，繪制概率分布直方圖見圖2。由圖2可知，該線路高低峰值分布具有明顯的非正態性。通過指數分位數法進行檢驗，可以證實該線高低峰值分布具有相對明顯的厚尾性，說明該線實際運營出現高低峰值的概率較正態分布出現的概率要大。因此，通過極值理論建立峰值過閾值法模型計算風險概率，針對厚尾分布進行重點分析。

圖2 高低實測值概率分布直方圖

4.2 閾值討論及參數估計

以高低-半峰值(絕對值)為例，根據式(8)計算樣本平均余值函數，繪制圖3所示超限期望圖。一般而言，合適的閾值u能夠將10%左右的數據劃分為超限樣本，否則無法抓住序列分布的特征[12]。經過多次試驗驗證，選取7 km為一個區間進行劃分較為合理，由此可得4 800個軌檢車高低-實測半峰值序列。由圖3可以看出，當閾值u在3 mm附近，余值函數e(u)變化幅度較小為近似線性函數且斜率有正向變大的趨勢，說明超限數據較正態分布的尾部要厚，適用于帕累托模型進行厚尾的分布擬合以描述尾部的特征。此時，只有少量的高低實測值點分布在圖2的尾部，且收斂速度緩慢，符合帕累托分布的特征。利用余值函數即可初步判定該觀測值為所需閾值u[17],此時過閾值u=3 mm的樣本個數nu為387，占比約為8%。由此可以推斷閾值為3時比較合適。也允許適當放寬該線左高低峰值Ⅰ級管理值，不妨取u=4、u=5并與u=3進行對比見圖4和圖5。利用最大似然估計，分別計算三種不同閾值情況下的尺度參數和形狀參數估計值及對應的累計分布函數和風險價值見表1。

表1 不同閾值下的累積分布函數F(x)和風險價值函數VaRP

圖3 高低實測值序列超限期望

圖4 不同閾值下的累計分布函數

圖5 不同閾值下的風險價值函數

由圖4可知，閾值u=3比u=4、u=5的累計分布函數F(x)包含更多的超限閾值概率，使得估計的參數更準確。由圖5可知，盡管不同閾值在低顯著水平(P<90%)下，相同的顯著水平各自的風險價值不同，但當顯著水平較高時(P≥90%)相同的顯著水平、不同的閾值對應的風險價值十分相近。因此，從嚴謹的角度出發，本文選取閾值u=3 mm科學合理。而對于動態不平順水平這一項指標，規范中Ⅰ級管理值為5，大于其余同級別各指標。作如上相同分析后發現水平閾值取4更為合理。

4.3 峰值管理值的擬定及評價

確定閾值后，在高低-半峰值的偏差等級為Ⅰ級(經常保養)超限概率為5%的情況下，對超閾值樣本使用廣義帕累托分布求得的Ⅰ級管理值指標為4.4 mm，與文獻[18]中250(含)～350 km/h線路軌道動態質量容許偏差管理值的4 mm相近。結合式(11)可以反推出該線路出現高低峰值偏差為等級Ⅰ級時的概率為5.85%，出現Ⅱ級(舒適度)的概率為3.14%，出現Ⅲ級(臨時補修)的概率為1.72%，而出現Ⅳ級(限速(160 km/h))的概率為0.55%。對其余幾項指標做相同處理，分別可得各自閾值、尺度參數、形狀參數及不同等級下的超限概率見表2和表3。

表2 不同指標的閾值及參數估計值

表3 某運營速度300 km/h線路不同指標峰值超限概率 %

由表2和表3可得，對于該客運專線，軌向的動態質量容許偏差管理值相對寬松，超過9%的概率需要經常保養，更有約5%的概率需要限速，可以考慮根據規范適當提高標準；軌距的Ⅱ級及以上峰值管理值相對嚴格，均只有小于1%的概率，可以考慮根據規范適當放寬標準；其余指標水平、扭曲和高低的峰值管理值相對合理，可以根據現場實際情況，適當調整。

4.4 加速度分析

峰值管理還包含車體垂向、橫向加速度的等級劃分，見表4。然而根據實際現場養護維修調查發現，加速度檢測值往往小于Ⅰ級標準，而達不到檢修的目的。因此，本文對已有垂向、橫向的現場加速度檢測值按照時間序列做箱形圖分析，結果見圖6。

表4 250(不含)～350 km/h 線路軌道動態質量容許偏差管理值

圖6 加速度實測值箱形圖

由圖6可知，垂向加速度的范圍在(-0.04～0.04)g內，橫向加速度的范圍在(-0.03～0.03)g內，均未有檢測值超過規范中的Ⅰ級標準。這說明現場養護維修作業時，峰值管理中的加速度指標并沒有起到很好的限制效果[19-20]。由于本文采用的基于極值理論的峰值過閾值法模型有其特定的應用范圍，只適用于描述及分析過閾值數據的廣義帕累托分布特征，不必對數據序列總體的分布類型進行建模。

由于該線路不同檢測時間下的加速度實測值均未有超限的情況出現，這也意味著此模型不適用于該線路既有加速度管理值的合理性評估。因此，需要根據現場實際情況，適當的將現有峰值管理中的加速度指標嚴格化以達到實際的養護維修參考標準。

5 結論

本文基于峰值過閾值法模型，借助廣義帕累托分布函數，研究軌道動態不平順峰值管理值的合理性，結合軌檢車實測數據進行驗證分析。以下結論是對模型優缺點及現有峰值管理指標合理性的總結：

(1)軌道動態不平順峰值管理值的擬定及評估本質上考慮的是極端事件。峰值過閾值法模型采用閾值的劃分特點，只分析過閾值樣本的廣義帕累托分布特征，根據既有規范，計算不同等級VaRP的超限概率，實現對峰值管理標準的合理性評價。該方法充分考慮了可能出現的軌道動態不平順較大實測值，更全面的體現了實測數據的分布特征，得到的超限概率能更客觀的反映工程實際。

(2)根據實測數據分析可得，該線軌向及車體垂向、橫向加速度動態質量容許偏差管理值較寬松，約高于實測峰值的50%，可以考慮根據規范及現場實際情況適當提高標準；軌向管理值相對寬松，約10%的實測峰值超限，其中，Ⅳ級限速標準的超限概率約5%，不符合實際線路運營需求，應根據實際情況適當提高容許偏差管理值，從而達到降低超限概率的目的；軌距Ⅱ級及以上峰值管理值相對嚴格，超限概率均小于1%，可以考慮適當放寬標準；其余指標水平、高低及三角坑的峰值管理值相對合理，可以根據現場實際情況進行適當調整。

(3)本文為簡化分析，僅考慮其數值大小，未考慮閾值的時間維度，且根據超限值出現的概率評定管理值的合理性具有一定經驗性。為了更加客觀描述峰值管理值的合理性，是今后需要重點研究的問題。