基于離散坐標法的輻射模型研究

魏威 張耘隆 劉漢宇 唐偉 閆指江

（北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京，100076）

0 引言

在工業(yè)燃燒爐、航空發(fā)動機燃燒室、火箭底部，輻射是一種非常重要的熱傳遞方式[1-3]。在液體火箭底部附近，高溫的發(fā)動機噴流通過輻射和對流加熱火箭的底部防熱板，從而可能造成火箭底部溫度過高而產(chǎn)生問題，新一代液體運載火箭發(fā)動機噴流在底部防熱板引起的熱流主要為輻射熱流。輻射換熱可以顯著地影響流場的溫度，從而影響化學動力學和火焰結(jié)構(gòu)，甚至導(dǎo)致火焰的熄火。此外，近些年來大量的研究工作致力于湍流和輻射的相互作用（TRI）。因此氣體輻射的有效計算對于工程中設(shè)備的結(jié)構(gòu)設(shè)計和校核具有十分重要的意義。氣體輻射具有強烈的光譜選擇性和容積性（或延程性），其吸收系數(shù)隨著波長劇烈的變化，因此這成為氣體輻射計算的難點，隨之而來的有兩個問題：第一氣體輻射模型問題，第二氣體輻射的計算量大為增加。因此在氣體輻射中合理地建立輻射模型，對于氣體輻射的非灰特性的模化和有效的降低計算量有著重要的意義。

現(xiàn)有的氣體輻射的計算方法可以大致分為三類：（1）逐線計算法；（2）譜帶模型法；（3）全局模型。逐線計算法是最精確的方法，但其計算量非常大，因此經(jīng)常用作新模型的校正基準。譜帶模型法包括窄譜帶模型和寬譜帶模型法。統(tǒng)計窄譜帶模型（SNB）能夠給出高溫氣體的輻射特性，但是其僅給出窄帶內(nèi)的穿透率，而很多輻射求解方法要求給出氣體輻射的吸收系數(shù)，因此統(tǒng)計窄譜帶模型很難和離散坐標法、有限體積法相結(jié)合使用。另外窄譜帶模型需要大量的譜帶，其計算量相當可觀。寬譜帶模型可以看做是窄譜帶模型的簡化，其計算量較窄譜帶少，但它給出的是譜帶吸收率，因此也不易和離散坐標法、有限體積法等結(jié)合使用。此外寬譜帶模型法要求光程長度，因此其給出的輻射參數(shù)將和光程長度有關(guān)。相關(guān)k分布法（CK）[4-5]假設(shè)譜帶足夠窄，可以將吸收系數(shù)重新排列為一個光滑的單調(diào)變化的函數(shù)，然后用輻射傳遞方程對吸收系數(shù)的積分取代對波數(shù)的積分，因此CK模型更容易應(yīng)用到輻射傳遞方程的各種解法中。CK模型需要大量的譜數(shù)據(jù)，計算量也很大。全局氣體輻射模型中主要包括全譜相關(guān)k分布法（FSCK）和加權(quán)氣體和模型（WSGGM）。FSCK模型采用Planck加權(quán)k分布函數(shù)[6]，在整個譜內(nèi)采用CK方法，因此相比CK模型減小了大量的計算量。F. Liu[7]等發(fā)展了基于Malkmus統(tǒng)計窄譜帶模型的FSCK，或稱為SNB-FSCK。由于Malkmus統(tǒng)計窄譜帶模型的k分布函數(shù)和累計k分布函數(shù)具有分析表達式，這使得SNB-FSCK計算上更簡便。盡管如此，如果和CFD結(jié)合，SNB-FSCK方法的計算量還是偏大，不利于工程中應(yīng)用。加權(quán)灰氣體和模型使用與溫度無關(guān)的吸收系數(shù)和溫度相關(guān)的加權(quán)因子來擬合氣體的發(fā)射率，能夠通過4-5種灰氣體精確地輻射的非灰特性，非常適合與CFD的結(jié)合。本文基于離散坐標法求解輻射傳遞方程，通過和SNB計算結(jié)果的對比，比較了幾種WSGGM模型的精度。此外還比較了不同離散坐標方式對計算精度的影響，以及計算量的大小。

1 控制方程及數(shù)值方法

1.1 控制方程

本文采用離散坐標法對輻射傳遞方程進行求解，氣體輻射模型為加權(quán)灰氣體和模型，不考慮氣體輻射散射，在加權(quán)灰氣體和模型下輻射傳遞方程為：

邊界條件為：

輻射熱源項可以表達為：

壁面熱流可通過下式進行計算

加權(quán)灰氣體和模型是假設(shè)幾種灰氣體具有不依賴于溫度的吸收系數(shù)和依賴于溫度的加權(quán)因子式(6)，模型參數(shù)通過擬合氣體的發(fā)射率式(5)得到

1.2 數(shù)值求解方法

對于離散坐標體系下的輻射傳遞方程，其空間離散格式有階梯格式、指數(shù)格式、菱形格式，菱形格式雖然精度高，但是隨著網(wǎng)格的加密會出現(xiàn)負的輻射強度值，導(dǎo)致物理上的不真實。指數(shù)格式的計算量較菱形格式和階梯格式大。階梯格式始終能夠給出物理上真實的解，因此本文中選用階梯格式進行輻射傳遞方程的空間離散。離散后的方程采用CGSTAB方法對所有節(jié)點直接求解。

1.3 計算模型

本文采用Liu[8]采用SNB輻射模型計算的模型算例如圖1所示，三維的計算域為2m×2m×4m，x方向長度為2m，y方向長度為2m，z方向的長度為4m，四個壁面為黑體冷壁面，溫度為300K。計算域中包含的混合氣體體積分數(shù)組成為10% CO2, 20% H2O 和70% N2，氣體的壓力為1atm。模型中氣體的溫度是不均勻的，計算域中溫度分布為T=(Tc-Te)f(r/R)+Te，其中Tc為計算域中沿z方向的中心線上溫度分布，Te為z=4m處的溫度，中心線上的溫度從z=0m處的400K線性增加到z=0.375 m處的1800K，然后線性減小到z=4m處的800K。長方體區(qū)域中有一個R=1m的同心圓柱形區(qū)域，圓柱形區(qū)域內(nèi)的溫度由函數(shù)f(r/R)=1-3(r/R)2+2(r/R)3描述，其中r為響應(yīng)點到中心線的距離，在這個區(qū)域之外氣體的溫度為800K。本文中網(wǎng)格劃分為41×41×80，分別為x、y、z方向的網(wǎng)格數(shù)。

圖1 輻射計算域Fig.1 Radial region for calculation

2 結(jié)果及討論

2.1 不同輻射模型的結(jié)果比較

本文比較了三種WSGGM模型，分別為Smith(4GG)[9]，Perry(5GG)[10]和Truelove(4GG)[11]，坐標離散方式采用S4離散，并和文獻[5]的統(tǒng)計窄譜帶模型法（SNB）方法進行了比較，SNB模型在計算量上很大，精度非常高，因此常用作其它模型的基準。圖2（a）和（b）分別給出了中心線（0m，0m，z）上的輻射熱源和壁面（1m，1m，z）上的熱流分布。可以看到不同的輻射模型無論對輻射熱源，還是對壁面熱流結(jié)果都有非常大的影響。

圖2 三種WSGGM模型計算的結(jié)果Fig.2 Results of three WSGGM models

從圖 2（a）可以看到 Smith(4GG)和Truelove(4GG)計算的中心點熱源在最低點和SNB方法的計算結(jié)果比較接近，但在z大于0.375 m的大區(qū)域內(nèi)都低估了輻射熱源。Perry(5GG)在中心熱源的最低點誤差較大，但在最低點之外的大部分區(qū)域和SNB的計算結(jié)果吻合的很好。從圖2(b)可以看到Smith(4GG)在壁面熱流最高點附近較大的區(qū)域內(nèi)高估了輻射熱流。Truelove(4GG)在整個范圍內(nèi)都低估了輻射熱流。Perry(5GG)在除熱流最高點附近的大部分區(qū)域略低于SNB的結(jié)果，但整體上Perry(5GG)的結(jié)果較好。

2.2 不同坐標離散方式對結(jié)果的影響

在離散坐標法中，非常重要的是離散方向的選取，不同的離散方向和權(quán)重，產(chǎn)生了多種離散坐標方式，這里對比了六種坐標離散方式對此算例結(jié)果的影響，輻射模型為Perry(5GG)。圖3（a）和（b）分別給出了中心線（0m，0m，z）上的輻射熱源和壁面（1m，1m，z）上的熱流分布。

從結(jié)果可以看到不同的坐標離散方式對輻射熱源影響非常小，但是對輻射熱流的計算產(chǎn)生了非常大的影響。從圖3（b）可以看到S2對稱和非對稱的離散方式都低估了輻射熱流，并且誤差非常大。層對稱奇階格式的S6 LSO和S8 LSO以及層對稱偶階格式S4 LSE的計算結(jié)果和SNB的結(jié)果吻合的比較好，層對稱奇階格式S4 LSO在熱流最高點附近高估了輻射熱流，并且具有較大誤差。

圖3 不同坐標離散方式對結(jié)果的影響Fig.3 Effect of different coordinate discrete methods

2.3 不同坐標離散方式對計算效率的影響

上一小節(jié)研究了不同的坐標離散方式對加權(quán)灰氣體和模型計算精度的影響，本文同時考察了不同的離散方式的計算效率。表1中給出了在采用輻射模型Perry(5GG)時不同的坐標離散方式的時間消耗，可以看出隨著離散方向的增加，輻射計算的時間消耗逐漸增加，相同離散方向數(shù)的兩種S2以及兩種S4的時間消耗基本相同。在輻射模型確定時，S4離散的計算時間是S2離散計算時間的3.5倍左右，S6計算時間是S2的10倍左右，S8離散計算時間是S2離散的23倍左右。表1的結(jié)果表明，離散方式對輻射計算時間的影響主要和離散方向數(shù)有關(guān)。這是由于當離散方向數(shù)目增加時，求解方程的數(shù)目也相應(yīng)增加，求解的時間消耗也相應(yīng)增加。在流場與輻射耦合計算時，可以采用相對低精度的坐標離散方式來顯著的減小輻射計算部分的計算量，從而加速輻射計算速度。

表1 不同坐標離散方式的計算效率Table1 Computational efficiency of different coordinate discrete methods

3 結(jié)論

本文采用離散坐標法求解輻射傳遞方程，輻射模型采用加權(quán)灰氣體和模型（WSGGM），研究了不同的加權(quán)氣體和模型和不同的坐標離散方式對輻射計算結(jié)果的影響。研究表明：

1）不同的加權(quán)氣體和模型對輻射熱源及壁面輻射熱流都有較大影響；

2）不同的坐標離散方式對輻射熱源的影響較小，但對壁面輻射熱流有著相當顯著的影響；

3)不同坐標離散方式對計算耗時的影響主要取決于離散方向數(shù)目，離散方向數(shù)目越大計算量越大；

4）對于工程中輻射計算Perry(5GG)和離散方式S6組合可以達到較好的精度。液體運載火箭發(fā)動機噴流輻射熱計算計算量較大，尤其在輻射和流場耦合計算時，輻射模型和坐標離散方式要綜合權(quán)衡選擇，本文推薦Perry(5GG)和離散方式S6組合使用。