基于T-S 模糊模型的采樣系統魯棒耗散控制

練紅海 肖伸平, 羅毅平 周筆鋒

T-S (Takagi-Sugeno)模糊模型通過簡單的IFTHEN 模糊規則,利用一系列的局部線性子系統結合模糊隸屬度函數可精確描述非線性系統,廣泛用于非線性系統的建模與控制,受到了國內外控制團隊的極大關注[1-2].該模型結構簡單,數學描述方便,有利于系統分析和控制器設計.因此,T-S 模糊模型系統的各種問題得到廣泛研究[2-9],如H∞跟蹤控制問題[6]、非脆弱濾波控制問題[7]、魯棒耗散控制問題[8]、故障檢測問題[9]等.

采樣控制系統具有安裝簡單、可靠性高、維護成本低、效率高等優點而廣泛應用于實際工程中.采樣控制系統是一個包含連續時間信號x(t)和離散時間信號x(tk)的混雜系統,它的控制信號在任意一個采樣間隔內只刷新一次(只在數據采樣時刻刷新),與連續控制系統相比,這極大減少了信息的傳輸量,增加了帶寬使用效率且控制更加高效.因此,采樣控制系統得到眾多學者的廣泛研究,并取得了豐富的成果[10-19].文獻[10-11]和文獻[12]分別利用離散時間方法和脈沖模型方法研究了采樣控制系統的穩定和鎮定問題.文獻[13] 提出了基于L-K(Lyapunov-Krasovskii)泛函的輸入時滯方法,該方法是目前分析采樣控制系統綜合問題的主要方法之一,其基本思想是將采樣控制系統轉換為時變時滯系統,再利用L-K 泛函和時滯系統理論分析采樣控制系綜合問題.近些年,許多學者基于輸入時滯方法提出了一些新的分析方法,如時間相關L-K 泛函方法[14]、閉環L-K 泛函方法[15]、不連續L-K 泛函方法[16-17]和雙邊閉環L-K 泛函方法[18-19]等.這些方法也已用于處理其他復雜系統的控制問題,文獻[20]利用時間相關L-K 泛函方法研究了基于T-S 模糊模型的混沌采樣控制系統指數鎮定問題.文獻[21]使用基于Wirtinger 不等式的不連續L-K 泛函和模糊比例采樣控制分析了混沌系統的鎮定控制問題.文獻[22]利用基于自由矩陣的不連續L-K 泛函討論了T-S模糊混沌采樣控制系統的鎮定控制問題.文獻[23]通過雙邊閉環函數討論了時變時滯神經網絡的采樣同步控制問題.

耗散性理論是Kalman-Yakubovich 引理,無源性理論以及圓判據的推廣,它通過能量相關的輸入輸出描述方式給出了控制系統設計和分析的新框架,已成為非線性系統,魯棒控制系統設計的重要工具.耗散性將無源性能和H∞性能進行了統一,為控制系統設計提供了一種更靈活,保守性更小的方法.另外,在耗散性能的基礎上,還可引入擴展耗散性能[24],這個性能可將H∞性能、L2～L∞性能和無源性能納入一個統一的框架.因此,研究各類動態系統的耗散控制問題具有重要意義.文獻[25]針對具有隨機擾動的模糊切換系統,討論了其魯棒耗散濾波控制問題并給出了濾波控制器的設計方法.文獻[26]研究了時變時滯神經網絡的耗散性問題,建立了確保系統嚴格耗散的充分條件.文獻[27]分析了一類具有執行器故障的奇異Markovian 跳變系統的有限時間耗散控制問題.文獻[28]研究了TS 模糊Markovian 跳變系統的可靠耗散控制問題.文獻[29]研究具有執行器故障的T-S 模糊采樣控制系統的可靠耗散控制問題.文獻[30]針對一類TS 模糊采樣控制系統,利用時間相關L-K 泛函方法研究了系統的魯棒耗散控制問題,獲得了系統嚴格耗散的充分條件并給出了模糊采樣控制器的設計方案.由于它只考慮了采樣間隔 [tk,t)的系統特征信息,忽視了采樣間隔 [t,tk+1)的系統特征信息.因此,這種設計方法的保守性較大.考慮這種情況,文獻[31]利用整個采樣間隔 [tk,tk+1]的系統特征信息,提出一個雙邊閉環L-K 泛函,進一步研究了T-S模糊采樣控制系統的耗散控制問題.雖然文獻[31]的設計方案比文獻[30]的設計方案保守性更小,但文獻[31]沒有考慮模糊前提變量,只是設計了一個線性的采樣控制器,同時,它構造的雙邊閉環函數還忽視了一些有效的特征信息.因此還有很大的改進空間.

針對文獻[30]和文獻[31]存在的問題,本文進一步研究T-S 模糊采樣控制系統的魯棒耗散控制問題.主要貢獻有以下幾點:1)基于2 階的B-L 不等式,提出基于B-L 不等式的雙邊時間相關不連續L-K 泛函,該泛函充分考慮了整個采樣間隔[tk,tk+1)的特征信息和系統的不連續特性,相對現有的L-K泛函方法來說,可更加有效地捕獲采樣控制系統的鋸齒結構特征;2)提出了一個改進的自由矩陣不等式,對L-K 泛函導數的估計更為精確;3)利用提出的L-K 泛函和自由矩陣不等式,建立了一個低保守性的魯棒耗散性條件,基于這個條件,提出了T-S模糊采樣控制器的設計方案.通過一個卡車拖車系統來驗證設計方法的有效性和優越性.

本文采用如下記號:Rn,Rn×m分別表示實數域的n維向量空間和n×m矩陣空間; N 表示自然數集; 0 和I分別代表合適維數的零矩陣和單位矩陣;R ＞0 表示矩陣R是正定矩陣;Sym{M}=M+MT代表矩陣M與矩陣M轉置之和; d iag{·}表示塊對角矩陣;“*”表示對稱矩陣的對稱項;L2[0,+∞)表示平方可積無窮序列.

1 系統描述

針對一類連續非線性采樣控制系統,考慮以下IF-THEN 模糊規則描述的T-S 模糊模型.

控制信號由零階保持器(Zero-order holder,ZOH)輸出產生.基于并行分布補償控制 (Parallel distributed control,PDC)的思想,針對系統(1),給出下面的T-S 模糊采樣狀態反饋控制器.

采樣周期為兩個相鄰連續采樣時刻之間的間隔時間,假設滿足

其中,h1和h2(h2≥h1≥0)分別表示采樣周期(采樣間隔)的最小值和最大值.

將式(4)代入式(2),可得下面的閉環采樣控制系統

為了分析系統(6)的耗散性能,定義下面的能量供給率函數

則稱系統(6)是嚴格(Q,S,R)-γ-耗散的.

本文目的是為系統(6)設計一個T-S 模糊采樣控制器(4),且滿足指定的耗散性能(8).

為了推導主要結論,給出下面兩個引理.

引理 1 (2 階B-L 不等式)[33-34].對給定矩陣R∈Rn×n,對所有在 [a,b]→Rn上連續可微的函數xxx,滿足

引理 2 (改進的自由矩陣不等式).對給定矩陣R∈Rn×n,任意向量ξ0和自由權矩陣N,對所有在[a,b]→Rn上連續可微的函數x,滿足

2 主要結果及證明

為了簡化系統的分析與設計以及推導過程,定義如下標記符:

首先,對模糊采樣控制器增益矩陣已知的情況,給出閉環采樣控制系統(6)滿足耗散性能(8)的充分條件如下.

其中,Σi,Ωi,i=1,2的定義見式(10)～(13).那么,系統 (6)是嚴格(Q,S,R)-γ-耗散的.

證明.構造基于B-L 不等式的雙邊時間相關不連續L-K 泛函為

基于定理1,對控制器增益未知的情況,定理2給出了系統(6)魯棒耗散控制的充分條件以及T-S模糊控制器的求解方法.

作為L-K 泛函,利用類似于定理2的證明過程,可得下面的推論

3 實例分析

本節提供一個實例來展示提出方法的可行性和有效性.考慮下面的卡車拖車模型[30,36],其卡車拖車模型示意圖如圖1 所示.

圖1 卡車拖車模型及其坐標系統Fig.1 Truck trailer model and its coordinate system

其動力學狀態方程可描述如下[30,36]

首先,針對變周期采樣的情況(h12),選擇ε1=0.7,ε1=0.5 和h1=0,對不同采樣周期上界h2,使用定理2 和推論1 以及文獻[30]所得的最優耗散性能指標γmax如表1 所示.由表1 可知,與文獻[30]相比,定理2 和推論1 能提供一個更大的耗散性能指標γ.特別地,當h2=0.35 時,文獻[30]無可行解,說明本文提出的方法更加有效.另外,從表1 還可看出,定理2 比推論1 提供的耗散性能指標γ更大,這是由于定理2 引入了VBL(t)和V4(t).

表1 對不同 h2的γmaxTable 1 γmax for differenth2

為了展示變采樣周期下界h1與耗散性能指標的關系,選擇h2=0.35,對不同h1,使用定理2 計算所得的最大耗散性能指標γmax如表2 所示,從表2可以看出,當變采樣周期下界h1逐漸增大時,耗散性能指標γ也逐漸增加.

表2 對不同 h1的γmaxTable 2 γmax for differenth1

另外,選擇耗散性能指標γ=0.9311 和變采樣周期下界h1=0,使用定理2 計算所得變采樣周期的最大上界h2為 0.26,與文獻[30]所得結果 0.15 相比,結果改善了73.33%.此時,根據式(34)得到相應的T-S 模糊采樣狀態反饋控制器增益為

注 8.值得指出的是,目前大部分文獻[20-22,29]獲得的T-S 模糊控制器的各個局部子控制器增益是相等的(即K1=K2=···=Kr=K,r為模糊規則條數),根據,若各子控制器相等,則有uuu(t)=由此可知,全局控制器(uuu(t)=Kxxx(tk))與模糊隸屬度函數無關.也就是說,當各局部子控制器相等時,得到的全局控制器(uuu(t)=Kxxx(tk))其實等價于一個線性控制器.關于局部子控制器出現都相等的情況,這可能與選擇的隸屬度函數,構造的L-K 泛函等多方面因素有關.對于這種情況目前尚沒有統一的解決方法或合理的解釋,是一個極具挑戰性的課題,尚需進一步深入研究.

選擇初始條件x(0)=[-0.5π,-0.75π,-10]T,外部擾動輸入w(t)=[sin(0.1t)exp(-0.1t),sin(0.1t)×exp(-0.1t)]T.在γ=0.9311,變采樣周期hk∈(0,0.26]情況下,基于獲得的控制器,得到系統相應的狀態響應曲線和控制輸入曲線如圖2 和圖3 所示,從圖2 和圖3 可以看出,設計的T-S 模糊采樣控制器保證了系統的穩定性,且能有效抑制外部擾動信號w(t),具有良好的魯棒性.

圖2 變周期采樣 h k∈(0, 0.26]的系統狀態響應Fig.2 State response of system in the case of variable sampling withhk∈(0, 0.26]

圖3 變周期采樣 h k∈(0, 0.26]的系統控制輸入Fig.3 Control input of system (38)in the case of variable sampling withhk∈(0, 0.26]

接下來,進一步討論定周期采樣的情況(h1=h2=h).對不同的采樣周期上界h2,使用定理2 計算所得的最大耗散性能指標γmax見表3.由表1 和表3 可以看出,對相同的采樣周期上界h2,定周期采樣(h1=h2)的情況相比于變周期采樣(h1h2)的情況來說,能獲得更大的耗散性能指標.同時,從這兩個表中,還可得出這樣的結論:耗散性能指標越大對應的采樣周期上界越小.換句話講,可以通過增加采樣頻率來改善系統的耗散性能指標.

表3 對不同 h1=h2的γmaxTable 3 γmax for differenth1=h2

另外,選擇耗散性能指標γ=0.9311,使用定理2 (h1=h2)計算得最大采樣周期上界為 0.32,以及相應的T-S 模糊采樣狀態反饋控制器為

基于獲得的控制器,可得系統的狀態響應和控制輸入如圖4 和圖5 所示.由圖4 可以看出,設計的控制器能保持系統的穩定性,展示了提出方法的可行性和有效性.

圖4 定周期采樣 h2=0.32的系統狀態響應Fig.4 State response of system in the case of constant sampling withh2=0.32

圖5 定周期采樣 h2=0.32的系統控制輸入Fig.5 Control input of system in the case of constant sampling withh2=0.32

4 結束語

針對基于T-S 模糊模型的采樣控制系統魯棒耗散控制問題.提出了一個基于B-L 不等式的雙邊時間相關不連續L-K 泛函.建立了一個確保系統嚴格(Q,S,R)-γ-耗散的充分條件.基于這個條件,提出了T-S 模糊采樣控制器的設計方案.最后,使用一個卡車拖車系統說明提出方法的可行性和優越性,仿真結果表明所提出的設計方案能夠實現良好的控制效果.

本文提出的方法也很容易擴展到其他復雜系統的分析與綜合,如網絡控制系統[5,37-38]、混沌系統[21-22]和神經網絡[23]等,這將是我們進一步研究的方向.