基于創新思維培養的高考數學微專題設計
——以“解三角形中最值問題”為例

陜西省西安惠安中學 龍正祥

1 高考動向分析

解三角形問題可以較好地考查三角函數的誘導公式、三角恒等變換、三角形邊角轉化、正余弦定理等知識點，是三角函數、解析幾何和不等式知識的交匯點，在高考試卷中大題基本上隔年出現，小題則是年年必考.全國卷及新高考卷在2020年、2021年均有考查，處理解三角形中的最值問題主要有兩種方案，一是建立目標函數后利用基本不等式解決，二是建立目標函數后利用三角函數的有界性解決.

2 教學目標設置

(1)在熟悉的情境(素材1、素材2)中，通過問題引入，逐步提煉出從數(構建不等式、函數、方程等模型)和形(尋找特殊位置、臨界位置)兩個角度解決取值范圍問題的一般方法，培養學生的解題能力，發展數學抽象、直觀想象、數學建模等素養；

(2)在較復雜的情境(合作探究)中，通過變式延伸、對比分析，逐步提煉出求最值的一般思路：建立模型→二元函數(基本不等式)→化歸轉化→一元函數(單調性)→問題解決，提升學生的邏輯思維能力，發展邏輯推理素養;

(3)在具體情境中熟練運用正弦定理、余弦定理、面積公式等建立模型，通過三角恒等變換、三角函數的有界性、基本不等式等求解模型，提升學生的運算求解能力，發展數學運算素養.

3 教學重難點

重點：在具體情境中會從數的角度，通過構造不等式、方程、函數解決取值范圍問題；在具體情境中會從形的角度，通過圖象的特殊位置、臨界位置探尋最值問題所表達的圖形語言.

難點：如何更好地從學生角度分析解決問題.

4 教學過程

4.1 自主學習，尋找創新思維素材

素材1(北師大版必修五第52頁A組第5題)已知銳角三角形的邊長分別為1,2,m，則實數m的取值范圍為.

師：大家對這道課本上的題都很熟悉吧！請同學們分享一下你是如何探尋實數m的取值范圍的.(舉手同學有4人)

生1：由兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，可得實數m的取值范圍為1

師：好，該同學很快就找到了限制m的不等式.

生2：不對，他沒考慮銳角，這是銳角三角形!

師：這位同學讀題非常仔細，給你點贊，那你補充一下！

生2：因為是銳角三角形，所以每個角的余弦值都大于零，可由余弦定理得到限制實數m的不等式.不妨設A,B,C的對邊分別為1,2,m，則由余弦定理得

師：非常棒！如果我們觀察第一個式子，它是恒成立的！理論實踐相統一，簡潔就是數學美！

師：這三位同學做得非常好！他們從數的角度利用余弦定理構造了關于限制實數m的不等式，還有其他思路嗎？

師：厲害！從形的角度考慮問題所表達的特殊圖形，利用數的最值就是形的特殊位置的思想巧妙地化解了問題，四兩撥千金，數形結合真精妙！

設計意圖:用學生熟悉的情境，激發學生創新思維意識，引導學生從“數”和“形”兩個角度思考取值范圍問題，初步感知到從數的角度就是構造不等式，從形的角度就是尋找特殊圖形.同時復習鞏固“已知三角形三邊，首選余弦定理”以及銳角三角形的限制條件，強化雙基.

素材2(北師大版必修五第52頁B組第1題)在△ABC中，a=x,b=2,B=45°，若△ABC有兩個解，則x的取值范圍為 ( ).

A.(2,+∞) B.(0,2)

師：此題我們又該如何從“數”和“形”兩個角度分析呢？請同學們先認真思考，同桌之間可以交流，3分鐘后分享.

生5：我們兩個(同桌交流)的思路是利用正弦定理，通過建立函數來解決.

師：同學們今天表現都非常棒，相互幫助共同進步.誰還有其他想法？

生7：還可以用余弦定理，通過建立方程，差不多也能解決，但是答案好像不對.

師：差不多！不確定！好像還是蠻有思路的，展示給大家，我們一起分析，共同解決.

師：同桌能分析一下這樣解的原因嗎？(大多數同學很懵)

師：至此，我們看到了這個取值范圍問題可以直接建立不等式來解決，也可以通過構建函數模型，轉化為求函數值域的問題，還可以通過建立方程模型，轉化為研究方程解的問題.

師：非常棒！從圖形的角度解讀取值范圍問題，形象直觀.

設計意圖:本素材的探究，詮釋了從“數”的角度解決取值范圍問題時可以直接建立不等式來解決，也可以通過構建函數模，轉化為求值域問題，還可以通過建立方程模型轉化為研究方程解的問題；從“形”的角度通過特殊圖形、特殊位置解決取值范圍(最值)問題.如果上升到解決取值范圍問題的方法論角度，本素材只不過是以解三角形為背景，如果換作其他知識模塊，解決取值范圍問題的思路、思想方法都是不變的.

4.2 合作探究,培養創新思維品質

師：請同學們分小組研究討論，注意提煉解決二元變量取值范圍問題的常規思路.抽小組進行展示，講解.

由正弦定理,得

展示2：利用余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得

3=b2+c2-bc.

另一方面，由三角形的面積恒大于零，得

設計意圖:通過延伸讓學生再次體會“邊化角”“角化邊”解三角形問題的常規思路，化成邊可以利用基本不等式解決最值，如果化成角可以利用三角函數的圖象、性質解決最值問題，拓展學生思維，鞏固基本不等式、三角恒等變換、三角函數等相關知識.

變式1條件不變，試求三角形△ABC周長的取值范圍.

分析：本題由基本不等式只能求出一邊范圍，容易忽略構成三角形的條件，即兩邊之和大于第三邊.

展示3：由正弦定理，得

展示4：利用余弦定理，得3=b2+c2-bc.

整理，得3=(b+c)2-3bc.

另一方面，由三角形的兩邊之和大于第三邊，得

設計意圖:通過變式讓學生繼續感受當問題變為“邊”的問題時如何解決，引導學生利用化歸思想轉化為角的問題；另一方面，引導學生結合題目特點，利用余弦定理、重要不等式求解，同時也可以“邊化角”直接利用延伸題的思路解決.

變式2條件不變，試求sinB+sinC的取值范圍.

展示6：由正弦定理，得

設計意圖:在具體情境中，培養學生的創新思維、發散思維，提升學生對問題的轉化能力.

4.3 反思悟道，固化創新思維元素

(1)范圍問題解答思路

思路1：數的角度——構造不等式、函數、方程.

思路2：形的角度——尋找特殊位置、特殊圖形.

(2)最值問題求解策略

思路1：建立函數——利用單調性、有界性.

思路2：基本不等式——尋找等量關系.

(3)解三角形知識體系

基本理論——內角和、三角形分類、面積公式等.

定理——正弦定理、余弦定理.

設計意圖:通過歸納總結，提煉思想方法，明晰知識技能，構建知識思維導圖，為學生后續的深度學習提供可能素材.

4.4 目標檢測，發展創新思維元素

設計意圖：立足課堂教學，鞏固“四基”“四能”，讓所有學生都能體會到課堂上所學知識對自己做題有很大幫助；同時也看到了新高考在解三角形這一模塊的命題思路，為其他模塊的學習提供思路和方法.

①求B；②若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍．

設計意圖:為學有余力的學生搭建再發展的平臺，進一步理解取值范圍問題解答的通性通法，為廣義取值范圍問題的解答提供思考空間，真正落實高考復習備考的主導思想.基礎知識是明線——通過復習檢驗知識點有沒有完全掌握；思想方法是主線——能不能站在思想方法的高度認識問題；核心素養是暗線——問自己核心素養有沒有得到質的提升.

5 教學評價

5.1 設計注重思維培養，促進學生深度學習

本節課設計立足學生實際，取材課本、真題，依據課標、高考評價體系，注重學生創新思維的培養，滲透了學科核心素養.在整節課的設計中,運用了自主學習、合作探究、反思悟道、目標檢測四個學習環節，引導學主動參與學習,幫助學生在掌握四基、提升四能的基礎上，學會學習數學.

5.2 數學情境設置成功，創新思維培養到位

通過學生熟悉的情境，立足基礎，從引例出發，通過一個個變式，為后面的合作探究提供了活動經驗，激發了學生的學習興趣，讓學生看到高三復習就要立足基礎，注重思維，注重思想方法.

5.3 知識之間跨度較大，思維容量要求較高

本節課所涉及的知識內容較多，從解三角形、三角函數再到基本不等式，有計算，有畫圖等，再加之是公開示范課，課堂節奏較快，基礎薄弱的學生某些環節做得不到位.因此，教學中容量要適當小一點，思維深處要放慢一點，讓更多的學生體會數學的產生、發展、變化過程.