知識(shí)交匯 思維多樣
——一道面積最值問題的探究

江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)第一中學(xué) 潘月妹

涉及三角形面積的最值問題，是解三角形問題中的一類基本綜合應(yīng)用問題．此類問題巧妙融入解三角形問題、最值應(yīng)用問題等，交匯平面幾何、三角函數(shù)、函數(shù)與方程、不等式等相關(guān)知識(shí)，是新高考數(shù)學(xué)試卷中比較常見的一類綜合應(yīng)用性問題，充分體現(xiàn)高考“在知識(shí)交匯處命題”的指導(dǎo)精神，倍受各方關(guān)注．

1 問題呈現(xiàn)

此題以三角形為幾何背景，結(jié)合平面向量的數(shù)量積、解三角形等知識(shí)來確定三角形面積的最值．題目簡(jiǎn)單明了，可以從問題背景出發(fā)，利用解三角形思維從平面幾何來直觀切入；也可以從平面向量知識(shí)出發(fā)，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算或?qū)?yīng)公式等思維視角來切入．視角不同，解題思路與過程以及涉及到的知識(shí)點(diǎn)也各不相同，各有各的精彩．

2 問題解決

方法1:解三角形法.

利用基本不等式，可得

所以，當(dāng)a2=4，即a=2，b=c=2，亦即△ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形時(shí)，S2取得最大值3.

點(diǎn)評(píng)：通過解三角形思維來解決三角形中的面積問題，是解決此類問題最常用的一種技巧方法．在具體解析過程中，綜合了平面向量的數(shù)量積、解三角形的余弦定理與三角形面積公式、三角公式、基本不等式以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等眾多知識(shí)，實(shí)現(xiàn)多知識(shí)交匯與融合的完美統(tǒng)一．

方法2：平面幾何法.

圖1

如圖1所示，設(shè)h為BC邊上的高，對(duì)應(yīng)的垂足為點(diǎn)D.設(shè)|BD|=x，則|CD|=a-x.

結(jié)合勾股定理，有a2+b2+c2=a2+x2+h2+(a-x)2+h2=12.整理可得

x2-ax+a2+h2-6=0 ①

由于關(guān)于x的二次方程①有解，則

Δ=a2-4(a2+h2-6)≥0.

整理，可得3a2+4h2≤24.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)條件，借助平面向量的數(shù)量積公式與余弦定理，得到三角形的三邊的平方和的值，巧妙構(gòu)建平面幾何圖形，利用三角形的直觀性，結(jié)合勾股定理的應(yīng)用，綜合二次方程有根的條件，并利用基本不等式來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用．?dāng)?shù)形結(jié)合，直觀有效．

方法3：建系法.

圖2

所以，當(dāng)a2=4，即a=2，b=c=2，亦即△ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形時(shí)，S2取得最大值3.

點(diǎn)評(píng)：通過建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)，解決平面向量的數(shù)量積以及三角形的面積等相關(guān)問題，也是解決解三角形問題的一種基本技巧方法．通過配方處理，利用參數(shù)的取值限制并借助二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定最值，思路清晰，方法常規(guī)，運(yùn)算量合適．

方法4：極化恒等式法.

點(diǎn)評(píng)：利用平面向量中的極化恒等式將平面向量的數(shù)量積關(guān)系轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的關(guān)系，為進(jìn)一步解三角形指明方向．利用平面向量的極化恒等式可以快速對(duì)平面向量的數(shù)量積進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了平面向量的幾何屬性，特別適合于以三角形為載體且含有線段中點(diǎn)的平面向量問題．

方法5：外森比克不等式法.

3 變式拓展

探究：根據(jù)以上問題中方法1(或其他方法)的解析過程，改變問題條件的視角，從三角形三邊的平方和的值所提供的信息入手，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)三角形面積的最值，從而得到以下對(duì)應(yīng)的變式問題．

變式△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a2+b2+c2=12，則△ABC面積的最大值為( ).

解析：由a2+b2+c2=12，結(jié)合余弦定理可得bccosA+a2=6.

當(dāng)然，利用變式1中的條件，解決問題的思路更加活躍，方法更多，這里就不多加敘述．

4 教學(xué)啟示

(1)面積應(yīng)用，最值綜合

借助三角形面積這一基本要素，可以巧妙利用三角形面積的夾角公式、高線公式、圓的半徑公式以及海倫公式等的應(yīng)用，合理構(gòu)建三角形中相關(guān)邊、角等元素之間的關(guān)系，巧妙滲入函數(shù)與方程、基本不等式、函數(shù)與方程、平面幾何等相關(guān)知識(shí)，通過代數(shù)運(yùn)算、邏輯推理、幾何直觀等，實(shí)現(xiàn)最值的確定與求解．

(2)一題多解，一題多悟

結(jié)合實(shí)例，針對(duì)具體問題從多個(gè)不同思維角度來切入與處理，巧妙把對(duì)應(yīng)問題的底蘊(yùn)充分挖掘出來，多角度出發(fā)，多方法求解，從而真正體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通，展現(xiàn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)之間的交匯與融合，全面提升能力，拓展思維．巧妙借助一題多解，真正達(dá)到在學(xué)中“悟”、在“悟”中不斷提升解題技能，進(jìn)而達(dá)到一題多悟的良好效果．