破解外接球問題三法：定義，構(gòu)造，交軌

湖北省大冶市實驗高中 石曉皎

1 引言

空間幾何體的外接球問題，其問題創(chuàng)設(shè)的形式各樣，變化多端，是一類常考常新的綜合應(yīng)用問題．解決問題時，關(guān)鍵是利用空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以及外接球的定義、性質(zhì)等，確定空間幾何體外接球的球心位置或球的半徑.下面結(jié)合具體案例，從球的定義(定義法)、幾何體的結(jié)構(gòu)特征(構(gòu)造法)以及球的性質(zhì)(交軌法)等視角來分析與處理空間幾何體的外接球問題，并巧妙歸類與總結(jié)．

2 破解三法

2.1 定義法

通過題目中所給的空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合球的定義確定其外接球的球心位置或半徑.其實就是抓住球的定義本質(zhì)進(jìn)行求解.

A．72π B．144π C．50π D．100π

分析：根據(jù)給定條件，取PC中點O，結(jié)合線面垂直的判定與性質(zhì)，利用直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合球的定義來確定四棱錐P-ABCD外接球的球心位置，進(jìn)而構(gòu)建關(guān)系式計算出球半徑，代入球的表面積公式計算即可．

圖2

解析：四棱錐P-ABCD的底面是矩形，取PC中點O，連接AC，OA，OB，OD，如圖1所示.

因為PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，則PA⊥BC.而AB⊥BC，AB∩PA=A，AB，PA?平面PAB，則有BC⊥平面PAB.

又PB?平面PAB，所以BC⊥PB.

同理，可證CD⊥PD.

而PA⊥AC，因此

結(jié)合球的定義，可知四棱錐P-ABCD外接球的球心為O，半徑為OA.

在矩形ABCD中，AC2=AB2+BC2，從而得

即球半徑OA=5，所以四棱錐P-ABCD外接球的表面積為S=4π×52=100π.

故選擇答案：D．

點評：定義法確定空間幾何體外接球的球心位置或半徑，其實就是抓住球的定義這一實質(zhì)，利用球心到球面上任意一點的距離都相等，巧妙綜合空間幾何體的對稱性、平面幾何圖形的基本性質(zhì)等，結(jié)合球的定義巧妙構(gòu)建相應(yīng)的關(guān)系式，實現(xiàn)問題的化歸與應(yīng)用的目的．

2.2 構(gòu)造法

通過題目中所給的空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，巧妙構(gòu)造立體幾何模型，如所給空間幾何體是柱體、錐體等，可構(gòu)造長方體或正方體等特殊立幾模型來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用．

分析：如圖2，連接AO，并延長交BC于點D.由頂點P在底面的射影O為△ABC的垂心，可得BC⊥PA，AC⊥PB，AB⊥PC.由S△ABC·S△OBC=S△PBC2，可得△POD∽△APD，PA⊥PD.即可得PA，PB，PC兩兩互相垂直.通過構(gòu)造立體幾何模型法，利用三棱錐P-ABC的外接球為以PA，PB，PC為棱的長方體的外接球，即可建立涉及外接球半徑的關(guān)系式，結(jié)合三角形的面積公式以及基本不等式的應(yīng)用來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用．

圖2

解析：如圖2所示，連接AO并延長交BC于點D，連結(jié)PD.

由于頂點P在底面的射影O為△ABC的垂心，則知AD⊥CB.

又PO⊥平面ABC，可得PO⊥BC.

又AD∩PO=O，所以BC⊥平面APD，可得BC⊥AP，BC⊥PD.同理AC⊥PB.

又∠PDO=∠PDA，則有△POD∽△APD，所以∠APD=∠POD=90°，即PA⊥PD.

又PA⊥BC，BC∩PD=D，所以AP⊥平面PBC，而PB?平面PBC,故PA⊥PB.

又PB⊥AC，且AP∩AC=A，所以PB⊥平面APC，而PB?平面APC,故PB⊥PC.

所以PA，PB，PC兩兩互相垂直.

所以三棱錐P-ABC的外接球為以PA，PB，PC為棱的長方體的外接球.

設(shè)三棱錐P-ABC的外接球半徑為R，則有PA2+PB2+PC2=4R2.

點評：構(gòu)造法確定空間幾何體的外接球的球心位置或半徑，其實就是借助補形思維，通過合理補形等方式構(gòu)造特殊的空間幾何體——正方體或長方體等，利用原幾何體與所構(gòu)造的特殊空間幾何體的外接球一致，合理轉(zhuǎn)化，快捷處理，進(jìn)而利用正方體或長方體外接球的球心是其體對角線的中點(體對角線恰是該外接球的直徑)來解決問題．

2.3 交軌法

通過題目中所給空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合外接球的幾何特征，從不同視角確定球心所在的直線，而滿足條件的兩條相交直線的交點就是對應(yīng)的外接球球心．

分析：根據(jù)題目條件，利用交軌法求解.先求出到A，B，C三點等距離的點的軌跡是直線MN，再求出到P，B兩點等距離的點的軌跡是直線DE，則直線MN與直線DE的交點即是三棱錐P-ABC外接球的球心，進(jìn)而結(jié)合余弦定理、正弦定理加以分析與求解，確定外接球的半徑，即可求解對應(yīng)的表面積．

解析：設(shè)M為BC的中點，在平面PBC內(nèi)過點M作MN⊥BC交PB于點N.

因為平面PBC⊥平面ABC，所以MN⊥平面ABC.

又三角形ABC是以BC為斜邊的直角三角形，所以直線MN上任意一點到A，B，C三點的距離相等.

在平面PBC內(nèi)作線段PB的垂直平分線DE，設(shè)DE與MN的交點為O，則點O到P，A，B，C四點的距離都相等，即點O為三棱錐P-ABC外接球的球心，并且點O也是三角形PBC的外心.

因此，三棱錐P-ABC外接球的半徑與三角形PBC外接圓的半徑相等.

所以，三棱錐P-ABC外接球的表面積S=4πR2=10π.

故填答案：10π．

點評：交軌法確定空間幾何體外接球的球心位置或半徑，其實就是借助球的相關(guān)性質(zhì)：“球心O與截面圓的圓心O1的連線垂直于截面圓”“球心O與弦中點的連線垂直于弦”等，利用滿足條件的兩條相交直線的交點直接確定空間幾何體外接球的球心．

3 結(jié)語

解決空間幾何體的外接球問題，除了以上借助球的定義(定義法)、幾何體的結(jié)構(gòu)特征(構(gòu)造法)以及球的性質(zhì)(交軌法)等方法來解決外，還可以結(jié)合空間坐標(biāo)法、向量法以及其他一些相關(guān)的技巧來處理，關(guān)鍵就是要“心中有圖”，正確進(jìn)行空間想象，構(gòu)建不同元素之間的聯(lián)系，合理數(shù)學(xué)運算，巧妙邏輯推理，實現(xiàn)數(shù)學(xué)運算、直觀想象以及邏輯推理等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與提升．