數據處理方法在數學建模競賽中的應用

山西能源學院 李璇

為了充分發揮出數學建模競賽的作用，本文針對數據處理方法在其中的應用進行介紹。首先闡述數據處理方法和數學建模競賽，分別從建模數據分析、數據插值與擬合、數據仿真處理、數據回歸分析四個方面展開分析，了解不同分析處理方法在數學建模中的應用，明確數學建模競賽中使用數據處理方法應該注意的關鍵點。以期能夠通過數據處理方法簡化數學問題。

數學建模是解決實際問題的一種方法，主要利用到數學語言，將實際問題簡化、抽象、描繪處理之后，以解答問題為目標建構數學模型，其間可以利用信息技術作為輔助，求解得到的結果也需要進行解析、檢測，將實際問題解決。數學建模過程中涉及非常多的實驗參數，這些參數必須進行解析，通過計算機軟件整合，此環節在數據建模中屬于數據處理。應用一些比較特殊的處理方法，在實驗參數中總結規律，所有參數融合分析。建模初期通過已知數據處理模式，分析面臨實際問題模型所有變量之間的關系，其中部分模型建議利用回歸分析法與時序分析法等統計解析法進行建構。數學建模競賽中應用數學處理方法，因為該競賽本身是以數學建模為基礎，所以通過數學處理方法，可以真正體現出數學建模競賽的優勢，開發青少年思維，提高計算機軟件操作、數學模型構建等的基礎能力，靈活應用數學處理方法，從而使數據分析更具精準性。為此，本文針對數學建模競賽中數據處理方法的應用做出分析，探討數據處理方法的應用流程。

1 數據處理方法

以往應用的演算式數據處理法，在信息時代下無法滿足數據處理的基本需求，而且數據處理方法也得到了創新，當下的數據處理方法是將計算機作為載體，再通過信息技術整理、分析數字信息[1]。目前比較常見的數據處理方法為表格和圖示，比如：根據近年來數據趨勢分析，數據整理之后可以繪制相應的折線統計圖，可以直觀分析數據走勢；而要統計數據在整體中的百分比時，常用扇形圖，可清晰顯示數據比例。對比傳統的圖形繪制，利用軟件技術構建數據模型，直接在軟件中輸入數據，軟件可以直接繪制、生成圖表，使數據處理更加準確以及高效。

2 數學建模競賽及其意義

數學建模競賽一般指中國大學生數學建模競賽，秉持著“創新意識、團隊精神、重在參與、公平競爭”的宗旨，在高等院校中是其培養創新型人才非常關鍵的教育形式。數學建模即針對數學問題，大學生利用數學思維與語言，判斷問題中包含的數學關系，從而進行問題求解與解釋[2]。數學建模競賽面向大學生，培養大學生的創新意識與創造能力，大學生參與數學建模競賽，可以鍛煉其快速采集信息與資料、獲取新知識的能力，加強大學生團隊合作意識，有利于培養大學生的邏輯思維與開放性思維。

3 數學建模競賽中數據處理方法使用策略

3.1 建模數據分析

一般數據建模過程中，采集或者提供原始數據，多是采用電子表格，而電子表格軟件具有諸多功能，如參數排列、參數選擇、分類總結以及函數換算。通過上述功能對建模的所有參數進行初級整合，比如重新排列關鍵詞、按照數據與范圍做出選擇、分類分析、換算最大/最小值與頻數。此外，電子表格還支持繪圖，按照數學建模的不同要求，分別繪制散點圖、曲線圖或者直方圖，預估判斷參數的變化趨勢。

3.2 數據插值與擬合

數學建模競賽采用數據處理方法，數據插值與數據擬合比較常用。比如1998年舉辦的賽A 題涉及生物組織切片的問題，而此問題采用三維插值法進行求解。1994年組織的國賽A 題，對于山體海拔高度進行計算，依然可以采用數據插值法。除了上述兩類問題外，2001年組織的國賽，包括血管三維重建的問題，此問題求解時構建最大內切圓模型，通過血管三維重建圖像插入Matlab 程序代碼，應用陰影插值函數進行求解。通過模型檢驗和誤差分析，構建二值圖像矩陣相加模型。誤差分析時總結原因和優化方法，還可提出關于血管三維重建延拓猜想，明確前后圖片相似度不高的成因，最終完成模型求解。由此可見，數據插值與數值擬合方法適用于多種建模。

面對擬合問題，利用實驗數據明確已知函數參數，或者可以尋求近似函數，使獲得的近似函數、已知數據之間擬合度較高。若明確數據存在誤差，無需近似函數經過全部數據點，只需得出近似函數即可，而且要求近似函數能夠反映數據變化規律，此為數據擬合[3]。按照已知數據點對應的實驗數據，采取插值方法明確未知數據點數據，此方法為數據插值法。在數學建模競賽中采用數值插值方法，如果實驗條件存在一定的限制，或者是實驗數據量較少，加上已經包含可信數據的情況下，一般可以采用函數插值方法，插值得到兩個數據點間的所有數據點，繪制數據曲線途徑所有實驗數據點。利用插值函數分別屬于不同的類型，逼近效果、光滑程度自然存在差異。數學建模中比較常用的數值插值方法包括Lagrange 插值、分段線性插值、Hermite 插值、三次樣插值，上述插值方法均屬于分段插值。應用Matlab 軟件，該軟件功能函數支持分段插值，無需編制函數程序。該軟件支持Interpl（一維插值）、Interp2（二維）、Interp3（三維）以及Intern（n 維）等方法，一維插值與二維插值應用相對普遍[4]。例如一維插值，其函數格式yi=interp1(x,y,xi,method)，（x，y）是插值節點，xi是被插值點，yi是xi位置的插值結果，如果設置默認條件，插值方法可以選擇分段線性插值，最鄰近插值是Nearest，線性插值是Linear，三次樣條插值是Spline，立方插值是Cubic。在全部的插值方法當中，x務必具備單調性，xi在x取值范圍以內。再如二維插值，其函數格式是yi=interp2(x0,y0,z0,x,y,method)。

在數學建模競賽中采用數據擬合方法，對一些條件相對復雜的數學問題，利用實驗數據可以直接建模，分析其中因果變量存在的數量關系，預測未知情形，所建模型即為擬合模型。利用擬合模型，有效控制實驗數據誤差，并通過數學表達式，立足于數量這一維度，總結近似表達因果變量存在的聯系。構建擬合模型時，必須綜合分析變量實驗數據，科學選擇擬合函數。常見的擬合模型有線性擬合、多項式擬合、曲線擬合這三種。如果使用Matlab 軟件，可以直接利用函數polyval，polyval 的編程界面如圖1所示。Spss 軟件則是通過菜單、對話框，支持一次性選擇多種模型，綜合對比擬合度。一般在選擇擬合模型時，需要提前繪制散點圖，分析與總結數據分布，為最終確定模型提供依據。

圖1 polyval 的編程界面Fig.1 The programming interface of polyval

3.3 數據仿真處理

數學建模必須采用計算機仿真技術，隨機性模擬是其中比較常用的常規算法。一般構建數學模型時，數據仿真有數學仿真、計算機仿真這兩種類型。數學仿真需要使用數學方程式，基于已知建立條件，采用數學表達式的方式完成模擬仿真。計算機系統中對相關體系數學模式展開實驗，即為計算機仿真。計算機仿真模式的應用，可以改變仿真系統結構、數據，為數學模型解析提供便利。計算機仿真模式包含蒙特卡洛算法，也被稱作隨機性模擬方法，該算法比較常用。利用隨機函數，針對待求解問題抽取隨機樣本，在獲取樣本之后對樣本值進行觀察和分析，通過統籌分析得到問題解答需要用到的參數。

比如全國大學生數學建模競賽1997年A 題中，包含“零件參數預設”版塊，該版塊的算題之中，元件展示標定值、容差等級均不同，需要最終求解得到元件的最佳組合模式。或者通過計算過程相對復雜的數學表達式，在所有的108 類容差當中做出選擇，挑選最佳預案。因為實際求解過程比較繁瑣，并且面臨較高的難度，所以只能采用計算機仿真模式進行求解。

粒子分離器的其中一個參數（y）與7 個零件參數（x1，x2，...x7）相關，由此得出經驗公式：

y 目標值（y0）是1.50，如果y 已經偏離y0±0.1，此時可判定產品屬于次品，并得出質量損失，是1000 元。如果y 已經偏離離y0±0.3，那么產品可判定為廢品，得出損失是9000 元。因為零件參數標定值存在容許變化范圍，將容差發呢為A、B、C 三級，表示為標定值的相對值。其中A 是±0.1%，B 是±0.5%，C 是±10%，所有的7個零件參數標定值容許范圍和各容差等級對應零件成本如表1所示。采取批量成產的方法，每批為1000 個，原本的設計方案中零件參數標定值依次是0.1、0.3、0.1、0.1、1.5、16、0.75，而容差則確定為最便宜等級。根據y 偏離y0形成的損失與零件成本，并對零件參數進行重新設計，按照表1展開分析，各個元件可行區間按照正態分布，任意選擇標定數據和容差數據，通過蒙特卡洛算法進行仿真分析，得到諸多預案，在所有預案中做出選擇即可。

表1 零件參數標定值容許范圍和各容差等級對應零件成本Tab.1 The allowable range of the calibration value of the part parameters and the cost of the parts corresponding to each tolerance level

3.4 數據回歸分析

數學建模競賽中采用回歸解析這一數據處理方法，總體來說頻率比較高，根據現有問題求解，發現在“長江水質的考察與預估”“HIV 病毒”和“高等學府學費”等問題中均可應用數據回歸分析方法。所謂回歸解析，可對應變量、多個自變量之間具有的線型和非線性關系進行分析，屬于統籌解析模式。求解問題過程中解讀應變量、自變量，便可明確變量之間存在的因果關系。構建回歸模型，按照實際測算得到參數，預估模型所有數據，回歸模型通過評價的方式判斷其與實際數據之間的擬合度，根據自變量展開推導。

對比其他數據處理方法，回歸解析模式具有比較扎實的理論基礎，采樣參數可以確定變量之間的定量關系，總結統籌變量數據發生的變化，從而構建變量之間定量關系數學模型，預測參數變化趨勢。回歸解析方法準確分析自變量在應變量影響趨勢、影響程度等方面具有明顯的優勢，除了數學建模以外，也被廣泛應用在了經濟、金融、自然科學等專業領域，數據建模比賽當中的應用也非常普遍。回歸解析常見的包括有Logistic 回歸、線性回歸、曲線回歸、非線性回歸等多種類型，可以采用電子表格、SPSS、Matalb、Eviews、Systart 等軟件進行回歸解析。

4 結語

綜上所述，數學建模競賽中應用數據處理方法，通過多元化數據處理方法，進行數據建模分析，不僅可以培養以大學生為代表的廣大青少年群體創新意識與創造性思維，還可以提高數學建模分析能力，綜合對比不同類型的數據處理方法，選擇最為合理的處理方法進行建模分析，從而提高數學問題解題效率和精準性。