無法做決斷？你只需要一個“數學期望”

劉嘉

假如有一只股票，現在的價格是50 元，未來有40% 的概率漲到60 元，有30% 的概率保持不變，還有30% 的概率跌到35 元。看完這一描述，你覺得這只股票值不值得買呢？

我想你可能無法判斷。所以這時候，光靠概率是沒法幫助決斷的，我們還需要了解另一個指標——數學期望。

數學期望是對事件長期價值的數字化衡量。其方法很簡單，就是對隨機事件不同結果的概率加權求平均。回到開頭的例子，這只股票到底值不值得買呢？

我們可以計算下股票盈利的數學期望值：E（profit）=（60-50） 40%+（50-50） 30%+（35-50） 30%=-0.5（元）。

也就是說，雖然這只股票上漲的可能性比下跌的可能性更大，但從整體上看，這只股票趨向于虧錢，謹慎起見最好不買。

我們再舉一個使用數學期望進行決策的案例。籃球有三種得分方式：籃下投籃、中距離投籃和三分球。籃下投中和中距離投中都得2 分，而三分球距離更遠，投中得3 分。籃下和中距離投籃命中率高，但是得分低；三分球命中率低，但是得分高。哪種得分方式更有效率呢？

這時，我們可以用數學期望來幫助判斷。每種得分方式的數學期望值，可以用得分情況和平均命中率來計算。具體來說，籃下每投中一球得2 分，如果平均命中率是55%， 那籃下出手的數學期望值就是：E=2×55%+0×45%=1.1（分）。

這個1.1 分的意思就是指平均每次籃下進攻可以得到1.1分。數學期望，就是用來衡量這種長期的平均價值的。

與此類似，中距離投籃也是得2 分，球員的平均命中率是45%，那中距離投籃的數學期望值就是：E=2×45%+0×55%=0.9（分）。三分球得分是3 分， 平均命中率是35%， 那三分球投籃的數學期望就是：E=3×35%+0×65%=1.05（分）。

每種投籃方式的價值原本沒辦法衡量，但計算完數學期望，就可以比較了。籃下進攻和三分球的數學期望都比中距離投籃高，所以應盡可能多地投籃下球和三分球，少投中距離球。

在美國職業籃球聯賽中，不少球隊就是按照這個思路建隊的，即重視優秀的中鋒或者有突破能力上籃的外線球星，囤積有防守能力的三分球選手。這個思路就是當下流行的“魔球理論”。

用數學期望衡量長期價值有一個前提，就是所有隨機出現的結果都必須數值化。只有這樣，我們才能計算。

比如，你問“回老家工作好，還是留在北京工作好”？如果只停留在“留在北京工作機會多，但競爭壓力大；回老家生活壓力小，但發展機會少”這些條件上，就沒法計算每種結果的數學期望并做出比較。只有給每個結果賦予一個具體的數字，比如，工作機會多對自己很重要，打10 分，競爭壓力小對自己沒那么重要，打5 分，這個問題才真正變得可以比較。

游戲設計中也涉及數學期望及賦值。我們知道，游戲是需要一些隨機性的，否則就會非常無聊。比如網絡對戰游戲，游戲設計者會設置不同的技能指標，比如暴擊率、格擋率等，來增加隨機性。

對于游戲公司來說，怎么保證所謂的游戲平衡呢？換句話說，如何設置暴擊率、格擋率等指標，才能做到不讓某些角