生物學教學中應用數學思想促進認知轉化的探究

王慶東 （單縣勝利路實驗學校 山東菏澤 274300）

影響生物學教學效率的因素很多，學生在學習過程中抓不住事物的本質是一個主要因素。提高生物學教學效率需引領學生快速、牢固抓住事物的本質。

1 構建數學模型，突顯事物本質

數學模型是為了某種目的，用字母、數字及其他數學符號建立起的等式、不等式、圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特征及其內在聯系的數學結構表達式[1]。構建數學模型有兩大功能：①從繁雜的現象抽象出本質，從特殊事例中抽象出一般規律，即化具體為抽象；②將抽象的概念或方法，用數學符號或圖形表達，使抽象的概念或方法變得簡單直觀，即化抽象為直觀?；唧w為抽象能使學生迅速抓住事物的本質，易于遷移和應用；化抽象為直觀，方便學生理解和記憶[2]。在生物學教學中構建數學模型，可使學生快速、牢固地抓住事物的本質，提高生物學教學效率。

2 應用數學思想，提高建模效率

構建數學模型依賴數學思想，數學思想決定構建數學模型的主動性、針對性、科學性和實用性。不同的數學思想對構建數學模型的作用不同。有的側重于化具體為抽象，突顯內在規律；有的側重于化抽象為直觀，簡明呈現規律。

2.1 應用數學思想構建數學模型，突顯內在規律

2.1.1 應用函數思想構建數學模型，從現象提煉規律 函數思想是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。

在生物學教學中，常涉及到2個量的關系，其中一個量隨著另一個量的變化而變化，即函數關系，例如，酵母菌活性與溫度的關系、種子萌發過程中干重與時間的關系等。僅有少數幾組數據，無法客觀反映2個量的關系，學生不易記憶。涉及函數關系的生命現象，都可建立函數關系型的數學模型。

案例1：“晶狀體的曲度與物距的關系”是函數關系。要說明“正常情況下，人為什么能看清遠近不同的物體”，可利用“蠟燭、雙凸透鏡、白板等進行模擬實驗”闡明其中的原理。通過實驗學生可形成“像距不變，更換雙凸透鏡，可使遠近不同的物體在白紙板上呈現清晰的物象”的感性認識；并能形成“正常情況下，人能看清遠近不同的物體與晶狀體的曲度改變有關”的概念，從而找到“近視眼的形成原因”。

但學生對晶狀體的曲度與物距的關系認識，仍停留在實驗現象層面，是膚淺的、片面的，難以保持長久記憶，更不易靈活遷移和應用。事實上，“晶狀體的曲度與物距的關系”是函數關系?；凇昂瘮邓枷搿敝笇н@部分教學，在模擬實驗的基礎上，引入“高斯成像關系式”，即1/f=1/u+1/v；其中，f為焦距；u為物距；v為像距。若視1/v為定值k，則焦距與物距的函數關系式可表示為：1/f=1/u+k，即焦距與物距關系的數學模型。

學生在遇到“晶狀體曲度與物距關系”的相關問題時就可基于這個數學模型進行推理獲得答案，而非死記硬背。同時，學生的認知也實現了從現象到規律、從感性到理性、從定性到定量的飛躍。

生物學上常用的函數有二次函數、指數函數、正比例函數等。多數生物學函數不能用明確的一個代數式表達，但可繪制出函數圖像。借助函數圖像，有助于學生對知識的理解、記憶、遷移和應用。

2.1.2 應用抽象思想構建數學模型，讓具體化為抽象 抽象思想是指從眾多的現象中抽取出共同的、本質性的特征，舍棄非本質特征的思想。

在生物學教學中，基于抽象思想，將生物學知識最本質的東西抽象出，構建數學模型，可使學生的模糊認識變得明朗清晰，并方便學生靈活運用。

案例2：圖1“羅亞島上駝鹿和狼的數量關系”[3]，是基于大量事實和數形結合所呈現的一定規律的數學模型。但圖1中隱含的一些規律學生不易發現：例如，①駝鹿和狼數量相互影響，2種動物的數量變化曲線近似；②駝鹿的個體數量遠高于狼的個體數量，因而駝鹿的變化量遠高于狼的變化量；③狼的數量變化，滯后于駝鹿的數量變化。教師可基于學生認知，提出“狼個體數量的變化與駝鹿個體數量的變化是否同步”等問題，引導學生思考“捕食關系的被捕食者和捕食者的關系特征”，并繪出“捕食關系數學模型”圖。

通過對圖1的深入分析，將其中隱含的信息進行抽象化、簡單化、模式化，可構建圖2所示的“捕食關系數學模型”。不僅可糾正學生錯誤的認知，建立科學的概念；還有助于提高學生解答與“捕食關系”相關問題的效率。

2.1.3 應用整體思想構建數學模型，讓知識結構完整 整體思想是指從問題的整體性質出發，突出對問題整體結構的分析和改造，發現問題的整體結構特征，善于用“集成”的眼光，將某些關系式或圖形視為一個整體，把握它們之間的關聯，有目的、有意識地處理。

在生物學教學中常有因缺乏整體思想而導致的解題效率或學習效率低下的現象?；谡w思想構建數學模型，有助于學生從整體的角度切入問題，提高學習和解決問題的效率。

案例3：學習了1個學期的“人體新陳代謝”后，學生能描述“吸氣的過程、肺泡內的氣體交換過程、組織里的氣體交換過程、血液循環的途徑”，但說不出“氧氣到達細胞的過程”。此外，學生還易形成“吸入的氧氣最終到了肺、呼出的氣體源于肺、各種營養物質最終到了小腸、肺是呼吸作用的場所、食物進入人體后變成了糞便排出體外”等一系列的錯誤概念。

究其原因，與學生缺少整體思想有關，這是長期的碎片化教學造成的。解決上述問題，需要將整體思想應用于生物學教學，并基于整體思想構建數學模型。

將整體思想應用于人體“新陳代謝”相關內容的教學中，可從新陳代謝的基本單位是細胞，引導學生繪制新陳代謝的過程，構建或應用新陳代謝的數學模型。

在今后每次上課都從“新陳代謝的大致過程數學模型”切入，并基于整體思想，構建課時學習的知識整體結構。例如，學習呼吸時，首先繪制出呼吸的4個連續過程；然后基于知識的整體結構，逐一探究相關問題，各個擊破，最后建立完整的知識結構。

大部分生物學教學任務都可從整體切入，基于宏觀的問題，繪制問題解決路線，然后逐一解決細枝末節的問題；這樣有利于學生建立完整清晰的知識結構，提高學習效率。

2.1.4 應用有序思想構建數學模型，讓認知過程清晰 有序思想是指要按照一定的順序，有條理地、全面地觀察和思考問題。建立基于有序思維的數學模型可有效避免思維的重復或遺漏。

案例4：濟南出版社的《義務教育教科書·生物學》8年級上冊的一個練習題。

在探究種子萌發的外界條件實驗中，對4組實驗分別進行了如下處理（表1）。

表1 探究種子萌發的外界條件

請分析回答：

1）本實驗中有幾組對照？變量分別是什么？

2）請寫出每個瓶內預期的實驗結果，并陳述理由。

回答這個問題，首先需要兩兩比較。而學生往往會遺漏部分比較或重復比較。其根本原因是思維的無序性，例如，比較了1和2，接著比較3和 4；而不是按照 1-2、1-3、1-4、2-3、2-4、3-4的順序依次進行比較。

為培養學生思維的有序性，教師可引導學生思考，怎樣才能避免重復或遺漏。教師可引導學生繪制比較表格（表2）。

表2 “比較”的順序和內容

這種表格語言，簡潔清晰，學生能直觀地感受到“比較”應遵循的順序和方法，使學生的思路更加有序。表2可作為一個基于有序思維的數學模型，用于解決比較類的問題。分析遺傳問題也可應用這類數學模型。

2.2 應用數學思想構建數學模型，簡明呈現規律

2.2.1 應用數形結合思想構建數學模型，直觀展現客觀規律 數形結合思想是指將抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系相結合的思想。數是形的抽象概括，形是數的直觀體現，將數和形相結合，從而將隱蔽的問題明朗化、抽象的問題直觀化、復雜的問題簡單化，化難為易，達到快速、形象、簡單易行地解決問題的目的。

在生物學教學中，常涉及到一些數據，例如，一個心動周期中心房和心室舒縮的時間等；僅憑數據，無法發現其中隱含的規律。凡涉及“量的大小、量的變化、量的關系”的生命現象都可建立數形結合的數學模型。

案例5：講授“心臟的跳動”時，可展示心臟跳動的視頻，可展示“心臟收縮和舒張示意圖”，還可提供“心臟跳動的系列數據”，例如，“若心率為75次/min，則心動周期為0.8 s；其中心房收縮維持0.1 s，余下0.7 s為舒張期；當心房收縮后心室才開始收縮，維持0.3 s，余下0.5 s為舒張期”。

無論哪種資源，學生都不易發現“一個心動周期中心房收縮、心房舒張、心室收縮和心室舒張四者的關系”，更難找出其中隱含的規律。基于數形結合思想，構建如圖3所示的數學模型，學生不僅可直觀發現“一個心動周期中心房收縮、心房舒張、心室收縮和心室舒張四者的關系”，而且可感受到心臟舒張期明顯大于收縮期，更容易理解“在人的一生中心臟可以永不停歇地跳動而不疲勞”的原因。

2.2.2 應用轉化思想構建數學模型，促進難點易化 轉化思想是將一個問題由抽象轉化為具體、由復雜轉化為簡單的問題解決思想?；谵D化思想，教師可將陌生、抽象、復雜的問題轉化為學生熟悉的、具體的、簡單的問題，提高學生學習效率。

案例6：由于學生難以想象生物體內“能量的貯存、釋放和利用”，嚴重影響了“呼吸作用”的學習效果。但學生對木材燃燒的現象十分熟悉，能理解其變化過程。學生知道，木材的主要成分是有機物，木材燃燒主要是有機物燃燒，燃燒過程中會釋放熱量，發出光。學生還知道，燃燒汽油可為汽車運動提供動力。

運用“轉化思想”，在學習這一節內容之前，教師應幫助學生在熟悉的、具體的事例與陌生的、抽象的概念之間建立聯系，引導學生，列表比較并思考呼吸作用與燃燒的關系（表3）。

表3 呼吸作用與燃燒

實踐證明，基于轉化思想，運用比較數學模型教學，可降低教學難度，提高教學效率?；谵D化思想，還可構建分解數學模型（表4）。將復雜的問題分解為幾個簡單問題，在逐一解決簡單問題后，再進行綜合，解決復雜問題，同樣也可降低教學難度，提高教學效率。

表4 分解數學模型

2.2.3 應用代數思想構建數學模型，讓知識簡明呈現 代數思想是用字母代替具體數值進行思考的思想。具體的數值刻畫的是某一種情況，而用字母表示數之后，就可表示一類情況，從而實現從特殊到一般、從具體到抽象、從復雜到簡單的跨越。同樣，在生物學教學中，也可用字母代替具體數值。

案例7：“人的體細胞分裂成生殖細胞時，染色體數目由23對變成了23條”是一個特殊事例。將這一特殊事例上升為一般規律，可用字母代替數值。體細胞中染色體成對存在，可表示為“2n”。生殖細胞中染色體可表示為“n”。體細胞經過減數分裂，染色體數目減半，形成生殖細胞。減數分裂中染色體的變化，可表示為“2n=n+n”這樣一個簡單的代數式，可讓學生迅速抓住體細胞、生殖細胞、減數分裂等本質特征，同時可讓學生明確把握“量”和“量的變化”。

基于“代數思想”，在生物學教學中，不僅可用字母代替具體數值，還可用字母代替“變”和“不變”的所有事物，以便簡單明確表達“變”和“不變”。

很多生命規律都可用字母表示，例如，有性生殖過程中染色體數目的變化、新陳代謝過程中物質和能量的變化、生態系統中能量的傳遞等。用字母表示生命規律，簡單、直觀、明確，有利于學生理解、記憶和應用。

總之，應用數學思想，將生物學知識轉化為數學模型，可促進學生將非本質的認知轉化為本質的認知，將復雜的認知轉化為簡單的認知，從而提高生物學教學效率。