類比法結合圖形記憶法助力電磁學例題中的教與學

莫云飛 王勝杰 孫利平 彭胡萍 譚志光 曾可 郭有能 劉亮 盧一兵

(長沙學院電子信息與電氣工程學院 湖南 長沙 410022)

1 引言

作為自然科學的基礎課程，各個高校都將大學物理作為理工科專業的必修課[1].大學物理涉及物理學的基本概念、理念和方法是構成學生科學素養的重要組成部分，也是高新技術理論的重要基礎.通過對該課程的學習，可以培養學生的科學世界觀，增強學生分析問題和解決問題的能力，提高學生的探索和創新精神.

電磁學是物理學中一門具有魅力的分支學科，是大學物理課程中的重要內容之一.電磁學涉及許多抽象的概念、公式和定理，初學者很難理解和記憶.此外，學生必須在掌握矢量分析和微積分方程的基礎上才能正確地分析電磁現象[2,3]，這些困難給低年級學生造成了巨大的學習阻礙.為了輔助教學和減輕學生的負擔，筆者在教學方法上總結了電磁學的規律，分析如下：

電磁學主要講授電場與磁場，由于電場與磁場的知識點具有對稱性和相似性的特點，因此通過分析，我們發現電場與磁場的內容在理論概念、物理公式和解題方法上都有著相同的規律.因此，教學中或學習中恰當地引入類比法[4～6]，對涉及的物理概念、公式和解題方法等方面進行類比，可以建立起知識間的相互聯系，幫助學生加深知識點的理解和遷移，促進學生的發散學習思維且有利于學生從被動學習提升到主動學習，從而對教師的教學效果和學生的學習質量都有極大的提高.

圖形記憶法就是將碎片的知識點進行歸納和總結后通過圖形整合在一起[7].筆者在講解電磁學相關例題過程中，將電場和磁場相類似的例題進行修剪合并，通過圖形的形式展示出來，收獲了相對于單純講授概念更好的效果.學生可以通過圖形找到概念或知識點之間的關聯性，從而構建知識框架圖或知識網，這樣比單純背誦概念和定理更能輕松地理解和記憶.

本文正是基于以上考慮，運用類比法結合圖形記憶法，以電磁學常見的例題為教學模型，將電磁學課程中有關靜電場和穩恒磁場教學例題進行具體類比、分析與探討，為電磁學課程教學提供一些參考.

2 運用類比法結合圖形記憶法對常見例題的講解或學習

在學習電場和磁場中的各種性質時，都可以通過類比法+圖形記憶方法來進一步理解和記憶.本文列舉了3個示例，分別為長直帶電直線與長直載流直導線、均勻帶電圓環與通電圓環、高斯定理與安培環路定理.

2.1 第一種模型

長度為L的均勻帶電直線和載流直導線在周圍空間分別激發電場和磁場的分布情況，如圖1所示.

長度為L的均勻帶電直線

長度為L的載流直導線

如圖1(a)和(b)，在長度為L的均勻帶電直線垂直方向和延長方向上，求解電場分布情況；圖1(c)和(d)，在長度為L的載流直導線垂直方向和延長方向上，求解磁場分布情況.求解過程都是在垂直方向的空間任意取一點P，然后將P分別往帶電直線和載流直導線做投影，獲得投影點O，以O點為坐標原點建立坐標系，并在帶電直線和載流直導線上分別取電荷元dq和電流元Idl.

在電場模型圖1(a)中，假設均勻分布正電荷，首先計算電荷元dq激發的電場

(1)

求得在垂直和平行帶電直線方向的電場分量分別為

(2)

接著利用幾何關系

-y=acotθ→dy=acsc2θdθ
r2=a2+(-y)2=a2csc2θ

(3)

代入式(2)整理并從θ1積分到θ2，之后求得

(4)

最后對式(4)做極限假設，當θ1≈0,θ2≈π;則

(5)

圖1(b)求延長線上一點P的電場

(6)

在磁場模型圖1(c)中，首先利用電流元Idl激發磁場公式

(7)

求得P點磁感應強度，通過右手螺旋法則Idl×er判斷P點磁感應強度方向為垂直平面向里，由于載流導線上每個電流元在P點產生的磁感應強度方向都是垂直平面向里，因此P點總磁感應強度大小

(8)

將幾何關系

l=acot(π-θ)=-acotθ→dl=acsc2θdθ

代入式(8)并從θ1積分到θ2，整理結果如下

(9)

當P點無限向載流直導線靠攏或載流直導線無限長時，θ1≈0,θ2≈π,則

(10)

圖1 (d) 表示當導線有限長，在延長線上一點P，其磁感應強度一定等于零，因為奧斯特實驗表明電流磁效應在垂直載流直導線方向最強，延長線上B=0.

2.2 第二種模型

求解均勻帶電圓環和通電圓環分別在中心軸上激發的電場和磁場分布情況，如圖2所示.

(a)半徑為R的均勻帶電圓環

(b)半徑為R的通電圓環

求解方法都是在中心軸上固定一點P，并從電荷元或電流元做指向P點的位矢r.假設OP=x為常數，則位矢r與中心軸形成的夾角θ是固定的，先求出EP和BP是關于x的函數，然后討論場強和磁感應強度隨x的變化規律.其過程如下：

分別將帶電圓環和通電圓環無限均勻分割成等量的正電荷元dq和電流元Idl，以O點為對稱點，在圓環上取等量的電荷元dq和dq′與等量的電流元Idl和Idl′.

(11)

(12)

(13)

(14)

接著對x的取值進行討論，當x=0時，即環心處E=0；當x?R時

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

引入載流線圈的磁矩Pm=ISn,則

2.3 第三種模型

運用高斯定理求解電場的分布和運用安培環路定理求解磁場的分布,如圖3所示.

(a) 無限長均勻帶電直線

(b) 無限長均勻帶電直線周圍電場分布的函數關系

(c) 無限長均勻帶電直線的電場線分布特征

(d) 垂直平面向外的無限長直線電流

(e) 無限長直線電流周圍磁場分布的函數關系

(f) 無限長直線電流的磁場線分布特征

當電荷和電流的分布具有對稱性時，可以運用電場中的高斯定理和磁場中的安培環路定理分別求解空間電場和空間磁場的分布.如圖3(a)～(c)表示運用高斯定理求無限長均勻帶電直線在周圍空間激發電場的分布情況， 圖3(d)～(f)表示運用安培環路定理求無限長載流直導線在周圍空間激發磁場的分布情況.求解思路如下：

假設圖3(a)為均勻分布著正電荷的無限長直線且電荷密度為λ，在空間中任意確定一點P，將P點往帶電直線做投影并獲得投影點為O點.以O點為原點，對稱的取兩個電荷元dq和dq′，這對電荷元在P點激發電場關于OP軸對稱，在垂直OP軸方向相互抵消，只剩下平行OP軸方向分量，因此無限長帶電直線可以分解成無數對關于O點對稱的電荷元，每一對電荷元在P點激發電場求矢量和都是平行OP軸且垂直帶電直線.

接著做一個閉合的高斯圓柱曲面，此圓柱面的上底和下底以OP=r為半徑，高度為L,直接運用高斯定理求解.

高斯定理的左邊

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

可以看出無限長均勻帶電直線在周圍空間激發的電場是非均勻電場，場強與距離成反比[如圖3(b)]，電場方向垂直帶電直線向外(正電荷)或垂直指向帶電直線(負電荷)[如圖3(c)].

圖3(d)為垂直平面向外的無限長載流直導線，在垂直載流直導線的平面內任意找一點P，以OP=r為半徑畫同心圓，則圓上任意一點都完全等價，磁感應強度B的大小相等，方向與電流方向滿足右手螺旋法則且都是圓的切向方向.以P點為起點，在圓上取一線元dl，當dl的大小趨向于零時，dl的方向也是圓的切向方向，因此根據安培環路定理，也可以將磁感應強度B以標量形式提取到積分符號之前.

安培環路定理左邊

∮LB·dl=B·∮Ldl=B·2πr

(25)

安培環路定理右邊等于環路所包含電流代數和的μ0倍，因此

(26)

B·2πr=μ0I

(27)

可以看出無限長載流直導線在周圍空間激發的磁場是非均勻磁場，磁感應強度與距離成反比[如圖3(e)]；磁感應強度方向沿磁場線的切向方向，而磁場線的繞行方向與電流方向滿足右手螺旋法則[如圖3(f)].

同理，針對任意曲面在任意電場中的電場強度通量與任意曲面在任意磁場中的磁場強度通量、無限大帶電平面在周圍空間激發電場分布與無限大通電平面在周圍空間激發磁場分布等模型也采用類比法結合圖形記憶法進行講解和學習，預期將會起到事半功倍的效果.

3 結束語

類比法結合圖形記憶法是一種非常重要的思維方式，針對《電磁學》中深奧難懂的例題，抓住電場與磁場在定理描述、概念理解及解題方法等相似點，運用圖形記憶法整合零碎的知識點并以圖形展示，最后運用類比法進行講解或學習，此時教學或學習也能做到有跡可循.講解或學習陌生的相關磁場例題時，將其與已經熟悉的相關電場例題聯系起來，能夠引導學生在已有知識的基礎上感受新知識的魅力，這不僅能使學生迅速地理解磁場相關的知識點，還能進一步鞏固電場相關的定理和概念.教師運用類比法結合圖形記憶法將會發現教學效率極大的提高，教學過程中通過不斷地歸納總結，獲得教學工作中事半功倍的成就感.

通過類比法給合圖形記憶法，在本校2021級通信專業的教學中，筆者明顯感覺到這屆學生比往屆學生的學習態度和積極性都有很大改變.往屆學生基本為了應對考試而被動學習，而這屆學生開始會在課堂主動提問，課后也會到圖書館查閱相關資料幫助自己對知識的理解，曠課現象減少很多，作業抄襲現象也明顯降低到5%左右，平時的平均成績從68分左右提高到88分，及格通過率已提升到82%，充分說明了類比法結合圖形記憶法在教學中的關鍵作用.