費馬原理之巧思應用

張思宇

(東北師范大學物理學院 吉林 長春 130024；山西大學附屬中學 山西 太原 030006 )

王偉

(東北師范大學物理學院 吉林 長春 130024)

物理教學以培養學生物理學科核心素養為重，物理學認識路徑是物理學科本質的集中體現，隨著研究的深入，需進一步加深認識路徑由簡單到復雜的思維層級，為學生物理學科能力發展提供可視化依據.加深理解和掌握認識路徑，離不開在真實情境中解決具體問題的過程[1].

費馬原理，在中學、大學階段都有學習，本文將費馬原理應用于中學物理，求解所需時間最短路徑等實際問題.到大學階段，為進一步加深理解費馬原理，運用其推導出厚透鏡、柱形透鏡物像方程，并通過居家實驗探究其成像規律，以助于培養學生的科學探究能力.

1 理論基礎

費馬原理可以表述為：光在空間中從一點傳播到另一點，實際的光程總是一個極值.也就是說，光傳播的實際路徑，其光程為極小值、極大值或恒定值[2].在一般情況下，實際光程大多數是取極小值，但光程為極大值及恒定值的情況也存在.

2 應用費馬原理巧解最短時間問題

在求解中學物理問題時，遇到求解勻速運動的最短時間路徑題，可以將運動路徑與光的傳播路徑類比，根據求解問題的類型，選擇使用折射定律或者反射定律的結論，去進行求解[3]，這樣可以避免使用導數求解，從而使問題簡化.求解這類問題可以應用費馬原理，將物體運動的速度看作光在不同介質中的速度，物體運動的路徑看作光的傳播路徑.

以一具體實例來論證.如圖1所示.當海里有人溺水時，岸上的人要進行施救，人在陸地中的速度為vr，在海里的速度為vs，施救者到海岸線的垂直距離為d1，溺水者到海岸線的垂直距離為d2，兩者與海岸線垂足之間的距離為h，那沿著怎樣的路徑人可以最快到達溺水者位置進行施救？

解：運用費馬原理求解，施救者路徑即為光的傳播路徑，從施救者到達溺水者的位置，看作光從一種介質到另一種介質，發生了折射，滿足光的折射定律

n1sinθ1=n2sinθ2

(1)

vssinθ1=vrsinθ2

(2)

(3)

求解式(3)，得到x的值，從而求得最優路徑.依據費馬原理可得，在一般情況下，光會沿著所需時間最短的路徑傳播，求得最優路徑，即求解所需時間最短的路徑為光的實際傳播路徑[4].

圖1 最短時間問題示意圖

3 柱形透鏡

費馬原理的思想貫穿在整個物理學習過程中.在大學學習階段，隨著幾何光學學習的深入，對于一些復雜的光學元件大多采用逐次成像法得到其物像方程[2]，對費馬原理的應用開始減少.本文直接運用費馬原理，采用極限思想，推導出主軸外物點，在非近軸光線條件下厚透鏡物像方程.從本質上解釋近軸近似的原因，并具體應用到實踐中.

新搬來的那個女人很漂亮，約莫二十歲出頭，高挑的個頭，瓷白的皮膚。每天傍晚的時候，她都喜歡穿著一條曵地的白色紗裙，像例行公事似的在院子里打理一小會兒花草，然后就回到那間亮著橙黃色燈光的屋子里彈鋼琴。女人喜歡彈奏貝多芬的《致愛麗絲》和法國保羅·賽內維爾和奧立佛·圖森共同譜寫的那首《秋日思語》。一般情況下，女人在彈奏曲子的時候，我都會關掉燈，放下手里的事情，和大黑貓一起默不作聲地佇立在窗前往對面的屋子里打量。

3.1 厚透鏡物像方程

光線經厚透鏡折射光路如圖2所示.

圖2 (主軸外物點)厚透鏡折射光路圖

由P點發出的光線經厚透鏡兩次折射后成像于P′點，圖中P″點為光線經過第一個面折射后的中間像，其中AP″=L，厚透鏡第一個折射面的曲率半徑為R1，第二個折射面的曲率半徑為-R2，則光程為

ΔPABP′=n1L1+nL-nL3+n2L2

(4)

改變入射光線，H1,H2隨之而變.由費馬原理可知，光程應為極值或恒定值，采用極限思想，將光程對H1,H2求導均為零

(5)

(6)

由于H1是變量，等式成立條件為兩邊系數均為零，可得式(7)，同理,光程對H2求導，可得式(8)，推導得到主軸外物點、在非近軸光線條件下厚透鏡物像方程式(7)、(8)

(7)

(8)

在近軸近似條件下，H1,H2,y,-y′,δ1,δ2均為小量，進一步可得出近軸光線條件下厚透鏡物像方程式(9)、(10)

(9)

(10)

本文通過推導過程說明近軸近似的原因，推導過程簡單明了，沒有使用太多的數學技巧，適合剛進入大學的學生學習[5～7].

3.2 柱形透鏡物像方程

隨著研究的深入，需進一步加深認識路徑由簡單到復雜的思維層級，在真實情境中解決具體問題.本節應用費馬原理，進一步深入研究柱形透鏡物像方程，并通過實驗探究其成像規律，為學生物理學科能力發展提供可視化依據[1].

如圖3所示，柱形透鏡在豎直面內為一個矩形，光線通過并不會產生偏折，在水平面內的截面為一個圓形透鏡，可看作為一個特殊的厚透鏡[8]，厚透鏡的厚度為t=2R.

圖3 柱形透鏡俯視及正視圖

R1=R為厚透鏡第一個折射面的曲率半徑，R2=-R為第二個折射面的曲率半徑，將其代入式(9) 和 (10) ，可得在近軸近似條件下，柱形透鏡水平面內物像方程

(11)

當光線平行入射(或出射)，即s→-∞,s′→∞時，可分別得出像方(或物方)焦距

(12)

(13)

將柱形透鏡放置在空氣中，即n1=n2=1時

(14)

近似簡化令物點到厚透鏡前表面的距離為物距，厚透鏡后表面到像點的距離為像距，所以式(14) 得出的焦距為像點到柱形透鏡后表面的距離.

4 居家實驗探究

通過居家實驗探究柱形透鏡成像規律.

實驗器材：柱形塑料杯(直徑6.2 cm，高度14.0 cm)，溶液(水、飽和食鹽水)，帶有左右部分反寫的“光學”字樣紙板.

注意：將紙板上的圖案、柱形水杯的幾何中心，及觀察者視線位于同一直線上，并且盡量使圖案小一點(盡量滿足近軸物在近軸光線條件).

如圖4和圖5所示，通過裝滿溶液的圓柱形杯，去觀察紙片上的文字；改變紙片與柱形水杯的距離，觀察各種成像特點，從而得到圓柱形透鏡的成像規律，并與理論值對比.在玻璃杯中注入水或飽和食鹽水，使液體高度超過圖案即可；通過觀察可以發現，像在水平面內發生變化，左右顛倒，圖案變寬，而在豎直平面內沒有發生變化[9].

圖4 加水前的成像

圖5 加水后的成像

由式(14)可得裝滿水的柱形透鏡(水的折射率為1.33)，其焦距為f=3.10 cm；裝滿飽和食鹽水的柱形透鏡(鹽水折射率在1.38左右)，其焦距為2.53 cm左右；改變紙片到柱形玻璃杯壁距離，觀察到的成像情況如表1所示.

表1 柱形透鏡成像規律

續表1

通過實驗與計算得到的理論值進行對比，對于不同位置的成像特點與理論所對應的范圍一致，但對于成像位置有較大的誤差(在實驗中為了減小誤差運用了杯壁較薄的塑料杯)、像差等原因導致很難選出最優的圖像，所以得到的物距與理論值差距較大.

5 結束語

通過對物理規律的學習，運用科學探究的方法去研究問題，并將其具體應用到實際生活中，有助于促進學生科學探究能力的發展.

費馬原理作為幾何光學的基本理論，不論對中學生還是大學生，對理解幾何光學的物理本質有著非常重要的作用.本文旨在從本質上進一步探討和說明，費馬原理在幾何光學學習中的重要性，將其應用到厚透鏡物像方程的理論推導，并在居家實驗中親自研究驗證，以助于學生更深刻地理解其思想，為后續學習打下扎實的基礎.