雙端事件觸發機制下離散不確定Markov跳變系統動態輸出反饋H∞控制

李艷輝 張國旭

（東北石油大學a.環渤海能源研究院；b.電氣信息工程學院）

Markov跳變系統是一類特殊的隨機系統，可以利用Markov鏈實現不同模態之間的轉換［1］。 近年來，網絡化Markov跳變系統的研究受到極大關注［2，3］。 在網絡系統研究中，時間觸發的數據傳輸方式容易造成數據擁堵、資源冗余等現象［4］。針對這類問題，采用事件觸發機制，僅讓滿足事件觸發條件的數據通過網絡傳輸，有效緩解了網絡數據傳輸壓力，并取得了一些成果［5，6］。文獻［5］提出一種事件觸發的自適應差分調制方法。 PENG C和YANG T C提出一種事件觸發通信機制和采樣狀態誤差依賴模型［6］。值得注意的是，傳統事件觸發機制未考慮控制器到執行器的數據傳輸問題。因此，研究雙端事件觸發機制顯得尤為重要。 在連續系統中，雙端事件觸發機制已有相關報道［7］。 然而雙端事件觸發機制下的離散系統控制問題同樣具有學術研究價值。 另一方面，在網絡化控制系統研究過程中，系統狀態往往無法直接獲得，這時采用輸出反饋控制器可以保證系統的穩定，并且動態輸出反饋控制器具有更好的性質和控制效果［8］。

筆者采用線性矩陣不等式和奇異值分解法針對不確定離散Markov跳變系統，在雙端事件觸發機制下研究了一類動態輸出反饋H∞控制問題，并成功得到動態輸出反饋控制器參數矩陣，保證了閉環控制系統雙模態跳變情況下隨機穩定且滿足H∞性能指標。

1 問題描述

離散不確定Markov跳變模型為被控對象，有：

馬爾可夫模態跳變概率πji為：

其中，x^（k）∈Rn為控制器狀態向量；y^（k）∈Rp為控制器輸入向量；u（k）為控制器輸出向量；Acj，Bcj和Ccj是待求控制參數矩陣。

雙端事件觸發機制下網絡化系統結構如圖1所示。

圖1 雙端事件觸發網絡化控制系統結構

事件觸發條件如下：

應用增廣矩陣的思想，聯立式（1）～（7）得到的閉環控制系統如下：

筆者的目標是設計出式（4）所示且滿足下述條件的動態輸出反饋控制器：

a. 當外部擾動信號ω（k）=0時，閉環控制系統（8）是隨機穩定的；

b. 在零初始條件下，對于任意的非零干擾ω（k）∈L2［0，∞），閉環控制系統（8）滿足H∞控制性能γ（γ＞0），即E{‖z（k）‖2}＜γ2‖ω（k）‖2。

引理1［9］假設D、S和F是具有適當維數的矩陣，F（k）滿足FT（k）F（k）≤I，則對于任意參數β＞0使得：

注1 雙端事件觸發機制用來減緩網絡傳輸數據壓力。 只有滿足觸發條件（5）、（6）的輸出數據y（k）和控制信號u（k）才能進行網絡傳輸。

注2 閉環控制系統（8）的建立考慮雙端事件觸發條件，使得系統控制狀態隨著事件觸發機制的發生而變化，也是在減少網絡資源占用的同時保證系統良好控制效果的關鍵。

2 閉環控制系統H∞性能分析

下面定理將給出閉環控制系統隨機穩定且滿足H∞性能指標的充分條件，為之后動態輸出反饋控制器參數的求解提供基礎。

定理1 給定事件觸發閾值ε1、ε2和正標量γ，如果存在對稱矩陣Pj＞0和變量β滿足下列不等式：

其中，ε1和ε2為事件觸發閾值。

應用Schur補引理可得：

根據式（9）可得Ω＜0，可知閉環控制系統（8）是隨機穩定的。

由此可知，對于所有的η2（k）≠0，ω（k）=0，可得E{ΔV（k，ξ（k））}＜0，進 而 可 得E{‖z（k）‖2}＜γ2‖ω（k）‖2，則閉環控制系統滿足H∞性能指標。

3 動態輸出反饋H∞控制器設計

則稱閉環控制系統（8）隨機穩定且滿足H∞性能指標γ。 動態輸出反饋控制器參數為：

由式（18）可知Xj和Yj為非奇異矩陣，易得：

4 仿真算例

現將通過數值模擬來證明基于雙端事件觸發機制的動態輸出反饋控制器的有效性。

取不確定相關參數L（k）=sin（0.1k），選取控制器初值x^（k）=［0.1 -0.01］T，擾動信號ω（k）=e-0.2ksin（0.3πk），事件觸發閾值分別為ε1=0.3，ε2=0.5，初始狀態x（k）=［0.1 0.01］，得到最優解γ=1.2825，求得模態1情況下動態輸出反饋控制器參

事件觸發閾值ε1和ε2和H∞性能等級γ之間的關系見表1。 可以看出，事件觸發閾值ε1一定時，H∞性能等級γ會隨著事件觸發閾值ε2的減小而減小， 同樣當ε2一定時，γ也會隨著事件觸發閾值ε1的減小而減小，相應的H∞動態輸出反饋控制效果越好，Markov模態跳變過程如圖2所示。

表1 事件觸發閾值ε和性能指標γ之間的關系

圖2 模態跳變過程

開環控制系統狀態曲線如圖3所示，可以看出系統最終發散。 閉環控制系統狀態曲線如圖4所示。 圖5是對應控制器的響應曲線，在控制器作用下系統狀態最終穩定， 表明所設計的動態輸出反饋H∞控制器有效。 雙端事件觸發機制作用時刻如圖6、7所示，可知僅需80個測量數據和51個控制數據便可以保證對系統的穩定控制，對網絡資源的占有率分別為53.3%、34.0%，相對于單端事件觸發機制明顯節省了網絡資源。

圖3 開環控制系統響應曲線

圖4 閉環控制系統響應曲線

圖5 控制器響應曲線

圖6 測量數據傳輸時刻和傳輸間隔

圖7 控制數據傳輸時刻和傳輸間隔

5 結束語

針對離散不確定Markov跳變系統，在雙端事件觸發機制下給出了一種動態輸出反饋H∞控制器設計方案。 采用奇異值分解法和線性不等式技術求取出動態輸出反饋控制器參數，在系統具有雙模態跳變情況下，利用雙端事件觸發機制對傳輸數據進行篩選，進一步節約網絡資源。 提出的H∞控制方法為飛行器控制和化工生產過程等領域的應用提供理論參考。