潮汐客流下地鐵列車不成對運行圖優化模型

李縱然，柏 赟，陳 垚，明先俊，曹耘文

（1.北京交通大學 交通運輸學院，北京 100044；2.北京交通大學 綜合交通運輸大數據應用技術交通運輸行業重點實驗室，北京 100044；3.珠海市規劃設計研究院，廣東 珠海 519000；4.上海申通地鐵集團有限公司 上海軌道交通運營管理中心，上海 200070）

近年來，大城市的空間與人口高速膨脹，功能分化明顯，常見的“職住分離”現象使銜接郊區和市區的地鐵線路具有明顯的潮汐客流特征。早高峰時段進城方向客流量巨大（主客流方向），出城方向客流量較小（非主客流方向）；晚高峰則反之。早晚高峰時段線路雙方向客流分布不均衡。既有的地鐵列車成對運輸組織模式下，雙方向開行列數相等，面向潮汐客流時可能出現如下問題：主客流方向客流需求大于運能，導致大量乘客留乘，增加乘客出行成本；非主客流方向客流需求遠小于運能，存在運能浪費，增加企業運營成本。

不成對運輸組織指通過減少非主客流方向的開行列數、增大主客流方向的開行列數，來調整線路雙方向的運能分布。目前地鐵線路大多采用雙車場的布設形式［1］，在新線規劃設計中，“一段一場”的設計形式開始成為一大趨勢。雙車場布設使行車組織更為靈活，為列車不成對運輸組織提供了條件。因此，有必要探索不成對運輸組織模式，挖掘并合理調配運能，適應潮汐客流需求。梁強升［2-3］提出在高峰期加開單向車實現不均衡運輸組織。楊錦明［4］提出早晚“交替發車”的不成對行車方案，即在早高峰時段主客流方向增開少量單向車，運行至終點站后下線，待晚高峰時段再上線反向運行。陳福貴［5］針對潮汐客流現象，提出早晚高峰時段在大客流方向的中部區段單向加車小交路的方案，緩解過飽和客流壓力并節約運營成本。但既有研究大多為運營者的經驗總結，缺乏普適性的不成對運行圖編制模型，且由于車底數量限制只能單向加開或縮減少量列車，不適用于客流方向不均衡系數較大的地鐵線路。

不成對運輸計劃下，線路雙方向開行數量的不均衡使車底接續更為復雜，因此編制不成對運行圖還要同時考慮車底運用計劃。時刻表與車底協同優化方面已有大量研究。文獻［6-7］均針對動態客流需求下的城市軌道交通時刻表與車底運用計劃進行綜合優化，前者基于時空網絡理論構建了雙層規劃模型，后者構建了多目標一體化優化模型。文獻［8］以車底總空駛距離和時間最小為目標，構建了車底空駛出場路徑與時刻表綜合優化模型。文獻［9］以乘車公平性為原則，針對過飽和需求線路，綜合優化列車的停站方案、時刻表及車底周轉計劃。文獻［10］針對客流的時空分布不均衡性，基于列車靈活編組模式構建了時刻表與車底運用計劃的混合整數線性規劃模型。不成對運輸組織下的車底運用計劃研究相對較少。文獻［11-13］建立了站站停模式下的列車時刻表和車底運用綜合優化模型，求解了高峰時段不成對運行圖。文獻［14］針對客流斷面及方向的不均衡性，從節能角度出發，提出一種結合大小交路和放空車的運行圖優化模型。在車底數量有限的條件約束下，所得方案的雙方向開行數量差異不大，這是由于非主客流方向開行列數較少且車底周轉時間較長時，大量車底無法及時周轉回到主客流方向，會使主客流方向運能緊張。

為提高非主客流方向車底周轉效率，可結合快慢車運營模式，開行部分車站不停車的快車，從而縮短車底周轉時間，盡快實現雙方向車底接續，確保后續時段主客流方向有車底可用。既有關于快慢車的研究［15-18］均指出，開行一定數量的快車可大幅減少乘客的旅行時間，對長距離出行需求的乘客更有利。

本文針對具有潮汐客流特征的地鐵雙車場線路，提出1種結合單向車、快慢車運營模式的不成對運輸組織方案。在主客流方向開行部分單向車以降低運營成本，非主客流方向開行停站方案不同的部分快車以加速車底周轉。在此基礎上，構建考慮車底運用計劃的不成對運行圖優化模型，設計定制的改進遺傳算法進行求解。

1 問題描述

選取1 條連接市區與郊區的地鐵線路，線路上車站數為K，線路2 端各配屬1 個車場。為研究需要，將實際車站根據上下行方向視為2 個物理車站［19］。以該線路的早高峰時段為研究對象，假設上行為進城的主客流方向，車站從K+1 到2K依次編號；下行為出城的非主客流方向，車站從1到K依次編號。該線路不成對方案下的行車過程如圖1所示。圖中：j和j'分別為主客流方向、非主客流方向的列車序號。

圖1 不成對方案下的行車組織

主客流方向采取高密度的發車頻率，均為站站停慢車。非主客流方向采取低密度的發車頻率，開行站站停慢車（如列車j'-1）以及部分大站快車（如列車j'和j'-2），快車通過跳站來加速車底周轉，實現雙方向車底的循環接續。為進一步節約運營成本，主客流方向開行部分由郊區車場始發的單向車，如列車j完成上行車次任務后下線，停放于市區車場，該車底晚高峰時段重新上線反向承擔下行車次任務，最終回到郊區車場。結合單向車、快慢車模式的不成對運行圖如圖2所示。

圖2 結合單向車、快慢車模式的不成對運行圖

對于實際運營的地鐵線路，列車的停站時間、區間運行時間已經確定，因此慢車根據列車首站發車時刻即可確定列車在沿途各站的到發時刻［19］。大站快車還需綜合優化停靠站點，基于各站客流需求及實際運營情況給定快車的若干停站備選方案，當非主客流方向快車的首站發車時刻及停站方式確定后，即可生成各站的到發時刻。

乘客出行需求是制定列車運行計劃的基礎。潮汐客流需求一般出現在早晚高峰時段，故研究時段內的OD 出行需求可看作全日時變出行需求中的1個峰值［20］。潮汐客流需求下，高峰時段線路雙方向客流量分布不均衡，故主客流方向乘客到達率顯著高于非主客流方向。在給定不均衡客流到達率的基礎上，考慮列車容量限制、先到先服務原則等，可對乘客的上下車行為進行微觀刻畫［21-22］，從而精確計算不同OD乘客的總旅行時間。

乘客重視地鐵的出行時效性，不成對運行圖編制時應盡量減少乘客的總旅行時間。開行的列車越多，對于乘客而言候車時間越短，但對于企業而言運營成本越高。因此基于方向不均衡客流需求，如何在既有車底數量限制下，盡可能多地分配主客流方向開行列數，減少非主客流方向開行數量，是不成對運行圖編制的關鍵。

2 考慮車底周轉的不成對運行圖優化模型

以線路運營數據、OD 客流需求等作為輸入，考慮行車安全、列車容量、上線車底數量等約束，通過調整線路雙方向的開行列數、非主客流方向快車的停靠站點以及各列車的首站發車時刻，達到乘客總出行成本以及列車運營成本的最小化。

2.1 基本假設

（1）研究時段內的首、末時刻均發車。

（2）區間運行時間、停站時間以及啟停車附加時間均為定值。

（3）僅在非主客流方向組織大站快車，且不考慮快慢車越行。

（4）車底采用不固定車場運行模式［7］，且按就近原則進行接續。

（5）乘客均選擇乘坐直達列車，且遵循先到先服務原則［23］。

（6）乘客不產生二次滯留。

2.2 參數及變量定義

1）參數

［0，T］為研究時段；N為列車定員；J為研究時段內開行的列車集合；S為車站集合，s，k均為車站序號；ρ為表示客流方向的變量，取1 為主客流方向，取2 為非主客流方向；Jρ為研究時段內ρ方向開行的列車集合；Sρ為ρ方向的車站集合；J*為非主客流方向快車的集合；L為快車的停站方案備選集合，l為停站方案序號；為0-1 變量，若第l種停站方式下列車在s站停車，則取值為1，否則取值為0；為列車在s站的停站時間；τA為列車的啟停附加時間；為區間［s，s+1］的純運行時間；分別為ρ方向終點站的最大、最小折返接續時間；mρ為ρ方向車場的可運用車底數量；λsk為s站—k站OD 對的乘客到達率；Imax和Imin分別為最大、最小發車間隔時間；Idt，Ida和Ita分別為發通、發到、通到間隔時間；μw和μv分別為乘客的等待、在車的單位時間成本；ck為列車的單位開行成本；cr和co為車底的折返、出入段的單位成本；CQ為乘客總出行成本；CV為列車運營成本。

2）中間變量

3）決策變量

nρ為ρ方向的開行列數；ζ為非主客流方向快慢車開行比例（快車∶慢車為1∶ζ）；為列車j的首站發車時刻；為0-1 決策變量，若快車j選擇第l種停站方式則取值為1，否則取值為0。

2.3 目標函數

優化目標為乘客總出行成本和列車運營成本最小，即

乘客總出行成本為單位時間成本與乘客總旅行時間的乘積，乘客總旅行時間又由乘客候車時間和乘客在車時間組成，見式（2）。其中：不成對運輸組織下的乘客候車時間分方向計算，包括到站乘客及滯留乘客的候車時間；乘客在車時間根據在車乘客數量、區間運行時間和停站時間進行計算。

其中，

列車運營成本包括列車的開行成本以及車底周轉的附加成本，見式（3）。其中：列車開行成本為單位開行成本與雙方向開行列數的乘積；車底周轉的附加成本包括折返成本以及出入段附加成本，分別為單位折返、出入段成本與相應的折返、出入段作業次數的乘積。

2.4 約束條件

模型的約束條件包括運行圖、客流以及車底周轉3個方面。

2.4.1 運行圖相關約束

為確保運能滿足需求，研究時段首、末時刻應均有1 趟列車發出，即式（4）和式（5）；且上下行方向列車的總開行數量為列車集合中的元素個數，即式（6）。

主客流方向均衡發車，各列車在始發站的發車時刻滿足式（7）；非主客流方向開行停站方式不同的快車，列車的發車間隔不均衡。總的來說，雙方向的發車間隔均需滿足法定最大最小追蹤間隔時間約束，即式（8）和式（9）。

列車的出發、到達時刻由區間純運行時間、停站時間以及啟停車附加時間決定［24］，出發時刻、到達時刻分別為

主客流方向全部開行站站停列車，因此僅需滿足發到間隔時間約束，即

非主客流方向開行快慢車，列車在各站有到達、通過、出發3種狀態，因此相鄰列車的到發時刻需分別滿足發通、發到、通到間隔時間約束，即

主客流方向均為站站停慢車，慢車在各站均會停靠，即

非主客流方向快車的停靠方式是從停站方式備選集中選取的，因此構建快車停靠站點約束為

非主客流方向快車與慢車的開行數量遵循1∶ζ的比例關系，即

式中：M為1個任意的正整數。

2.4.2 客流相關約束

為了確保運能與客流需求相匹配，根據OD 乘客到達率及時刻表可對各類乘客數進行推算［24-25］，得到相鄰列車發車間隔內的到站乘客數為

乘客因出行便利性只選擇乘坐直達列車，得到到站乘客中的候車乘客數為

乘客不產生二次滯留，所有滯留乘客全部會乘坐下一列車，即

上車乘客數由列車的當前剩余能力、候車乘客數共同決定，其中候車乘客數包括上一列車的滯留乘客數以及發車間隔時間內的到站乘客。根據列車剩余能力與候車乘客數間的大小關系，可劃分2 種情況，即

先到先服務原則下，如果列車剩余能力不足以容納站臺候車乘客數，那么應首先滿足滯留乘客，并更新列車剩余能力，再根據更新后的列車剩余容量與候車乘客數的比值來劃分各類到站OD 的上車人數；如果列車剩余能力足夠大，那么可同時滿足候車乘客與滯留乘客的所有乘車需求，即

由s站出發前往k站的過程中，列車j離開s站時的在車乘客數和到達k站時的下車乘客數分別為

完成一系列上下車行為后，列車j在s站的剩余能力為

此時到站乘客中的滯留乘客數為

研究時段內，需確保各站的到站乘客最終都能乘坐列車，即總上車乘客數要等于研究時段內總到達乘客數，上下行方向分別約束，即

2.4.3 車底周轉約束

考慮上、下行方向的各列車在起終點站的到發時刻是否滿足最大、最小接續時間，若滿足，車底可直接進行折返接續；若不滿足，需要從距離最近的車場上線新車底。因此，主客流方向起點站（K+1 站）和終點站（2K站）的車底折返時間約束分別為

非主客流方向起點站（1站）和終點站（K站）的車底折返時間約束分別為

從運營角度出發，需確保上線車底數不大于各車場的可運用車底數量，2個車場分別約束，即

3 求解算法

上文建立的模型為混合整數非線性規劃模型，且問題求解規模較大，難以采用精確算法進行求解。遺傳算法利于全局擇優，具有快速收斂、魯棒性高等優點［26］，因此考慮設計定制的改進遺傳算法。

為使不成對運行圖滿足上線車底數約束，在遺傳算法中嵌入雙層循環規則。先在時刻表模塊利用設計的遺傳算子，啟發式求解出1 個不成對時刻表；再將其輸入車底周轉模塊，求解該不成對時刻表下的車底周轉計劃，判斷是否滿足上線車底約束，若不滿足，返回時刻表模塊重新求解。通過不斷地迭代循環，最終在可接受的時間范圍內求得1個較優解。算法具體步驟如下。

步驟1：先算法初始化，輸入線路信息、列車參數、OD 乘客到達率、區間運行及停站時間等已知時刻表信息、算法參數等；再根據法定最大發車間隔及OD 客流需求推算的最大斷面客流量，給出雙方向開行列車數范圍［nρ，min，nρ，max］，生成所有的開行方案組合，轉步驟2。

步驟2：選取1 種開行方案組合，估算雙方向均衡發車模式下所需的上線車底數量，判斷是否符合總運用車底約束，若不滿足，則重新選取其他開行方案組合進行判斷，直至滿足約束條件；基于快慢車開行比例1∶ζ，依據式（15）采用二進制編碼生成所有快車的停站方案組合，計算各組合下的快慢車在始發站的最大發車間隔Ij，max和最小發車間隔Ij，min，轉步驟3。

步驟3：基于1 種停站方案組合選取快車停站方案，主客流方向依據式（7）生成始發時刻，非主客流方向隨機生成［0，1］之間的發車間隔概率σj，計算出各相鄰列車在首站的發車間隔時間Ij=σj(Ij，max-Ij，min)+Ij，min，并推算各列車在中間站的到發時刻，生成不成對初始時刻表，判斷是否滿足各類追蹤間隔時間約束，若不滿足，則繼續選取快車停車方案，直至不成對初始時刻表滿足所有追蹤間隔時間約束，轉步驟4。

步驟4：基于不成對初始時刻表，依據就近接續原則得出雙方向車底接續關系，判斷上線車底數量是否滿足約束式（32）和式（33），若不滿足，轉步驟3；若滿足，添加到初始種群，直至完成對所有停站方案的選取判斷后，轉步驟5。

步驟5：遺傳算法更新初始種群，設計選擇、交叉、變異算子，依據實數編碼的發車間隔概率σj構造變異算子，選取［Ij，min，Ij，max］中的1 個隨機概率對染色體基因進行變異；根據式（17）—式（25）推算各類乘客數，依據式（1）—式（3）計算適應度函數，記錄當前代最優解，判斷是否滿足迭代終止條件，若不滿足，則繼續更新初始種群并計算，直至當前代最優解滿足迭代終止條件，轉步驟6。

步驟6：找出最優個體適應度值，記錄當前開行方案下的最優停站方案及不成對時刻表，判斷是否選取完所有開行方案組合，若不滿足，轉步驟2；若滿足，轉步驟7。

步驟7：對比各開行方案組合下的最優值，輸出最優不成對時刻表，計算結束。

4 案例分析

以某條城市軌道交通線路為例，該線路全長58.96 km，共有車站13 個。擔當列車的定員為930 人。車場1 和車場2 的可運用車底數量分別為16 和24 列。快車有2 種停站方案選擇［15，27］，相應的停站方案備選集合分別為{1，3，7，9，13 }和{1，2，3，7，9，12，13 }。區間純運行時間、停站時間及快車停靠站點如圖3所示。

根據圖3，該線路上研究時段內各站OD 客流到達速率見表1。表中：以色階形式直觀展示數值大小，顏色越接近紅色，表示OD 乘客到達速率越高，客流量越大。計算可知：主客流方向最大斷面客流為17 622 人·h-1，非主客流方向最大斷面客流為3 513 人·h-1；早高峰時段方向不均衡系數高達1.67，潮汐客流特征顯著。其他參數及取值見表2。

圖3 線路站點及各項作業時間

表1 研究時段內的OD乘客到達速率 人·s-1

表2 其他參數及取值

4.1 模型有效性及優化效果

考慮到啟發式算法求解的隨機性，進行多次迭代后，在可接受的時間范圍內求得1個較優解。圖4 為算法迭代收斂圖，定制的改進遺傳算法在迭代100 次后趨于收斂，求解時間在30 min 以內。求解出高峰時段不成對運行圖如圖5所示，得到主客流方向、非主客流方向的列車開行數量分別為21 列和12列，快、慢車開行比例為1∶2，高峰時段上線車底數量共32趟。

圖4 算法收斂過程

圖5 高峰時段列車不成對運行圖

將本文得到的不成對方案與成對方案進行對比，結果見表3。表中：括號內數字為計算得到不成對方案的優化率。由表3可知：不成對方案的主客流方向通過增大開行數量來滿足大客流需求，使線路平均滿載率降低了1%，乘客服務水平提高；非主客流方向開行列數由20 列減少至12列，乘客總等待時間雖有所增加，但列車運營成本減少17.8%，說明開行數量的減少，極大地提高了企業運營效益；非主客流方向快慢車的開行，也使得乘客在車時間減少8.7%，乘客總出行成本減少7.1%，且高峰小時上線車底數減少6列，說明開行部分快車大幅減少乘客在車時間，加速車底周轉的同時也減少了部分長距離出行的乘客時間成本。總的來說，本文提出的結合單向車、快慢車的不成對方案具明顯優于成對方案。

表3 不成對運行圖與成對運行圖的指標統計

4.2 與均衡發車不成對方案的效果對比

為驗證非主客流方向快車開行的必要性，對比得到的快慢車不成對方案與雙方向均為站站停慢車且均衡發車的不成對方案（站站停不成對），結果見表4。由表4 可知：快慢車不成對方案在非主客流方向開行部分快車，由于非均衡發車導致乘客等待時間延長；站站停不成對方案下，列車發車間隔較小且分布均衡，乘客總等待時間較小。但開行快車有其必要性，一方面快車可通過跳站大幅減少乘客在車時間（7.8%），縮短乘客總旅行時間（6.9%），降低乘客總出行成本（6.7%），另一方面快車加速了非主客流方向車底的周轉，更有利于雙方向車底接續，從而減少上線車底數。綜上，本文不成對方案在加速車底周轉的同時，減少了乘客總出行時間，有助于實現更大程度的不成對運輸組織。

表4 站站停與快慢車模式下不成對運行圖的指標統計

4.3 靈敏度分析

1）方向不均衡系數

線路方向不均衡系數直接影響不成對方案雙方向的開行列數，從而影響上線車底數，對不成對方案實施的必要性起決定性作用。以0.04 為步長，取方向不均衡系數分別為1.43，1.47，1.51，…，1.71，分別得出不成對方案與成對方案的雙方向總列數、乘客出行時間和目標函數，并計算不成對方案下各指標的優化率，結果如圖6所示。

圖6 不同方向不均衡系數下的不成對方案各項指標

由圖6 可知：隨著線路方向不均衡系數的增大，總目標函數優化率由-0.8%提高到18.3%，乘客出行時間的優化率由-7.0%提高到15.5%，說明不成對運輸組織模式適用于客流方向不均衡系數較大的地鐵線路；當方向不均衡系數小于1.47時，不成對方案的優化效果不佳，即當該線路高峰時段方向不均衡系數不小于1.47時，可以啟動不成對方案。由于不成對方案還會受到高峰時段長度、運用車數量等因素影響，因此不同線路不同高峰時段啟動不成對方案的方向不均衡系數臨界值可能有所不同。

2）高峰時段時間長度

高峰時段時間長度是決定不成對方案可實施性的重要因素之一。若高峰時段時間長度過長，導致雙方向車底不能及時周轉，會使不成對方案無法實施。以0.5 h 為步長，分別取高峰時段為1.0，1.5，2.0 和2.5 h，分別得出不成對方案與成對方案的各項指標，并計算不成對方案下各指標的優化率，結果如圖7所示。

圖7 不同高峰時段下的不成對方案各項指標

由圖7 可知：隨著高峰時段時間長度由1 h 延長至2 h，不成對方案的優化效果在逐步減小；在2 h 高峰時段不能求解出1 個兼顧上線車底數、快慢車行車間隔約束的不成對方案。因為不成對運輸組織下的雙方向上線車底數量不均衡，若高峰時段過長，導致部分車底不能及時周轉回到主客流方向形成高峰運力，造成主客流方向部分列車無車底接續。由此可見：不成對運輸組織模式適用于高峰運營時段較短的地鐵線路。在實際運營過程中，需根據高峰時段長度來判斷是否有必要實施不成對方案。

3）快慢車開行比例

快慢車開行比例直接影響非主客流方向的開行列數，進而影響雙方向車底接續以及上線車底數量。將快車：慢車的比例分別設置為0∶1（全慢車），1∶1，1∶2 和1∶3 共4 種。分別得出不成對方案與成對方案的各項指標，并計算不成對方案下各指標的優化率，結果如圖8所示。

圖8 不同快慢車開行比例下的不成對方案各項指標

由圖8 可知：隨著慢車開行比例的增大，非主客流方向的開行數量增加，列車運營成本增大，而乘客出行時間隨之減少；當開行比例增大為1∶3時，列車運營成本保持不變，乘客出行成本反而增大。這是由于快慢車追蹤間隔的限制，無法進一步增加非主客流方向列車數，而發車間隔更加不均衡，導致乘客服務水平下降。在滿足列車開行條件下，通過適當提高非主客流方向慢車開行比例的形式來增大開行列數，可以提高乘客服務水平，更好地實現不成對運輸組織。

5 結語

本文研究能夠適應潮汐客流的方向不均衡特征的地鐵列車不成對運輸組織模式。為增大主客流方向運能同時減少非主客流方向運能浪費，提出了主客流方向開行部分單向車、非主客流方向開行部分快車的不成對運輸組織模式。以乘客總出行成本和列車運營成本最小化為目標，構建了考慮車底運用計劃的不成對運行圖優化模型，設計了定制的改進遺傳算法進行求解。案例表明：相比于成對方案，本文不成對方案使乘客總出行成本降低7.1%，列車運營成本節省17.8%，高峰時段上線車底減少6列，證明了不成對方案對乘客服務水平和企業運營效益都有一定的優化效果；相比于站站停不成對方案，本文不成對方案使得乘客出行及列車運營綜合成本降低4.2%，高峰時段上線車底減少1列，證明了結合單向車、快慢車的不成對運輸計劃加速了車底的周轉，更有利于實現不成對運輸組織；對方向不均衡系數、高峰時段長度以及快慢車開行比例進行的靈敏度分析，證實不成對運輸組織模式適用于客流方向不均衡系數較大、高峰運營時段較短的地鐵線路。