助力探究 揭示本質
——“用二分法求方程的近似解”教學實錄與反思

張國良 (江蘇省武進高級中學 213149)

1 基本情況

1.1 授課對象

高一學生已初步理解了函數圖象與方程解之間的關系，具備用數形結合解決數學問題的能力，這為理解函數零點附近的函數值符號提供了知識儲備．雖然學生熟悉一元二次方程解與函數零點的關系，但對于一元高次方程、超越方程與對應函數零點之間的聯系還比較模糊．另外，學生對計算器的使用不夠熟練，這些都給學生學習本節內容造成一定困難．

1.2 教材分析

本節課是《普通高中教科書·數學》(蘇教版)必修第一冊第8章“8.1二分法求方程近似解”第2課時，要求學生能夠借助計算器或計算機用二分法求方程的近似解，從中體會函數與方程之間的聯系．用二分法求方程的近似解既是本冊書中的內容，又是對函數知識的拓展，既體現了函數在解方程中的重要應用，同時又滲透函數與方程、數形結合、轉化與化歸的數學思想，培養學生的圖形能力、判斷能力以及利用現代信息技術解決問題的能力．

教學目標 (1)能夠借助計算器用二分法求方程的近似解，了解二分法是求方程近似解的常用方法；(2)掌握用二分法求方程近似解的操作流程，感受信息技術的優越性；(3)通過探究活動，體會數學的“逼近”思想，感受精確與近似的相對統一．

其實江大亮跑到對面的布拉格維申斯克經商做買賣并不是心血來潮，大凡在黑河市做生意的都有長期護照，時不時的跑到人家的城市里觀觀光，撒撒野，是常有的事兒，就像是家常便飯一樣。人啊，真是沒有時不好說，過去老實巴腳的江大亮，在黑河做了幾年生意后心也活泛了，到那邊看看艷舞，到賭城里過把癮，找個模特般的俄羅斯美女開開葷，江大亮也不是沒干過，更何況肖點點的表姐早在兩年前就跑到那里做生意了，江大亮在肖點點表姐的店里考察了十多天，這一考察不要緊，真就讓他動心了，那邊的生意比咱們這邊好做得多，除了房租貴一點外，什么各種收費，什么行政管理部門都比咱們這里少得多，江大亮一咬牙一跺腳就跑到布拉格維申斯克了。

教學重點 利用二分法求方程的近似解．

教學難點 二分法求方程近似解的操作流程．

2 教學過程

2.1 情境體驗，感受思想

讓學生展示自己的解決策略，師生共同完成前三次的計算，組織同桌的兩位學生合作，一人計算，一人記錄，完成后面的計算過程，并展示學 生的成果．在此過程中教師借助幾何畫板顯示這個實數解的范圍逐步縮小，直觀形象地體現出二分法的思想(圖2)．通過這種活動來創造探究 機會，促進學生主動探究，并注重學生參與、探究的實效，在提出問題、建構數學、解決問題方面進行有意識的引導，培養學生的合作精神與協作能力．

行文至此，想起李長吉的《金銅仙人辭漢歌》的詩句“憶君清淚如鉛水”。“金銅仙人”的“淚”，大概正是李長吉的“那一剎那的感覺”。是什么形成的他的感覺，是“東關酸風射眸子”。這令人心酸的風，看似射向了金銅仙人，實則是射向了李長吉。這與華君武由于枯燥的發言形成的他的“那一剎那”的“蒼老”的感覺，何其相似乃耳。這是人人都會遇到的常情常態，又何獨厚于畫家詩人。可這“感覺”對常人來說，只是曇花一現，“感”過也就算了。可畫家詩人，卻能杯水生波，令人玩味不盡，換言之，亦即藝術魅力，審美愉悅。

1061 隱源性腦卒中合并卵圓孔未閉患者的臨床特點分析 姜 樂，沈紅健，沈 芳，張 萍，吳 濤，鄧本強

計算機隨機給定10～90之間的二位整數，讓學生猜這個數，對于每次猜測的結果，計算機的提示是“對了”或“大了”或“小了”(圖1)．

水牛是一種能高效利用低質粗纖維飼料的動物[1]，并由于其具有抗寄生蟲性能好、牛犢生長期短、肉質良好，乳量豐富等特點，因此水牛的養殖一直備受青睞。

2.2 師生討論，理解感悟

師：只要給出一個不超出該范圍的整數，采用正確的方法，都可以在7次以內猜中，你們是否可以做到？

師：為什么采用正確的方法，7次以內一定能猜中？

學生討論并回答．

師：上述猜數游戲中，每次猜數都將所給區間一分為二，進行比較后得到新的區間，再一分為二，進而使得所猜數逐步逼近計算機給出的數，這種思想就是二分法．

師：在游戲活動中我們也能學到很多知識，下面請同學們再舉例說明二分法的一些應用．

生：輸電線路的故障檢測等．

師：我們今天就來一起研究用二分法求方程的近似解．

師：若精確到0.1呢？算幾次就可以了？

師：前面我們已經學習了一元二次方程實數解的有關問題，如方程x2+3x-1=0有兩個不相等的實數解，那么你能知道方程x3+3x-1=0的實數解的情況嗎？近似解呢？

2.3 活動探究，課堂建構

師：請同學們對這個三次方程的實數解提出一些問題．

生1：該方程有無實數解？

黨的十九大報告指出：必須增強群眾工作本領，創新群眾工作體制機制和方式方法。邁進新時代，面對新矛盾，做好群眾工作既要繼承傳統，又要務實創新；既要適應新形勢新任務的要求，又要研究和把握新形勢下群眾工作的新特點新規律。各級黨員干部要以高度的政治責任感，在深入群眾、聯系群眾、宣傳群眾、組織群眾、服務群眾、團結群眾中，不斷提高做好群眾工作的能力水平。

生2：該方程若有實數解，有幾個？

生3：這個實數解大概是多少？

利用計算器，求方程lgx=3-x的一個近似解．(精確到0.1)

通過對比分析四種不同槳葉結構的攪拌槳在混合室內示蹤劑擴散云圖(圖2)可以發現，隨著時間的增加，示蹤劑的整體擴散趨勢相同，與流場運動規律相似，在0 s時將料液加入底部循環流范圍，在2 s、4 s時可以看出示蹤劑向混合室頂部擴散，說明混合室底部以軸向速度為主。在2 s時5葉片和6葉片攪拌槳的混合室內示蹤劑擴散范圍相比3葉片和4葉片更大，在t=6 s時5葉片和6葉片攪拌槳的混合室內NaCl已基本擴散完成，綜合四種結構的NaCl在t=4 s時的擴散云圖，得到NaCl擴散速度由快到慢依次為5葉片>6葉片>4葉片>3葉片。

生5：如何獲得方程x3+3x-1=0的近似解？

記f(x)=x3+3x-1，設方程x3+3x-1=0的實數解為x0，則x0∈(0,1)．

引導學生思考：還可以通過函數的單調性知道該方程只有一個實數解．

師：這個實數解在區間(0,1)內，能否更精確些？

……

第四次：f(0.312 5)<0,f(0.375)>0

第一次：f(0)<0,f(0.5)>0

第二次：f(0.25)<0,f(0.5)>0

第三次：f(0.25)<0,f(0.375)>0

2018年全國高考生物試題大多提供特定情境，學生通過運用科學思維，結合從題干中獲取的信息和所學知識解決問題，進一步實現對學生生物核心素養的評價考查。

第五次：f(0.312 5)<0,f(0.343 75)>0

第六次：f(0.312 5)<0,f(0.328 125)>0

第七次：f(0.320 312 5)<0,f(0.328 125)>0

警官放過吳邦雄，轉頭盯住劉雁衡，不說話，想在氣勢上壓倒對方，見劉雁衡面無懼色，只好發話：“我們接到報告，這里，就在這里！”警官的右手食指戳向地面，“有人印發共匪轉單，進行赤化宣傳。”

第八次：f(0.320 312 5)<0,f(0.324 218 75)>0

師：同學們，讓我們先做一個猜數游戲．

揭題 用二分法求方程的近似解．

師：若精確到0.01呢？

由學生討論并總結得出：欲近似到0.1，由兩個端點近似值都為0.3，則x0=0.3；欲近似到0.01，由兩個端點近似值都為0.32，則x0=0.32．

通過上述解題過程，結合幾何畫板，形象地給出一段區間，不斷地取一半，并表明每一段的兩個端點的符號．

本工程為南昌某別墅，地上3層，其中每層建筑面積為158m2，為防止地下水直接進入機組造成板式換熱器反復清洗等問題，擬采用加裝中間換熱器的地下水源熱泵系統，設置1臺水-水熱泵機組，水源側配置2口抽灌兩用井，設計井深30m，每口井內各設1臺深井泵，空調側配置1臺循環水泵，3層樓的臥室、書房以及客廳等均采用風機盤管加地板輻射采暖相結合的空調模式，夏季用風機盤管供冷，冬季可用風機盤管或地板輻射采暖。

師生討論：(1)精確度如何達到？二分的次數如何確定？有無規律？(2)使用二分法有無前提條件？(3)二分法的一般思路和操作流程是什么？

2.4 鞏固反饋，總結提煉

生4：函數y=x3+3x-1的圖象是怎么樣的？

小組合作，一人計算，一人記錄，完成后通過投影展示學生的研究成果．

通過學生思考并用自己的語言把二分法的解題過程表達出來，并展示學生的成果，讓學生共同評價和完善補充．

生：二分法求方程的近似解就是每次都取區間的中點，將區間一分為二，再經比較，按需要留下其中一個小區間的方法，其實質是不斷把函數零點所在的區間逐步縮小，使區間兩個端點逐步逼近零點，進而得到函數零點近似值．

師：大家一起來完善用二分法求方程的近似解的操作流程．

用二分法求方程的近似解的操作流程如圖3所示．

2.5 體驗交流，練習拓展

請學生談談利用二分法求方程近似解的一些體驗，并進行交流．例如：

目前民營經濟已占據山東“半壁江山”，貢獻了全省50%以上的GDP，60%以上的投資，70%以上的稅收，占市場主體90%以上。當然，山東民營經濟在發展中也面臨一些亟須解決的問題，主要是民營市場主體絕對數量仍然偏少，產業層次不高，創新能力比較弱，自主知名品牌太少等。

(1)近似計算高中階段較少遇到，用二分法求方程的近似解是數學嚴謹而科學的體現．

(2)無限逼近的思想是高中數學重要的思想方法，如我國古代數學家劉徽用割圓術計算圓周率π也正是用無限逼近的思想．

(3)操作流程是一種算法思想．算法是數學及其應用的重要組成部分，是計算科學的重要基礎，通過本堂課讓學生感受到程序化思想，體會算法思想在解決問題和培養理性思維中的意義和作用．算法思想已經成為現代人應具備的一種不可或缺的重要數學素養．

師：利用計算器，求方程10x=3-x的一個近似解．(精確到0.1)

師：結合上述方程lgx=3-x，你能得到什么結論？

借助幾何畫板作圖，幫助學生獲得y=10x與y=lgx的關于直線y=x的對稱關系，從而獲得這兩個方程的實數解的和為定值3．

·鞏固練習

下列函數圖象中，不能用二分法求函數零點的是( )．

利用以上圖象，指出對于連續函數f(x)滿足f(a)f(b)<0，則函數在(a,b)上至少有一個零點；但f(a)f(b)>0，卻不能得出函數在(a,b)上一定沒有零點．

·課后拓展

左心室起源室早的心電圖特征如下:① 胸導聯符合右束支阻滯圖形。② V1導聯主波一般向上，呈Rs或rsR型，當V1導聯為rS型時，通常滿足:r波時限/S波時限>50%，r波振幅/S波振幅>30%。胸導聯移行一般早于竇律。對于起源于主動脈瓣上的室早，心電圖V5、V6導聯呈R型，無s波。確定為左心室起源室早后，再具體定位在左冠竇(LCC)、右冠竇(RCC)或左右竇之間(R-LCC)，不同起源部位室早的心電圖特征如下，LCC:移行相對較早，V1或V1、V2導聯之間Ⅰ導聯主波向下；RCC:移行相對較晚，V2、V3導聯之間Ⅰ導聯主波向上；R-LCC:V1導聯呈QS型，下降支有頓挫，或V1導聯呈qrs型。

師：同學們有無其他方法求方程的近似解．

提示：如秦九韶法、迭代法等．

3 回顧反思

3.1 教學效果

利用信息技術與課程整合，動態圖象的演示，激發學生學習興趣、激活學生思維，掌握二分法的本質，較好地完成了教學目標．

3.2 教學反思

本節課通過猜數游戲創設情境，不僅激發了學生的學習興趣，學生也在猜數過程中初步感受二分法的思想．利用幾何畫板求方程近似解的動態效果，優勢有三：

(1)動態逼近

幾何畫板能動態展示零點所在的區間，直觀地體現“逼近”的過程，動態變化過程清晰明了，這樣有利于突破傳統教學的難點，幫助學生揭示數學本質，提高了探究活動的有效性，充分體現了信息技術與數學課程的有機整合．

利用安居客及搜房網等地產網站為樣本源，搜索到分析區域內小區樣本點的名稱、均價、地址、類型等資料，所查到的數據為2015-2016年小區的房屋均價。利用Google Earth提取四區范圍內的住宅小區、交通、醫院、教育、公園等公共設施并數字化處理。將搜集到的這些數據，運用ArcGIS的近鄰分析方法從三個方面量化影響因素數據分析計算所得的小區基本信息即為模型變量如表1所示。計算所得的這些最短距離用于地理空間數據庫的建立。

(2)形象直觀

在教師的引導下，學生也可以觀察圖形、猜測并驗證，在觀察、探索、發現的過程中增強對函數零點的感性認識，形成豐厚的經驗背景，從而更有助于理解．

(3)操作簡單

上面已經詳細地分析了已結束項目任務數據中任務經緯度數據在完成與未完成情況下的密度分布狀況。但是未將經緯度數據與定價數據結合到一起來研究，不能直觀、形象地看出其中的內在聯系。所以利用Matlab中[4]的CFTOOL曲線擬合工具箱繪制出經緯度數據與定價數據的三維曲線擬合圖。x1代表任務的維度，y1代表任務的經度，z1代表任務的定價。現在即可從三維曲線擬合圖中立體直觀地得出以下結論。

借助幾何畫板可實時作出函數圖象，一切操作都只靠工具欄和菜單實現，隱藏、顯示可以反復操作．

本節課由學生自主提出一些問題，主動探究，總結體驗探究過程，從而獲得方法，體驗到成功的樂趣．學生只有通過自主探究、創造性運用知識、合作交流才能完成相關課題，這將促進學生學習方式發生轉變，由被動接受、死記硬背、機械訓練變為自主探究、注重過程、合作交流，有利于提升學生的數學核心素養．