一道高考解析幾何題引發的頭腦風暴
——探究圓錐曲線中定點、定值之間的微妙關系*

胡蓓蓓 (江蘇省無錫市市北高級中學 214000)

今年新高考全國I卷的解析幾何大題讓人頗感熟悉，筆者在二輪復習備考中，就曾以2020年新高考全國I卷的解幾壓軸題為引，在課堂上借助思維導圖，組織了一場關于“探究圓錐曲線中定點、定值之間微妙關系”的頭腦風暴，帶領學生大膽猜想、驗證，師生共同經歷定點、定值問題的“前世今生”，從而深刻理解了這類經典問題的來龍去脈．

1 問題提出

綜觀近年的高考試卷，圓錐曲線與方程的考點變化不大，考查學生的運算能力，同時需要學生在較短時間內選擇合理的路徑，快速、準確解題．高三復習時要強化這方面能力的訓練,如果學生能夠對解析幾何的典型結論有所了解，常能快速捕捉到解題關鍵，找到解題思路，順利攻破壓軸題．

(1)求橢圓C的方程；

(2)點M,N在橢圓C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足，證明：存在定點Q，使得DQ為定值．

作為高考考場上的壓軸題，如何最完美地完成這道題目是我們平時學習過程中需要共同探尋的，而如何完美地給學生呈現這道高質量的高考壓軸題，讓他們能夠更好地理解題意，以一題通百解，則正是我們為人師者應該去思考的．

2 問題分析

引例已知A,B為拋物線y2=4x上異于頂點的兩動點，且滿足以AB為直徑的圓過頂點．求證：直線AB過定點．

師生(分析)：當直線AB的斜率不存在時，易得過定點；當直線AB的斜率存在時，設lAB:y=kx+m，要證明直線過定點，解題目標就是設法建立k和m的關系，從而尋找到條件中的唯一等量關系——垂直．(板書詳細解題過程，略)

師：接下來請同學們獨立完成2007年的山東高考解幾題——

橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1．

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點(A,B不是左右頂點)，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

師：如果我們把橢圓方程一般化，定點還存在嗎？

學生如醍醐灌頂：原來這個結論是可以一般化的．學生受到啟發，進一步思考：如果是雙曲線，是不是也有同樣的結論呢？教師首先肯定了學生的想法，繼而鼓勵他們繼續猜想．

師：同學們，類比、歸納、猜想都是我們數學學習中非常重要的思維方式，我們要學會利用已有的一些知識進行大膽猜想，這樣我們就可以獲得更多更新的知識，而這正是數學學習能力的體現．同學們如果在平時就能注意這樣去思考、解決問題，我相信大家的數學學習一定會越來越好，解決問題的能力也會越來越強！在猜想過程中，同學們可以橫向、縱向地進行比較猜想，也可以正向、逆向進行思考，還可以從特殊到一般地進行歸納猜想，等等．好了，現在就請同學們插上思考的翅膀，一起盡情地猜想吧！

3 問題推廣

猜想1 若在圓錐曲線頂點處相互垂直的兩條直線與橢圓交于A,B兩點，則直線AB必過定點．

猜想2 若圓錐曲線任意點處相互垂直的兩條直線與橢圓交于A,B兩點，則直線AB必過定點．

猜想3 在圓錐曲線任意點處作兩條直線分別交圓錐曲線于A,B兩點，若斜率之積為定值，則直線AB必過定點．

猜想4 在圓錐曲線任意點處作兩條直線分別交圓錐曲線于A,B兩點，若直線AB過定點，則兩條直線的斜率之積為定值．

……

板書(即直線過定點?斜率之積為定值)

師：恭喜同學們，你們的猜想都是正確的！剛才我們從特殊到一般進行猜想，當然也可以尋找特殊情況來驗證自己的猜想是否正確，如猜想3．類比圓的圖象性質，橢圓的結論便一目了然(圖1)．

圖1

請同學們課后完成兩個作業：(1)運用今天學習到的解析幾何通法證明一下自己的猜想或者其他同學的猜想；(2)從我們做過的高考真題或模擬題中，尋找一道與我們猜想的結論一致的解析幾何題，并把它解答出來，我們會發現原來我們同學也是可以做命題老師的，而那些神秘的高考題，其實就是我們平時遇到的問題，并不可怕.

最后老師也來猜想一個結論：如果我們把斜率之積改為斜率之和，又會有怎樣的結論呢？還是直線過定點嗎？

我們同樣可以遵循前面的研究方法繼續探究.先從特殊的斜率之和為0的情況開始思考，會發現兩個交點所在的直線并不過定點，但是這條直線的斜率卻是一個定值．證明方法如圖2所示．

圖2

這正是解析幾何問題最典型的兩條思考途徑，今天的第三個作業就是請同學們課后把這兩種證明方法完整地書寫出來．而這恰恰正是今年新高考全國I卷解析幾何大題的出題背景．

4 問題解決

(1)求l的斜率；

5 問題反思

通過上述對定值、定點之間千絲萬縷微妙關系的梳理，我們再來看2022年新高考I卷的這道解析幾何大題，發現它的身上同樣承載著啟動一場盛大頭腦風暴的重要使命：它是2021年新高考全國I卷的解幾壓軸題結構的一個退化情形，其本質相同．2021年的這道解析幾何題是圓錐曲線中的一個經典性質，也是一個老生常談的結構，在以前諸多的數學聯賽及全國高考卷中屢見不鮮，大家可以查閱研究，如2011年全國II卷、2014年大綱卷等．而2022年考查的退化情形也是高考中的常見問題，如2009年遼寧卷、高中數學聯賽卷中還考查了它的逆命題等．

由此可見，在高三最后臨近高考的寶貴時間里，教師要精選典型例題，以高考題為載體，帶領學生跳出題海，唯有讓思維跳躍，才能讓學生從千頭萬緒的復習中抽身出來，獲得對問題的真知灼見，從而以不變應萬變，從容應對高考試題！

6 教學反思

最后筆者對本堂課的設計作如下簡單的教學反思：

·在課堂上開展問題探究活動，增強學生解決圓錐曲線問題的信心與能力，鞏固圓錐曲線的相關知識與方法．問題探究活動的過程，不是簡單的一題多解，而是不斷優化求解思路、促進思維發展、提升核心素養的過程．

·探究活動以小組形式開展，大家既有分工又有合作，還有小組交流和全班交流．每位學生都有參與學習和交流的機會，即便一些基礎與學力較弱的學生也能獲得積極的情感體驗，提高數學學習的興趣與動力；而數學能力較強的學生更能發揮自己的特長與優勢，在帶領小組學習、交流的同時，獲得成功的體驗．對教師而言，預估了學生提出的大部分解法和猜想，但也有很多學生的思維火花超出了教師準備的教學內容，屬于生成性教學資源，彌足珍貴．

·作業設計多元化.本節課安排的課后作業中既有反思類作業又有實際操作類作業，既有研究類作業又有分層類作業．通過開發多元化的作業任務，既讓學生把課堂內容回顧一遍，又能有所延伸，把很多課上來不及仔細思考的內容變成學生的作業，充分發揮其自主學習力，一箭雙雕，讓作業與課堂一起熠熠生輝．

·課堂活動評價采用自評、小組成員互評和教師評價的綜合評價方式，能夠更加客觀地對學生的學習行為進行評價，形成較為完善的評價機制．