新高考背景下提升高三數學一輪復習效果的幾點探索

楊元韡 (江蘇省常州高級中學 213003)

隨著《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(下稱《課程標準》)的頒布，全國大部分省市已陸續進入新高考階段．從2021年起，江蘇等七省的數學高考采用全國新高考I卷，近兩年的全國新高考I卷相對于江蘇省自主命制的高考卷，在試卷結構、試題題型、試題難度、考查內容上都發生了較明顯的變化，最為顯著的變化是全國新高考I卷沒有考試說明，給命題帶來了更大的靈活性．

面對上述變化，高三數學一輪復習起著至關重要的作用．一輪復習不僅要全面梳理知識，更要注重知識之間的聯系，縱橫比較，揭示規律，提煉方法，構建網絡，而且還要為二輪大單元微專題復習提供知識、方法、思想的基礎，提升學生在陌生情境中解決問題的能力．如何在新高考背景下提升高三數學一輪復習效果就成為一個值得探討的話題．筆者根據自身高三數學一輪復習的教學實踐，結合蘇州大學出版社出版的《高中數學教學與測試(總復習)》(下稱《總復習》)等教學資源，談幾點做法．

1 引導學生形成整體觀與聯系觀，構建知識網絡體系

通過教師的積極引導，讓學生形成整體觀與聯系觀，以構建知識網絡體系，是一輪復習的重要任務．這里的整體觀主要是單元內的整體觀，即立足于單元整體視角，明確單元的邏輯主線，凸顯單元的核心內容，厘清單元內各部分之間的關聯．這里的聯系觀是指在融會貫通單元各節、單元之間內容的基礎上，形成綜合運用單元內或單元間多個知識點與方法解決問題的意識，充分體現了思維的廣闊性與靈活性．為增強學生的整體觀與聯系觀，可先從單元入手，合理劃分每一節內容，再從節這個更小的單位，引導學生理清它所包含的知識關聯，繼而將各節知識進行“整合”，構建本單元的知識網絡體系，其常見的“整合”形式為制作思維導圖或框圖．

據筆者廣泛了解，大部分高中學校采用一輪復習參考書與校本資料相結合的形式作為一輪復習的資源．市面上多數高三數學一輪復習參考書的知識梳理部分是以填空題的形式羅列本節的知識點，以識記為主，容易造成知識的碎片化．以“三角函數”作為大單元為例，《總復習》將其劃分為7節，“三角函數的和、差、倍角公式”是其中一節，該節的“本課導航”欄目中既清晰明了地給出了《課程標準》對本節課的學習要求，還給出了公式關系圖(因篇幅所限，僅列部分)：

(1)兩角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(記作Cα-β)，可以采用幾何證法(麥克肖恩證法)或者向量證法(向量數量積的“算 兩次”)．

這樣的公式關系圖不僅給出了具體的公式，還粗略地給出了它們的關聯，并沒有像教材中那樣詳細地給出過程，有較大的“留白”空間．事實上，在有意義的條件下，三角函數的和、差、倍角公式都是恒等式，可以通過代換的方法從一個公式得到另一個公式，從而形成一串公式．教師可以讓學生補全這些“箭頭”推理的“留白”空間，在厘清各公式聯系的同時，強化變換這一基本思想，更好地幫助學生作出本節內容或整個單元的思維導圖或框圖，構建知識網絡體系．教學實踐表明，一般來說，學生越是善于做單元的思維導圖或框圖，其數學學業水平往往也越好．

2 例題精選兼顧單一性與綜合性，以螺旋式鞏固舊知

在高三數學一輪復習中，例題的選擇要依據復習的內容而定．例如概念復習課的例題要聚焦概念本身，通過對概念的辨析與運用，讓學生厘清概念的內涵與外延；再如公式復習課的例題要關注公式及其各類變形的運用，增強運用公式的靈活性等．

精選例題要兼顧單一性和綜合性．例題的單一性是指例題本身考查的知識點或方法單一，其目的更加凸顯所要復習的核心概念、定理、公式等，去除一些冗繁的干擾條件，直奔主題；例題的綜合性是指例題本身考查的知識點或方法有多個，往往需要綜合運用已經復習的知識點、方法及本節知識點、方法才能順利解決．綜合性例題的好處在于對已學習內容進行鞏固，同時又將問題的重心放在對本節課內容的考查上，不喧賓奪主．如果高三一輪復習都采用單一性例題線性地推進復習過程，前面學習的內容很容易遺忘；如果都采用綜合性例題復習，則時間上消耗過多，且主題不夠凸顯，容易出現費時費力又效果不佳的窘境．因此，兩者要兼顧，它們的比例可以根據學情調整，這樣可以以螺旋式鞏固舊知，減少遺忘．從近幾年的全國I卷來看，綜合性的試題占有相當大的比例，單一性的試題越來越少，這是新高考變化的整體趨勢．下面給出兩例及說明．

·單一性的例題舉例(《總復習》第5.1節例2及變式形成的題組)：

變式1 已知角α的終邊經過點P(5m, -12m)(m≠0)，求sinα,cosα,tanα的值．

說明此題組聚焦三角函數的定義，三個問題的難度拾階而上.例題與變式1都是利用終邊上點的坐標來求相應的三角函數，其中包含方程思想、分類討論思想，屬于定義的正向應用；變式2可以通過挖掘情境中的信息，利用三角函數的定義得出點坐標，屬于定義的反向應用．通過對題組的思考，學生對三角函數的定義會有較為深刻的認識．

·綜合性的例題舉例(《總復習》第5.5節 習題)：

說明本題小巧精致，雖為習題，但仍可作例題使用．一方面考查了三角函數的定義，另一方面考查了三角函數和差角公式，但是考查的重心仍在后者，起到了復習舊知又鞏固新知的效果．本題可以利用正余弦的和差角公式求解，也可以用正切的和差角公式求解，具有較寬的入口，不禁錮學生思維，教師可以讓學生比較多種解法哪個更簡潔．

3 習題選擇注重層次性與創新性，增強學生思辨能力

在高三數學一輪復習中，習題選擇是非常重要的，它是提高學生學習質量的重要途徑．習題選擇建議以備課組為單位，進行合理分工，保質保量完成整體的習題設計，減少每位教師工作量的同時提高效益．

習題選擇要注重層次性，要有基礎題、中檔題、較難題及難題，它們的比例可依據學情而定．基礎題應聚焦概念、定理及公式本身；中檔題與較難題有一定的思維量，不偏不倚，需要綜合運用多個知識和方法解決；難題往往具有較高的思維量，有一定的探究性和啟發性．這樣可以讓學生從多個難度層次上得到練習．《總復習》將習題按難度要求分為三類：練習鞏固、思考運用、拓展探索，相對而言題量適中，有較大的選擇余地．若刪除了其中部分習題，不足的部分可以用校本資料作為補充，形成適合本校學生學情的資源庫．

習題選擇要注重創新性．新高考背景下試題的創新力度非常大，如出現以社會生活、數學文化為背景的情境題，解答題中出現的結構不良試題體現了條件設置的變化，填空題中出現的舉例題則體現了設問形式的變化．面對新高考不斷創新的特點，習題中也要選擇適當的具有創新特色的題目，來增強學生的思辨能力，減少畏懼心理，以便學生從容應對陌生情境．《總復習》緊扣新高考特點，設置了一系列創新性問題，這些問題大部分集中在拓展探索欄目里，非常值得基礎中等及以上的學生選用．下面以2022屆高三四校聯考的一道試題為例，說明其創新之處．

題目已知△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，sinBcosA>sinC．

(1)求證：B為鈍角；

解析(1)證略(提示：可以化“邊”證明，也可以化“角”證明).

隨著市場競爭日趨激烈，初創企業面臨的考驗和挑戰也更加嚴峻。為此，只有關注創新、著眼于未來、不滿足現狀的企業，才能對未來市場做出準確的判斷。四家案例企業分別在營銷方式和產品等方面進行了創新，但創新程度有所不同。

說明本題不屬于結構不良題，盡管結果是封閉的，但仍具有探究性．本題的主要亮點是設問方式比較新穎獨特，具有創新性的特點．要求證明只有某確定的3個條件組成的條件組存在相應的三角形與之對應，言外之意是含3個條件的其他條件組都不存在相應的三角形與之對應．解答時，如果學生結合(1)，很快就得到①②相互矛盾，通過推理發現只有兩種可能，這樣就減少了討論的類別，最后判斷這兩種情形即可．本題考查了學生的邏輯推理能力和思辨能力，是一道非常好的試題，作為習題或考題使用都比較合適．

4 “錯題”改編體現變化性與延展性，潛移默化糾正偏差

在高三數學一輪復習中，學生做錯題的歸因是多樣的，有一些是對數學概念、定理、公式的理解出現偏差造成的，也有一些是審題不清、運算錯誤等造成的．若將學生做錯的題簡稱為“錯題”的話，則典型的“錯題”往往不是在極個別的學生中出現，而是在一個小群體(約20%～30%的學生)中出現，主要是因為概念記憶模糊不清、對定理與公式的適應條件不清、基本思想方法不熟練等原因造成的．

以典型的“錯題”為藍本，經過改編，可以成為具有變化性和延展性的題組，適合進行有針對性的偏差糾正．改編的方式，可以是轉換試題的情境，可以改變試題的設問方式，可以交換條件(或部分條件)與結論(或部分結論)，這樣改編題在形式上與“錯題”有較大差別，學生對它們具有新鮮感．長期做“錯題”改編，能達到潛移默化、潤物細無聲般的糾偏效果．具體的做法流程為“題目→錯解→交流→歸因→改編→反饋→總結”，其中的交流環節即與做錯題目的學生交流找到出現問題的真正原因，它是做好合理歸因的前提，“錯題”改編之后還有反饋環節，檢驗學生有沒有真正地實現糾偏，最后總結環節應該有一定的延展性，如得到一般性結論，給出方法總結、解題感悟等，避免出現就題論題的情況，最終使學生達到融會貫通的狀態．下面以一個數列問題為例，列舉部分環節加以說明．

題目已知數列{an}的前n項和為Sn，an≠0，a1=1，且2anan+1=4Sn-3(n∈N*)，求數列{an}的通項公式．

改編(1)一個項數為8的有窮數列{an}，其奇數項和偶數項分別構成公差為3的等差數列，但數列{an}不是等差數列，則數列{an}可以是．(寫出滿足條件的一個數列即可)

總結(1)若一個數列的奇數項和偶數項分別成公差相同的等差數列，當且僅當該數列的前三項成等差數列時，這個數列成等差數列；(2)先求數列的通項公式，再借助于定義，這也是證明數列是等差數列(或等比數列)的一種方法；(3)回到定義是證明數列是等差數列或等比數列的最根本的方法，深刻理解兩個定義非常重要．

5 結語

新高考背景下，如何提高高三數學一輪復習的效果還有很多方面值得我們去思考，本文僅提了幾點做法作為探索，希望能拋磚引玉，也希望能看到更多且更有效的在減輕學生學習負擔的基礎上提高數學關鍵能力的具體做法！