超穩腔零膨脹溫度點的精細測量方法研究綜述

袁易，張涵，王德豪，袁金波，曹健，黃學人*

（1.中國科學院精密測量科學與技術創新研究院波譜與原子分子物理國家重點實驗室，湖北武漢 430071；2.中國科學院精密測量科學與技術創新研究院中國科學院原子頻標重點實驗室，湖北武漢 430071；3.中國科學院大學，北京 100049）

0 引言

隨著原子分子光物理等研究領域的飛速發展，科學家們對激光頻率穩定性的要求越來越高。自1917年愛因斯坦提出受激輻射理論以來［1］，氣體激光器、固體激光器、染料激光器、半導體激光器、光纖激光器相繼問世。光學原子鐘［2-8］、量子信息［9-10］、引力波探測［11-14］、基礎物理理論檢驗［15-19］等精密測量領域中，目前商用激光器線寬大多為幾十kHz至MHz水平，遠達不到所需要的窄線寬要求，因此壓窄激光線寬并提高激光頻率穩定度成為了精密測量科學領域的重要研究方向。

激光器輸出的激光頻率由其光源和內部諧振腔的共振頻率決定。可通過控制環境穩定性（包括溫度、濕度、氣壓等）提高激光器輸出激光的頻率穩定度。將激光器輸出的激光頻率主動反饋鎖定到一個穩定的外部參考源上，也能夠改善激光頻率穩定度，采用這種鎖定方式得到的激光頻率穩定度取決于參考源共振頻率的穩定性。根據原理不同，常見的主動反饋鎖定穩頻方法可分為兩大類：①以原子或者分子的特定能級之間的躍遷譜線作為參考，通過激光對該譜線的探詢得到誤差信號，并反饋給激光器，從而將激光頻率鎖定在該譜線上。應用此類方法的穩頻技術主要包括飽和吸收光譜穩頻［20］、蘭姆凹陷穩頻［21］等。②以穩定臂長的干涉儀作為參考，將激光的頻率鎖定在干涉儀的長度上，從而獲得穩定的激光頻率。應用此類方法的穩頻技術主要包括基于光纖的干涉儀穩頻［22］、基于特定材料加工的F-P諧振腔穩頻［23］等。

根據F-P諧振腔的腔體材料不同，可將其分為兩大類：①在0~35℃擁有極低熱膨脹系數（ULE）的玻璃材料制成的諧振腔。在零膨脹溫度點附近，ULE材料的熱膨脹系數接近于0，將激光鎖定在采用ULE材料制作的諧振腔上，在接近室溫的條件下就可以獲得極高頻率穩定度的激光。目前，基于ULE材料超穩腔的穩頻激光的短期穩定度最高可以達到8×10-17水平［24］。②以單晶硅或藍寶石材料制成的諧振腔。這類諧振腔在極低的溫度下具有比ULE材料更優秀的品質因子和熱膨脹特性，但由于工作環境的嚴苛性以及裝置的復雜性，其目前的應用范圍遠小于ULE材料的超穩腔。

本文首先對F-P諧振腔的基本原理進行闡述，然后對F-P諧振腔穩頻中所使用的PDH穩頻技術進行介紹，并對超穩激光的主要性能指標進行分析，包括：激光線寬、激光穩定度、超穩腔共振頻率漂移速率。之后重點介紹ULE超穩腔零膨脹溫度點的精細測量方法，并開展實驗對各方法的實際性能進行驗證，最后對零膨脹溫度點精細測量方法的未來發展方向進行總結與展望。

1 F-P諧振腔穩頻基本原理

1.1 F-P諧振腔基本原理

最早提出的F-P腔由兩塊平行平面反射鏡組成，這種裝置被稱為法布里-珀羅干涉儀，簡稱FP腔。隨著激光技術的發展，后來還出現了由兩塊共軸球面鏡組成的共軸球面腔，以及由一塊平面鏡，一塊球面鏡組成的平凹腔。以激光在諧振腔內沿軸線傳播為例，當激光在腔鏡上反射時，入射波和反射波會在腔內發生干涉，由于兩面腔鏡都鍍有高反射率的膜，因此激光會在腔內形成多次反射并互相干涉，只有當多光束干涉滿足干涉增強條件時，激光才能夠在諧振腔內形成穩定振蕩。一束激光從平面鏡出發，此時它的初始相位為0，當激光在諧振腔內形成穩定的干涉相長后，它在諧振腔內往返一次回到平面鏡時的相位應與出發時的相位相同，即激光在腔內往返一次所產生的相位變化為2π的整數倍，記激光在諧振腔內往返一次的相位變化為φ，則

式中：λ為入射激光的波長；n為兩面腔鏡之間的激光傳輸介質的折射率；ν為激光頻率；c為光速；l為兩面腔鏡之間的距離。當激光在諧振腔內形成共振時，有

式中：q為正整數。當激光頻率ν滿足上述條件時，激光可在腔內共振形成駐波，ν也被稱為該諧振腔的共振頻率。由式（2）可知，當腔體的長度發生了?l的變化時，其共振頻率變化量?v與?l滿足式（3）關系。

當激光鎖定在F-P腔上之后，腔體長度的穩定性就傳遞到了超穩激光頻率的穩定度上。

1.2 PDH穩頻技術基本原理

PDH穩頻技術目前已被廣泛應用于激光器的頻率穩定實驗中。1964年，Pound發明了基于相位調制的穩頻技術并將其應用于微波振蕩器［25］；1983年，Drever和Hall利用該技術將激光頻率鎖定在了F-P腔上，并得到了小于100 Hz的激光線寬［26］，這就是Pound-Drever-Hall（PDH）穩頻技術的由來。PDH穩頻技術的基本原理是：使用激光探測F-P諧振腔的共振頻率，探測結果產生的誤差信號經PID電路的反饋作用傳遞到激光器上，以抑制激光器的頻率波動，從而達到將激光器的頻率鎖定在F-P諧振腔的共振頻率上的目的。PDH穩頻技術的原理如圖1所示。

圖1 PDH穩頻技術原理Fig.1 Principle of PDH frequency stabilization technique

激光器發出的激光在經過電光調制器（Electrooptic Modulator，EOM）調制后會產生兩個相位相反的調制邊帶，調制邊帶相對于載波的頻率偏移量為RF射頻信號源驅動EOM的射頻頻率，t時刻調制后的激光可表示為

式中：E0為激光光場強度；ω為激光角頻率；β為調制深度；Ω為EOM調制頻率。當調制深度β<1時，式（4）可用貝塞爾函數近似展開為

式中：Jn為n階貝塞爾函數；E0J0(β)eiωt為載波；E0J1(β)ei(ω+Ω)t與E0J1(β)ei(ω-Ω)t為兩個相位相反的調制邊帶。

激光經過偏振分光棱鏡（Polarized Beam Split‐ter，PBS），透過PBS的激光偏振為水平偏振光，水平偏振光在入射和反射的過程中經過兩次四分之一波片后轉化為豎直偏振光，被PBS反射到光電探測器（Photodetector，PD）上，反射光可表示為［27］

式中：F(ω)為腔的反射傳輸函數。PD將反射光信號轉化為電信號，其中的交流部分與EOM驅動信號進行混頻解調，其輸出經過低通濾波器，濾除高頻信號后的誤差信號進入伺服環路反饋輸出到激光器的頻率調諧端口，從而實現激光頻率的穩定。

2 超穩激光性能評估

經過PDH穩頻后的激光性能相較于自由運轉的激光器所產生的激光性能明顯提高，主要表現為：激光的線寬變窄，激光的頻率穩定度提升，激光頻率的漂移速率被抑制。但由于不同研究領域對超穩激光的性能需求不同，因此其性能指標是否能夠滿足實驗需求仍需精細評估。

2.1 激光線寬與頻率穩定度

激光的線寬表征了激光在頻域上的分布寬度，它主要與激光的相干性有關，一般以激光線寬在頻域上分布的半峰全寬（Full Width at Half Maxi‐mum，FWHM）作為激光的線寬。理論上，激光是一束頻率單一穩定的正弦電磁波，因此激光在頻域上的分布應為一根單一的峰，且線寬應為無限小。但實際上，外界環境影響引入的噪聲使激光的頻率在小范圍內抖動，導致激光在頻域上出現展寬。

激光的頻率穩定性通常采用頻率不穩定度（Frequency Instability）來定量描述，其反映了激光頻率在一定時間尺度上的波動大小，一般用Allan方差表示［28］，即

式中：τ為測量時間間隔或平均時間；yi為第i個測量值；N為取樣窗口樣本數。

實驗中，一般通過兩束性能相近的超穩激光相互拍頻，從而獲得激光的線寬和穩定度，其方案如圖2所示。

圖2 超穩激光性能評估方案圖Fig.2 Scheme of ultra-stable laser performance evaluation

兩臺頻率鎖定在超穩腔上的激光器發出的激光經過分光鏡合光之后進入PD進行拍頻，一路拍頻信號經混頻器混頻至低頻后，進入快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，FFT）分析儀進行采集分析，得到激光的線寬；另一路拍頻信號直接進入頻率計數器進行采集。兩束超穩激光的頻率穩定度分別為σ1，σ2，頻率計數器采集到的頻率信號計算得到的穩定度為假設兩束超穩激光頻率穩定度相等，利用頻率計數器采集到的頻率信號計算穩定度后除以2，就得到了單束超穩激光的穩定度。

2.2 超穩激光漂移速率

理想情況下，超穩腔的長度是不變的，因此對于相同波長的激光，其共振頻率也是不變的。但實際情況下，由于外界環境的影響，F-P腔的腔體長度會發生不規則的形變，導致諧振腔的共振頻率發生變化，外界環境影響因素的高頻部分（Hz~kHz）會引起激光的線寬展寬，而低頻部分（通常低于Hz量級）則會導致諧振腔的共振頻率發生漂移，單位時間內共振頻率的漂移量被稱為超穩激光的漂移速率。

影響激光漂移速率的主要因素是F-P腔的溫度變化，由式（3）可知，當腔體的長度發生變化時腔體的共振頻率也會隨之改變。引起F-P腔溫度變化的因素包含兩個方面：

1）腔體所處的外界環境溫度發生改變

根據熱量的傳導方式可以將外界環境溫度變化條件分為兩類：①通過腔體支撐結構傳熱（固體傳熱）的方式影響腔體溫度。這部分溫度變化主要來源于腔體固體支撐結構與外部環境之間的熱量交換；②通過熱輻射的方式影響腔體溫度。F-P腔體一般處于真空室內，當外界環境溫度發生變化時，真空室的溫度發生變化，導致熱輻射發生變化，引起腔體共振頻率漂移。

2）腔內激光功率波動引起的腔鏡溫度變化

由于高性能F-P腔的腔鏡上鍍有高反射率的薄膜材料，其反射率一般大于99.99%，因此當激光鎖定時，激光會在腔內多次反射后相干疊加，高強度的激光會加熱腔鏡，當F-P腔的入射光強度發生變化時，腔內的光功率會隨之變化，激光對腔鏡的加熱效率也會發生變化，從而引起F-P腔共振頻率漂移。

由ULE材料制成的腔體和腔鏡在室溫附近具有零膨脹溫度點，目前被廣泛應用于激光穩頻實驗中。典型ULE材料的熱膨脹系數隨時間的變化如圖3所示，在零膨脹溫度點附近，ULE材料的熱膨脹系數極小，因此同樣的環境溫度波動下腔體的長度變化最小，腔體的共振頻率變化最小，超穩激光的漂移速率也最小。基于ULE材料的此種特性，實驗中通過將ULE腔體的溫度控制在零膨脹溫度點，可將超穩激光的漂移速率從Hz/s量級抑制到mHz/s量級，能夠滿足光學原子鐘、量子信息等大多數精密測量實驗的需求。

圖3 ULE材料熱膨脹系數變化曲線[29]Fig.3 Variation curve of thermal expansion coefficient of ULE materials[29]

3 ULE諧振腔的零膨脹溫度點測量

ULE腔體的零膨脹溫度點測量有多種方法，如膨脹測量法、光彈性分析法、超聲法、干涉法［30-31］，其中超聲法和干涉法已獲得廣泛應用。超聲法利用不同溫度下超聲波在ULE材料中的傳輸速度不同來分析得到ULE材料的零膨脹溫度點，主要用于大體積ULE材料的零膨脹溫度點測量，該方法也廣泛應用于ULE材料生產后的粗測篩選中，其測量精度相較干涉法更低［30-31］。干涉法將激光鎖定在ULE材料F-P腔上，通過改變ULE腔體的溫度來改變腔體的長度，從而改變共振頻率。在溫度改變的過程中，將腔體的共振頻率與一個穩定的參考源相比較，從而判斷腔體的溫度是否在零膨脹溫度點附近。根據參考源不同也衍生出了多種測量方法，如：參考腔拍頻法、光梳測量法、光鐘測量法。這幾種測量方法的測量精度依次遞增。干涉法的測量精度比超聲法的測量精度更高，在精密測量科學領域應用廣泛，但其裝置復雜性及成本相較超聲法更高。

3.1 參考腔拍頻法

參考腔拍頻法利用一個已有的穩定工作的超穩腔作為參考源，待測腔在不同的穩態溫度下與參考腔進行拍頻，得到不同溫度下待測腔的共振頻率變化量。

實驗中，保持一臺ULE超穩腔的溫度不變，在這種情況下環境溫度波動導致的ULE腔體共振頻率漂移范圍在kHz量級，相較于大幅更改待測腔溫度導致的MHz量級的共振頻率變化可以忽略不計，因此可將參考腔的共振頻率近似看作一個穩定的參考源。參考腔拍頻法的實驗裝置與圖2類似，兩臺729 nm激光器通過PDH穩頻方法分別鎖定在兩臺ULE超穩腔上，參考腔長度為10 cm，鎖定在該ULE腔體的超穩激光線寬約為1 Hz，短期穩定度為2×10-15/τ［32］。環境溫度約為22℃，待測腔的腔長為7.5 cm，通過加熱薄膜進行控溫，將腔體溫度控制為25℃，之后進行加溫，每增加5℃測量一次待測腔與參考腔共振頻率的差值，得到5組數據，通過對測量數據進行擬合計算得到該待測腔的零膨脹溫度點為21.3℃。

參考腔拍頻法測量的優勢在于能夠得到不同溫度下的待測腔共振頻率變化量，可直接將溫度控制在擬合計算得到的零膨脹溫度點。但這種測量方法的精度取決于每次測量時待測腔是否處于溫度平衡狀態，當溫度未達到平衡狀態時，測量得到的結果會偏離真實值，引起較大的測量誤差。而溫度達到熱平衡所需要的時間與真空腔體的熱時間常數有關，不同真空結構的超穩腔熱時間常數也有所不同，一般情況下熱時間常在數天不等，因此得到精確的零膨脹溫度點所需時間周期較長。

圖4 參考腔拍頻法拍頻結果擬合曲線Fig.4 Fitting curve of beat frequency results in reference cavity scheme

3.2 光梳測量法

光梳測量法中所用到的穩定參考頻率源是鎖定在微波頻標（如氫鐘10 MHz信號）上的光學頻率梳。光學頻率梳是一系列頻率間隔相同，且相位相干的頻率梳齒。其在時域上的表現形式E(t)如圖5（a）所示，為一組時間間隔穩定的超短脈沖序列；其在頻域上的表現形式E(f)如圖5（b）所示，為一系列頻率間隔相同的頻率梳齒。時域上不同脈沖包絡的時間間隔周期為Tr，其倒數frep為光梳在頻域上不同梳齒之間的頻率間隔，frep被稱為光梳的重復頻率。由于激光色散造成載波的群速度和相速度差異，導致脈沖載波和包絡之間產生了相位差?φceo，反應到頻域上，梳齒相對于零頻發生了fceo的頻率偏移，fceo被稱為載波包絡偏移頻率。

圖5 光學頻率梳時頻特性Fig.5 Time frequency characteristics of optical frequency comb

將鎖定在零膨脹溫度點待測腔體上的超穩激光與光學頻率梳輸出光的第N個梳齒進行拍頻，其中光學頻率梳參與拍頻的梳齒頻率表達式為

拍頻得到的拍頻信號頻率記為fbeat，則超穩激光的頻率表達式為

通過更改溫度，并記錄拍頻信號的頻率，即可計算出flaser的頻率變化。由圖3可知，在零膨脹溫度點附近無論溫度上升還是下降，熱膨脹系數變化方向均相同，因此在零膨脹溫度點附近，ULE腔體的共振頻率達到極值，在更改溫度并記錄拍頻信號頻率的過程中，flaser達到極值點時的ULE腔體溫度即為該待測腔的零膨脹點溫度。實驗中，更改10 cm ULE腔體的溫度，并采用光學頻率梳測量當前溫度下ULE腔體的共振頻率，然后對不同溫度下腔體的共振頻率進行擬合，最終得到該ULE腔體的零膨脹溫度點為17.4℃，其測量擬合結果如圖6所示，其中ULE腔體的共振頻率fULE1=?f1+411042000 MHz。

圖6 ULE腔體共振頻率隨溫度的變化關系Fig.6 Relationship between resonance frequency of ULE cavity and temperature

3.3 光鐘測量法

光鐘測量法以原子或離子的特定能級之間的躍遷譜線為參考。光鐘主要由三大部分組成，分別為：原子參考、本征振蕩器、頻率計數器。其中本征振蕩器是用于鐘躍遷探詢的超穩激光，頻率計數器為飛秒光梳。本征振蕩產生的窄線寬超穩激光在經過外部聲光調制器（AOM）移頻之后作用在原子或離子上，光鐘的閉環鎖定通過伺服反饋將窄線寬的超穩激光鎖定在鐘躍遷譜線上，使超穩激光的頻率與譜線躍遷的頻率保持一致。飛秒光梳可用于測量超穩激光的頻率，也可用于將鐘激光頻率轉化到微波頻率以便日常應用。

圖7 光鐘組成部分Fig.7 Components of optical clock

鎖定在ULE超穩腔上的729 nm窄線寬超穩激光通過AOM伺服反饋鎖定在40Ca+的鐘躍遷能級上，因此ULE超穩腔共振頻率flaser，AOM頻率fAOM與40Ca+離子鐘躍遷能級頻率fion滿足以下關系

可近似認為40Ca+離子鐘躍遷的頻率fion穩定不變。當ULE腔體溫度改變時，ULE腔體的共振頻率flaser發生變化，鎖定過程中fAOM也隨之變化。通過更改溫度并記錄fAOM的變化，即可得到ULE腔體的共振頻率隨溫度的變化，當fAOM達到極值點時，flaser也達到極值點，ULE腔體的溫度達到了零膨脹溫度點。實驗中，改變7.5 cm待測腔溫度，得到ULE腔體共振頻率變化曲線如圖8所示，其中ULE腔體的共振頻率fULE2=?f2+411041492480000 Hz。擬合得到該ULE腔體處于零膨脹溫度點時的共振頻率為411041492510844 Hz，通過改變ULE腔體的溫度使腔體的共振頻率達到該值附近，此時ULE腔體的零膨脹溫度點為22.17℃。將腔體的溫度控制在零膨脹溫度點后，由于室溫晝夜波動引起的超穩腔共振頻率波動由13 kHz降低至1 kHz以內，激光漂移速率降低了一個數量級。

圖8 ULE腔體共振頻率隨時間的變化關系Fig.8 Relationship between resonance frequency of ULE cavity and time

4 總結

介紹了F-P腔及PDH穩頻的基本原理，概述了超穩腔主要性能指標的測量方法，重點闡述了如何利用參考腔拍頻法、光梳測量法、光鐘測量法測量ULE腔體的零膨脹溫度點，并通過實驗分別驗證了上述方法的可行性。

參考腔拍頻法的優勢在于所需的測量條件相較另外兩種方法更簡單，但其測量精度受限于拍頻測量時待測腔的溫度是否達到平衡以及參考腔頻率的穩定性，其準確性遠低于光梳測量法和光鐘測量法，并且無法給出精確的ULE腔體共振頻率。光梳測量法和光鐘測量法的系統更加復雜且裝置成本較高，但這兩種方法的優點在于能夠提供一個高精度的參考標準，能夠快速找到ULE腔體處于零膨脹溫度點時的共振頻率，測量所需時間周期較短，且測量準確性更高。

ULE腔體零膨脹溫度點的精細測量能夠有效改善超穩激光的頻率漂移特性，對于推動精密測量領域的發展具有重要意義，未來可通過提高聲速法的測量準確性，實現ULE材料生產過程中的零膨脹溫度點精確測量，從而進一步提升ULE材料生產工藝質量。通過簡化光梳、光鐘等測量裝置的復雜性，利用干涉法精確測量ULE腔體的零膨脹溫度點，從而提升超穩激光的性能指標也將成為重點研究方向。隨著科學技術的發展，精密測量等研究領域對超穩激光的性能指標要求將會越來越高，零膨脹溫度點的測量將成為超穩激光技術發展與應用中的重要環節。