Timoshenko自由梁迭代法計算木材彈性模量和剪切模量的適用性*

王 正 周宇昊 沈肇雨 何宇航

(南京林業大學材料科學與工程學院 南京 210037)

彈性模量、剪切模量和泊松比是表征材料的彈性常數，亦是材料的3項基本物理特性參數。木材是正交各向異性材料，提高其彈性常數測試精度尤為重要(譚守俠等,2007； 董浩然等， 2022； 阮錫根等， 2005； 劉鴻文，1983)。木材彈性常數測試方法可分為靜態法和動態法兩大類，近年來，利用動態振動法測試木材和木質復合材料彈性常數研究取得了顯著成果(Chuietal.， 1990； Chui，1991； Rossetal.， 1994； 馬功勛，1996； 王正等， 2006； 2013； 2014； 王正，2007； 周海賓等， 2007a； 2007b； Wangetal.， 2012； 2016a； 2018； 2019a； 胡英成，2001； 胡英成等， 2001； Turketal.， 2008)。Timoshenko自由梁迭代法是一種具有代表性的動態測試材料彈性模量和剪切模量的方法，該方法以Timoshenko梁理論(Timoshenko， 1965)為基礎，即梁橫向振動時考慮梁的剪力和回轉效應對其彎曲頻率的影響。Timoshenko自由梁迭代法測試木材彈性模量和剪切模量時,首先測試自由梁的第一階和第二階彎曲頻率，然后應用迭代程序計算木材的彈性模量和剪切模量(Chuietal.， 1990； Chui，1991； 周海賓等， 2007a)，但對該方法的適用范圍研究尚少，且其測試精度受試件不同長厚比的影響較大。

鑒于此，本研究基于試驗探究Timoshenko自由梁迭代法測試木材和木質復合材料彈性模量和剪切模量的適用性，重點考慮材料彈性模量和剪切模量的測試精度，尋求梁試件合適的長寬比。

1 方法

1.1 Timoshenko自由梁迭代法

自由狀態下，Timoshenko梁的第一階彎曲頻率(f1)和第二階彎曲頻率(f2)提供了包含彈性模量(E)和剪切模量(G)2個非線性方程式：

f1(E,G)=0,f2(E,G)=0。

(1)

2個非線性方程式構成1個非線性方程組，該方程組可用編程的迭代方法求解。計算程序輸入參數為梁長度(m)和厚度(mm)、梁材料密度(kg·m-3)、矩形截面因子(k)、第一階彎曲頻率(Hz)、第二階彎曲頻率(Hz)，輸出參數為彈性模量E(MPa)和剪切模量G(MPa)。若迭代收斂，可同時計算出正常的E和G； 否則不能計算出正常的E和G或根本計算不出E和G，即迭代發散。

1.2 Euler自由梁法

Euler自由梁的一階彎曲頻率(f1b)與彈性模量(E)的關系為：

(2)

式中：E為彈性模量(Pa)；l為自由梁長度(m);h為自由梁厚度(m);f1b為自由梁一階彎曲頻率(Hz)；ρ為氣干密度(kg·m-3)。

1.3 自由板扭轉振型法

自由板一階扭轉頻率(f1t)與剪切模量(G)的關系為：

(3)

式中：G為剪切模量(Pa);l為自由板長度(m);b為自由板寬度(m);h為自由板厚度(m);γ為自由板振型系數；f1t為自由板一階扭轉頻率(Hz);ρ為氣干密度(kg·m-3)。

1.4 自由桿件扭轉振動法

自由桿件一階扭轉頻率(f1t)與剪切模量(G)的關系為：

(4)

式中：G為剪切模量(MPa)；L為桿長(mm)；b為桿矩形截面寬度(mm)；a為桿矩形截面厚度(mm)；A為桿矩形截面面積(mm2)；M為桿件質量(kg)；f1t為一階扭轉頻率(Hz)。

2 試驗

2.1 試驗材料

山毛櫸(Fagussylvatica)，含水率13%； 云杉-松-冷杉(spruce，pine and fir，SPF)，含水率11.5%； 單板層積材(laminated venner lumber，LVL)，含水率9%； 西加云杉(Piceasitchenrsis)，含水率9.5%。

2.2 試件制作

制作山毛櫸、SPF等樹種的徑、弦向梁試件，西加云杉橫紋梁試件和LVL整板下料的縱、橫向梁試件，以及相應的板試件，試件總數共49塊。梁試件和板試件的基本參數分別見表1、2。

表1 梁試件基本參數

表2 板試件基本參數

梁試件和板試件用剛性系數小于0.4 N·m-1的彈性繩自由懸掛，實現兩端自由約束的自由梁和自由板(圖1、2)。

2.3 試驗儀器及其配套件

CRAS振動及動態信號采集分析系統1套，包括調理箱、采集箱、信號與系統分析軟件； CA-YD-125型壓電式加速度計1只，1.5 g； HK-30型木材含水率測試儀1只； TG328B型電光分析天平1臺，0.001 g； 游標卡尺1把，0～150mm； 橡膠錘1把； 尼龍錘1把； 鋼尺1把，0～1 m。

2.4 試驗設計

2.4.1 測試工況(梁試件) 記錄每根梁試件長寬面和長厚面上的木紋特征，即弦向或徑向。每根梁試件測試梁彎曲振動沿試件厚度和寬度方向2種工況，從一種工況到另一種工況只需將試件繞其縱軸線轉動 90°，垂向激勵即可實現； 每根徑向和弦向迭代程序中輸入的h指與梁彎曲振動方向相對應的梁橫截面尺寸(寬或高)。

圖1 自由梁測試系統

圖2 自由板測試系統

2.4.2 截短試驗 正方形截面的梁試件依次按l/h=32、28、24、20、16、14、12、10、8截短，截面寬厚不相等的梁試件按實際梁長截短，測試不同長厚比試件的第一階和第二階彎曲頻率，應用迭代程序計算其彈性模量和剪切模量，以尋求彈性模量和剪切模量依賴于梁試件長厚比的變化規律，并確定能迭代出正確彈性模量和剪切模量的試件長厚比下限值。在迭代計算時，著重探討矩形截面因子k取值對迭代結果的影響。按常規k應取0.833，但從能量觀點看k也可取0.913(邵蓓珠等， 1988)，本研究分別以k=0.833和0.913作為迭代程序輸入，計算不同長厚比試件的彈性模量和剪切模量,以尋求合宜的k取值。

對于板試件，依次按l/b=6、5、4.5、4、3.5、3截短，測試自由板一階彎曲頻率和一階扭轉頻率，根據自由板扭轉振型法和自由桿件扭轉振動法(Wangetal.， 2016b； 2019b； 程可等， 2015)一階扭轉頻率測試值計算其剪切模量，由Euler自由梁法一階彎曲頻率測試值計算其彈性模量，以此驗證自由梁迭代法計算木材彈性模量和剪切模量的有效性。

2.5 頻率測量

敲擊試件激發自由振動，安裝于試件上的加速度計接收振動信號，經放大、濾波、A/D轉換為便于計算機處理的數字信號，通過采集器采集和信號分析軟件(或專用的頻譜分析儀)測得試件頻譜，從頻譜圖上讀取頻率(Timoshenko， 1965)。

測試梁試件和板試件頻譜時，加速度計安裝位置和敲擊點位置不同(圖 1、2)。對于梁試件，當長厚比變小時，要適時提高其分析頻率范圍； 對于板試件，加速度計安裝于沿板長邊距角點3l/8處，敲擊板對角線上另一個角點； 為識別彎曲頻率和扭轉頻率，要敲擊板面中心點。

同一根梁試件2種測試工況，編號為山-3的試件長576mm，矩形截面長邊為24.61mm(弦向木紋特征)，短邊為24.37mm(徑向木紋特征)，振動方向沿短邊和長邊的頻譜分別如圖3、4所示。

圖3 山毛櫸 576mm×24.61mm×24.37mm梁試件徑向頻譜

3 結果與分析

3.1 自由梁迭代法計算的彈性模量和剪切模量

山毛櫸徑向和弦向、SPF徑向和弦向以及LVL垂直和平行膠層激勵的梁試件，在不同長厚比l/h下采用自由梁迭代法計算的彈性模量和剪切模量如圖5～10所示(矩形截面因子k取0.833)。

圖4 山毛櫸 576mm×24.37mm×24.61mm梁試件弦向頻譜

圖5 山毛櫸彈性模量(E)計算值隨梁長厚比(l/h)的變化

圖6 山毛櫸剪切模量(G)計算值隨梁長厚比(l/h)的變化

圖7 SPF彈性模量(E)計算值隨梁長厚比(l/h)的變化

圖8 SPF剪切模量(G)計算值隨梁長厚比(l/h)的變化

圖9 LVL彈性模量(E)計算值隨梁長厚比(l/h)的變化

表4為山毛櫸徑向和弦向、SPF徑向和弦向以及LVL順紋(垂直平行膠層激勵)試件在不同長厚比下采用Timoshenko自由梁迭代法計算的彈性模量和剪切模量均值。

圖10 LVL剪切模量(G)計算值隨梁長厚比(l/h)的變化

表3 SPF、山毛櫸和LVL采用自由梁迭代法計算的E/E0隨梁長厚比(l/h)的變化

表4 山毛櫸、SPF和LVL采用自由梁迭代法計算的彈性模量和剪切模量①

分析上述結果可知： 1)采用自由梁迭代法，當迭代計算出正常的彈性模量和剪切模量時，徑向和弦向彈性模量幾乎相等，且不隨梁長厚比變化； 木材徑向和弦向剪切模量雖隨梁長厚比變化較大(表4、圖6和圖8)，但根據其平均值可以區分開來。 2)自由梁迭代法存在一個與樹種有關的試件長厚比下限值，當試件長厚比小于該下限值時，雖能測得自由梁的第一階和第二階彎曲頻率，但不能計算出正常的彈性模量和剪切模量，迭代計算出的彈性模量相對正常值成倍增大，剪切模量成倍減小，或根本計算不出彈性模量和剪切模量。 3)當迭代計算出正常的彈性模量和剪切模量時，矩形截面因子k取0.833計算出的剪切模量比k取0.913大9.6%，彈性模量幾乎相等(表4)。 4)對于SPF、山毛櫸和LVL，當梁長厚比l/h=20～24時，Timoshenko自由梁迭代法計算的彈性模量(E)與Euler自由梁法計算的彈性模量(E0)的相對誤差在7%以內(表3)，l/h=20～24長厚比試件采用自由梁迭代法計算的彈性模量和剪切模量基本處于l/h=32、28、24、20、16相應的彈性模量和剪切模量計算值均值(圖5～10)。因此，采用自由梁迭代法計算彈性模量和剪切模量時，推薦使用長厚比l/h=20～24的梁試件。

3.2 自由桿件扭轉振動法和自由板扭轉振型法測試的剪切模量

在板不同長寬比(l/b)條件下，采用自由桿件扭轉振動法和自由板扭轉振型法測試的山毛櫸、SPF剪切模量如圖11、12所示。

圖11 自由板扭轉振型法和自由桿件扭轉振動法測試的山毛櫸剪切模量隨板長寬比(l/b)的變化

圖12 自由板扭轉振型法和自由桿件扭轉振動法測試的SPF剪切模量隨板長寬比(l/b)的變化

表5 自由桿件扭轉振動法和自由板扭轉振型法測試的山毛櫸、SPF和LVL剪切模量

在板不同長寬比條件下，采用自由桿件扭轉振動法和自由板扭轉振型法測試的山毛櫸、SPF和LVL剪切模量如表5所示。

分析上述結果可知，在板不同長寬比條件下，自由桿件扭轉振動法測試的剪切模量均比自由板扭轉振型法大7%左右。與自由板扭轉振型法和自由桿件扭轉振動法測試的剪切模量相比，自由梁迭代法計算出的剪切模量偏高，其偏高程度與矩形截面因子k取值有關。對于山毛櫸弦向、SPF弦向、LVL順紋(垂直于膠層激勵)，當k=0.833和0.913時，自由梁迭代法計算出的剪切模量比自由桿件扭轉振動法分別高12.2%和2.3%，比自由板扭轉振型法分別高19.9%和9.3%(表4、5)。基于自由梁第一階和第二階彎曲頻率應用迭代程序計算木材和木質復合材料彈性模量和剪切模量發現，k取0.833時計算不出正常的彈性模量和剪切模量，但k取0.913時卻可以計算出正常的彈性模量和剪切模量(表6)，這說明矩形截面因子取0.913相對于0.833而言，不僅擴大了試件l/h的適用范圍，即降低試件l/h下限值，還能夠改善自由梁迭代法對剪切模量的高估。試驗發現，西加云杉橫紋梁可以測出其第一階、第二階彎曲頻率，但采用自由梁迭代法卻計算不出彈性模量和剪切模量； 若采用自由板扭轉振型法測試西加云杉橫紋板(404mm×70mm×12mm，9塊)，則可得出其彈性模量為349 MPa，剪切模量為40 MPa。從LVL整板垂直其縱向下料的橫向梁(760mm×30mm×30mm，3根)可以測出其第一階、第二階彎曲頻率，但采用自由梁迭代法也計算不出彈性模量和剪切模量； 若采用自由板扭轉振型法測試LVL橫向木紋板(760mm×240mm×30mm)，則可得出其彈性模量為721 MPa，剪切模量為694 MPa。

表6 矩形截面因子k取值對自由梁迭代法計算結果的影響

綜上可知，若一次試驗同時測試出高精度的彈性模量和剪切模量，Timoshenko自由梁迭代法不是最佳選擇。自由板扭轉振型法和自由桿件扭轉振動法測試的是自由板頻譜，從頻譜圖上讀出板試件的一階彎曲頻率和一階扭轉頻率，將一階彎曲頻率測試值代入式(2)得到彈性模量，將一階扭轉頻率測試值代入式(3)或式(4)得到剪切模量，2種方法測試的剪切模量隨板長寬比變化平穩，自由板扭轉振型法或自由桿件扭轉振動法測試的剪切模量精度高于自由梁迭代法。

4 結論

1) 存在一個與樹種有關的試件長厚比下限值，當試件長厚比小于該下限值時，自由梁迭代法不能計算出正常的彈性模量和剪切模量或根本計算不出彈性模量和剪切模量。

2) 對于徑向和弦向梁，自由梁迭代法計算出的彈性模量幾乎相等，且不隨梁長厚比變化； 木材徑向和弦向剪切模量雖隨梁長厚比變化較大，但根據其平均值可以區分開來。

3) 自由梁迭代法計算出的剪切模量與矩形截面因子k取值有關，當k取0.833和0.913時，分別高于自由桿件扭轉振動法(自由板扭轉振型法)剪切模量測試值12.2%和2.3%(19.9%和9.3%)

4) 為保證自由梁迭代法測試精度，推薦采用長厚比20～24的梁試件動態測試其第一階和第二階彎曲頻率，并用矩形截面因子取0.913進行迭代計算木材的彈性模量和剪切模量。