一道中考網格作圖題多樣性解法的探究與思考

許柱 周斌

【摘 要】 義務教育課程標準（2022年版）的變化之一，增加了學業質量標準和考試命題建議，明確提出了素養立意的命題原則.文章通過對2022年江蘇省宿遷市中考第27題網格作圖題多樣性解法的探究，談談對以核心素養為導向的考試命題的思考.

【關鍵詞】 網格作圖；多樣性；數學素養

網格是義務教育階段研究“圖形的性質”“圖形的變化”和“圖形與坐標”的工具.教學從能用直尺或三角板在網格中畫平行線、垂線，到借助網格探究平移、旋轉和軸對稱等圖形變換特征以及研究函數的圖象和性質，讓學生積累豐富的活動經驗，掌握相應的基本技能.為此，以網格作圖為背景的考試命題成為了近幾年的新方向.網格作圖的要求是：只使用無刻度直尺，利用格點來作圖.本文通過對2022年江蘇省宿遷市中考第27題網格作圖題多樣性解法的探究，談談對以核心素養為導向的考試命題的思考.

1 試題呈現

（2022年江蘇省宿遷市第27題）如圖，在網格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點A，B，C，D，M均為格點.

【操作探究】

在數學活動課上，佳佳同學在如圖1的網格中，用無刻度的直尺畫了兩條互相垂直的線段AB，CD，相交于點P，并給出部分說理過程.請你補充完整：

解：在網格中取格點E，構建兩個直角三角形，分別是△ABC和△CDE.

在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAC=12，在Rt△CDE中，，

所以tan∠BAC=tan∠DCE，所以∠BAC=∠DCE.

因為∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°，所以∠ACP+∠BAC=90°，

所以∠APC=90°，

即AB⊥CD.

【拓展應用】

（1）如圖2是以格點O為圓心，AB為直徑的圓，請你只用無刻度的直尺，在BM上找出一點P，使PM=AM，寫出作法，并給出證明；

（2）如圖3是以格點O為圓心的圓，請你只用無刻度的直尺，在弦AB上找出一點P，使AM2=AP·AB，寫出作法，不用證明.

2 解法探究

史寧中教授指出，“數學的結論往往是‘看’出來的.”［1］“看”需要憑借良好的直覺，而直覺需要活動經驗的積累.網格作圖是通過直接找格點或通過格點找間接的點，即借助無刻度的直尺作直線（線段）或直線（線段）與直線（線段）的交點來完成，故寫作法時，要體現出網格中所取的格點.

2.1 正確作法賞析

對于【操作探究】：

tan∠DCE=DECE=12.

對于【拓展應用】（1）：

方法一 構造垂線

弗萊登塔爾指出，“學習數學唯一正確的方法就是‘再創造’.”“再創造”是將“操作探究”中所隱藏的新知識、新技能及數學方法等內容，通過閱讀去發現或創造出來.“拓展應用”中“在BM上找出一點P，使PM=AM”，所用到的知識是垂徑定理（過點A作半徑OM的垂線）；方法是從“操作探究”中的體驗獲得的“用無刻度的直尺畫兩條互相垂直的線段”知識技能遷移得出較為直接的（1）問思路1.

思路1：如圖4，在網格中取格點C，連接AC并延長交圓O于點P（也可取格點G，連接AG或CG交圓O于點P）.

方法二 構造平行線

網格中線段之間存在特殊的位置關系（平行和垂直），故基于原有的知識經驗，過由若干個相鄰方格組成的矩形的對角線所作的直線（線段），與按相同的方式作出的另一條直線（線段）互為平行線，再利用兩直線平行，同位角相等以及同弧所對的圓周角是圓心角的一半，進而得出（1）問思路2.

思路2：如圖5，在網格中取格點C，連接BC并延長交圓O于點P（也可取網格右下角格點H，連接HB或HC并延長交圓O于點P）.

方法三 構造垂直平分線

網格中亦可以作出特殊的四邊形（菱形、正方形），因此，可以利用特殊四邊形的對角線互相垂直平分，推得角相等，進而得出（1）問的思路3，4，5等.

思路3：如圖6，在網格中取格點F，E，Q，連接MQ，作射線EF交MQ于點N，作射線ON交圓O于點P.

思路4：如圖7，在網格中取格點N，C，E，連接EN，MB相交于點Q，連接CQ并延長交圓O于點P.

思路5：如圖8，在網格中取格點G，N，C，E，F，連接EF，GN相交于點D，作射線OD交圓O于點P.

方法四 構造相似三角形

題目條件中所給的點A，B，M均為格點，因此△ABM為格點三角形.因為AB為直徑，則△ABM是邊長之比為1∶2∶5的格點直角三角形.為此，我們可以構造兩直角邊比為1∶2的直角三角形得出（1）問中的思路6，7，8，9，10等.

思路6：如圖9，在網格中取格點E，F，連接EF并延長交圓O于點P.

思路7：如圖10，在網格中取格點C，連接AC并延長交圓O于點P（類似思路1，證明方法不同）.

思路8：如圖11，在網格中取格點F，C，連接CF交圓O于點P（也可以取D，E，連接CD，CE，DE，DF，EF或延長可得點P），這里通過兩點控制變量，有6種方法得出點P.

思路9：如圖12，在網格中取格點D，C，連接CD交圓O于點P.

思路10：（間接法）如圖13，在網格中取格點E，N，C，D，連接BC交圓O于點Q，連接QO并延長交圓O于點P.

方法五 利用三角函數

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）對于三角函數知識要求為，利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函數值.由于學生提前了解高中相關三角函數的知識，故得出（1）中的思路11，12等.

思路11：如圖14，在網格中取格點E，F，C，連接MC，EF并延長交于點H，連接OH交圓O于點P.

簡證：利用高中三角函數知識，求出∠AOM與∠MOP正切值都等于43，得出點P就是所求的點.

思路12：如圖15，在網格中取格點N，E，連接EN交MO于點Q，連接AQ并延長交圓O于點P.

簡證：這種作法需要利用高中知識作圖，但證明既可以利用高中知識，也可以利用初中知識.由圖直接得出tan∠AEN=43，用高中三角函數誘導公式，可得tan∠AOM=tan（∠EOM－∠EOA）=43.故∠AOM=∠AEN.由“同底同側頂角相等的兩個三角形，四點共圓”，得A，E，O，Q四點共圓，再利用“圓的內接四邊形對角互補”，得出∠AQO=∠AEO=90°，根據垂徑定理，可證明PM=AM.若利用初中知識證明，須以點O為坐標原點，以OE所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，設E（－3，0）、N（1，3）、M（－1，3）、A（－3，1），可先求出直線yEN=34x+94，yOM=－3x，得點Q（－35，95），根據點A（－3，1），可求得yAQ=13x+2，所以kOM·kAQ=－1，所以OM⊥AQ，根據垂徑定理可得PM=AM.

對于【拓展應用】（2）：

思路1：如圖16，在網格中取格點D，連接MD交AB于點P，則滿足AM2=AP·AB.（簡證：連接OA，類比操作探究，可證OA⊥MD，求得∠AMP=∠ABM.）

思路2：如圖17，連接MO并延長交圓O于點E，在網格中取格點F，連接EF并延長交圓O于點Q，連接MQ交AB于點P，則滿足AM2=AP·AB.（類似還可以在網格中取格點G，連接EG交圓O于點Q，連接MQ交AB于點P.）

思路3：如圖18，在網格中取格點D，連接BD并延長交圓O于點E，連接EM交AB于點P，則滿足AM2=AP·AB.（可證格點△AMB≌△ADB，推出∠EBA=∠MBA，證得∠AME=∠MBA.）

思路4：如圖19，在網格中取格點D，連接MD交AB于點P，則滿足AM2=AP·AB.（簡證：證得兩個陰影三角形相似，得∠AMD=∠MBA，類似（2）問思路1，證法不同.）

思路5：如圖20，在網格中取格點C，N，連接CN交AB于點P，則滿足AM2=AP·AB.

也可以在網格中取格點C1，C2，C3，N1，連接任意兩點（或延長）交AB于點P，則滿足AM2=AP·AB.

2.2 典型錯誤剖析

錯解1：審題不清.拓展應用題（1）誤作PM與PB相等.如圖21，在網格中取格點C，連接OC并延長交圓O于點P.

錯解2：作近似點.如圖22，在網格中取格點C，連接OC交圓O于點P.通過計算不難得出，點P是非常接近所求作的點.使用三角函數誘導公式可以求得tan∠AOM=3－131+3×13=43，tan∠MOC=tan（∠MON+∠EOC）=tan∠MON+tan∠EOC1－tan∠MON·tan∠EOC=13+341－13×34=139.

因為tan∠AOM≠tan∠MOC，所以PM≠AM.

錯解3：增加網格.如圖23，由于條件中所給定的網格不能夠完成6×2矩形的構造，在自行添加的網格中取格點C，連接BC交圓O于點P（簡證：連接AC，根據OM∥BC，得∠MOA=∠CBA）.盡管點P就是所求的點，但在自行添加網格的條件下找出的格點是“不守規矩”的作法.因題目所限定的作圖工具為無刻度的直尺，故可以通過原圖的格點構造網格外新的點，作出點P（如圖24，利用格點M，C，E，D，作射線MC，ED）.

3 素養表現

課標（2022年版）總目標是：通過義務教育階段的數學學習，學生逐步會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界［2］（以下簡稱“三會”）.2022年宿遷中考第27題考查學生在操作探究的基礎上，借助網格中的格點，用無刻度的直尺作圖，著重考查以下五個素養：

（1）幾何直觀.拓展應用（1），在BM上找出一點P，使PM=AM，由于題目屬于網格作圖，只有利用網格中的格點才可以作出滿足條件的圖形.根據題目結論可知，若PM等于AM，必定有OM⊥AP.利用直尺可以直觀的找到符合OM⊥AP且經過格點的點（思路1中的C，G）.試題的命制也充分考慮評價公平性，為防止學生答題過程中的無意識操作，利用“投機取巧”也可以做對，故題目要求寫出作法，并給出證明.提出明確的答題指令，杜絕“無意識的操作”也能做對的現象，變為“有目標的思考”并表達.

（2）模型觀念.模型觀念主要是指對運用數學模型解決實際問題有清晰的認識.從“操作探究”到“拓展應用”，由指定任務出發，通過閱讀理解、自主探究、解決問題，獲得新知識、新方法.最后，利用“操作探究”所獲得的數學模型來解決“拓展應用”這一類問題，模型觀念重點考查學生體會和理解數學及數學應用的能力.

（3）推理能力.一方面，中考試題命制要有區分度，在“操作探究”環節，因tan∠BAC=tan∠DCE且tan∠BAC=BCAC=12，故推理得出在Rt△CDE中，tan∠DCE=DECE=12.另一方面，網格作圖和尺規作圖類似，多運用逆向邏輯推理.如拓展應用（1），先把結論PM=AM看作條件，推理得出應該有的結論（OM⊥AP），進而利用“操作探究”中的思想、方法找出BM上符合條件的點P.

（4）運算能力.運算能力是“三會”中學會用數學的思維思考現實世界的重要表現形式之一.操作探究環節，借助格點的特性，構造直角三角形，通過觀察，計算相關三角函數值得出結論.特別是在拓展應用環節1，考生利用原有的知識經驗（思路12），通過構造平面直角坐標系，計算證明格點P就是所求作的格點，盡管繁瑣，但考查了學生用代數的方法推出幾何結論的能力.拓展應用環節2，學生通過嚴謹的計算，若滿足AM2=AP·AB，則AP=22.先算出數值，后定位置，故直接連接小正方形的對角線，確定點P位置.

（5）創新意識.創新意識的培養也是現代數學教育的基本任務.中考試題屬于義務教育階段的終極考查，學生經過三個學段學習（2022年版分為四個學段），積累了豐富的活動經驗，對數學中重要的內容、方法、思想的認知有一定的深度和廣度.莎士比亞說過，“一千個讀者眼中就會有一千個哈姆雷特.”心理學研究也表明，由于每個學生對數學活動經驗的關注點不同，所以在考試特定環境下往往能給出多樣性的解法，考查了學生的創新意識.

4 命題思考

4.1 技能立意，計算解答

“計算+無刻度作圖”是網格題命制的特點.在網格作圖題中，以作圖技能立意的試題通常都比較基礎，考查的知識點比較單一，以格點作圖為主要考查目標.在網格中作圖，最基本、最常規的問題就是利用正方形網格的邊長為1，運用勾股定理計算格點線段的長度，或者利用網格線平行或垂直的基本特征作平行線和垂線.

4.2 思維立意，分析推理

網格作圖題考查的結果是作圖，實際上是以格點為依托，把對學生的邏輯推理能力和分析問題、解決問題的能力的考查融合在一起.為此，網格作圖給了學生多角度探究問題的思路，構圖時可以選用網格中的特殊格點，構造一些特殊四邊形、三角形，借助圖形的性質解決問題.

4.3 素養立意，創新思維

網格作圖題的命制，把考查學生的數學素養放在突出重要的位置，試題要求學生有較強的構圖能力和創造思維能力.很多時候，網格只是賦予了題目一個載體，真正考查的是學生的基本數學素養.知識層面，本題主要考查了軸對稱的性質、垂徑定理、圓周角和圓心角的性質、三角函數的基本思想等；技能層面，主要考查了學生的作圖能力等；基本思想方法層面，主要考查了數形結合思想、幾何直觀和空間觀念、轉化思想等.為此，知識儲備、方法積累、思維積淀、創新意識是解決問題的關鍵.

5 結束語

課標（2022年版）增加了學業質量標準和考試命題建議，并明確提出了“堅持素養立意，凸顯育人價值”的命題原則.“操作探究與拓展應用”類網格作圖題，能夠立足基本數學問題，通過操作探究，積累活動經驗，讓測評發生在知識處于生成狀態或應用狀態的情境之中，通過積累活動經驗解決新問題（拓展應用），考查學生的創新意識和創新能力，最終實現以核心素養為導向的考試命題.

參考文獻

［1］史寧中，曹一鳴.義務教育數學課程標準（2022年版）解讀.北京師范大學出版社，2022.

［2］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］桂文通.整體關聯 局部優化 科學評價［J］.中學數學教學參考（中旬），2021（01）：70-72.

［4］劉光華.注重基礎立素養 提升思維育能力［J］.中學數學教學參考（中旬），2021（03）：69-71.

［5］［美］G·波利亞.怎樣解題［M］.涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社.

作者簡介 許柱（1977—），男，江蘇泗洪人，中小學高級教師;主要研究中學數學教育.周斌（1984—），男，江蘇宿遷人，中小學高級教師;主要研究中學數學教育.