2019年揚州市中考數學壓軸題的解法探究與啟示

張 雪

江蘇省揚州市文津中學 225002

原題呈現

2019年（揚州中考·數學）第28題：如圖1，已知等邊△ABC的邊長為8，點P是AB邊上的一個動點（與點A，B不重合）.直線l是經過點P的一條直線，把△ABC沿直線l折疊，點B的對應點是點B′.

圖1

（1）如圖2，當PB=4時，若點B′恰好在AC邊上，則AB′的長度為______；

圖2

（2）如圖3，當PB=5時，若直線l∥AC，則BB′的長度為______；

圖3

（3）如圖4，點P在AB邊上運動過程中，若直線l始終垂直于AC，△ACB′的面積是否變化？若變化，說明理由；若不變化，求出面積；

圖4

（4）當PB=6時，在直線l變化過程中，求△ACB′面積的最大值.

試題解法探究

（一）對于第（1）問的解法探究

思考方向1：

由題目已知條件可以得到：如圖5，當PB=4時，點P是邊AB的中點，由折疊的性質可以知道PB=PA=PB′；當點B′在邊AC上時，△APB′是等腰三角形，再由△ABC是等邊三角形可知∠A=60°，這樣就可知△APB′是等邊三角形，所以AB′的長度為4.

圖5

思考方向2：

由題目已知條件可以得到：如圖6，當PB=4時，點P是邊AB的中點，由折疊的性質可以知道PB=PA=PB′；因此由圓的集合定義可以知道點A，B，B′在以點P 為圓心，AB 長為直徑的圓上，連接BB′，由直徑所對的圓周角為直角可以知道∠BB′A=90°；再由△ABC是等邊三角形可知∠A=60°，可以知道△BB′A是一個含有60°的直角三角形，由特殊角的三角函數可以求解AB′=AB=4.

圖6

方法感悟本小題雖是動態幾何的基礎，但因動點P的位置確定，而轉化成了“靜態”幾何.學生需要準確地畫出符合條件的圖形，并依據軸對稱的性質、等邊三角形的性質、圓的集合定義、60°角的三角函數來求解.關鍵之處是抓住了“折疊出等腰”、借助折疊不變性，如對應邊相等、對應角相等，實現導角轉化，輕松獲解.

（二）對于第（2）問的解法探究

思考方向1：

由l∥AC 可知△BPE∽△BAC，即△ABC與△PBE都是等邊三角形.由折疊不變性可知△PB′E也是等邊三角形，PB=PB′，所以∠BPB′=120°，再由PB=5，頂角為120°的等腰三角形的腰∶底=可得：BB′=5.（如圖7）

圖7

思考方向2：

如圖7，由“對稱點的連線被折痕垂直平分”可得BB′=2OB.再由l∥AC可知△BPE∽△BAC，即△ABC與△PBE都是等邊三角形，所以∠BPO=60°，結合PB=5，在Rt△OBP中運用60°角的正弦可以求出BO=，所以BB′=5

方法感悟本小題是抓住動直線l與AC平行時，△ABC與△PBE相似，兩個三角形都是等邊三角形.再根據“折疊不變性” 得到△BPB′是一個頂角為120°的等腰三角形.當BP=5長度確定時，根據“定角定比”巧施比例，直接求解.也可以借助“折疊的性質”得到BB′=2OB，當BP=5長度確定時，Rt△OBP就是確定的，并通過解直角三角形求解OB，間接求解BB′.學生抓住了在動點變化中不變的圖形性質以及某些變量確定時帶來的新的變量確定，巧妙地定性分析.然后再結合基本圖形的性質來解答，比如含有120°角的等腰三角形底與腰的特殊比、解直角三角形等.

（三）對于第（3）問的解法探究

思考方向：

由本小題條件可知雖然點P位置不確定，但是過點P的直線l始終都滿足：l⊥AC（如圖8）.再由“對稱點的連線被折痕垂直平分”可以得到l⊥BB′，所以BB′∥AC.依據平行線之間的距離處處相等，再由“同底等高”可知△ACB′面積不變，即S△ACB′=S△ACB=

圖8

方法感悟本小題中因為點P的位置不確定，所以過點P的直線l有無數條.但都滿足l⊥AC，因此直線l是一組互相平行的線，同時點B′隨著直線l 位置的變化而變化，點B′也有無數個，由“對稱點的連線被折痕垂直平分”可知始終都有：BB′⊥l，所以BB′∥AC，即點B與點B′到AC邊的距離相等，所以學生會發現雖然△ACB′的形狀不能確定，但是根據“同底等高” 可以知道△ACB′面積不變.學生在思考本小題的解決方法時，可緊扣“變中有恒”，巧妙轉化，化未知為已知.

（四）對于第（4）問的解法探究

思考方向：

本題中點P位置確定，BP=6，根據“折疊不變性” 可得PB′=PB=6.所以根據圓的集合定義可知：點B′始終在以點P為圓心，6為半徑的定圓上（如圖9）.需要求當過點P的直線l在變化過程中，△ACB′面積的最大值，因AC邊長度為8，所以當點B′到直線AC的距離最大時，△ACB′面積最大.當B′P⊥AC時，垂足為點H，此時距離最大，最大值為B′H（如圖10）.借助于Rt△APH中60°正弦可以求解PH=，所以S△ACB′最大值=

圖9

圖10

方法感悟本小題在點P確定的前提下，結合了點B′的軌跡是圓的思想，及“折疊出隱圓”，從而將問題轉化為“在圓上找一點到直線AC的距離最大”.而圓上一點到已知直線的距離最大是圓學習中常見的基本圖形，在求解過程中又利用基本圖形——直角三角形，通過三角函數求解邊的長度.

本考題中涉及動點P、過P點的直線l、定點關于動直線l的對稱點B′，有三個不確定的量，并且彼此之間有著內在的聯系.第（1）問中確定了點P，B′的位置；第（2）問確定了點P，直線l 的位置都是將“動”變為“靜”，利用折疊不變性解決問題；第（3）問直線l隨著點P的運動而運動，但是始終與邊AC垂直，要求學生能夠“動中求靜”，分析在變化過程中圖形存在的不變的本質性質是什么.學生可以設想“靜態”下圖形的特征，研究“靜態”之下圖形存在的性質；第（3）問中抓住了雖然在變化過程中B′的位置不確定，但是BB′與直線l垂直，即BB′始終與AC平行，發現高不變，進而解決問題；第（4）問中點P位置確定但其他都在變化，透過“動態”現象看本質，尋找不變的關系：PB′=6，可得知點B′的軌跡是圓.再將面積最大值問題轉化為點到直線的距離最大.在整個解答過程中，數學轉化思想被發揮得淋漓盡致.

幾何教學啟示

（一）注重夯實基礎，培養學生運用圖形運動的思維分析幾何圖形的習慣

新課標提出，注重培養學生的“四基”：基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗.

圖形與幾何中的三大圖形變換：圖形平移、旋轉、軸對稱（翻折）.在教學中，既要關注學生對這一部分基本知識、基本性質的掌握，又要注重培養學生學以致用的能力.教師要注重數學基本思想和方法在教學過程中的滲透與梳理，鼓勵學生大膽嘗試，尋找數學本質，達到舉一反三、觸類旁通的學習效果.幾何折疊是近幾年中考中的高頻考題，在平時的復習教學中，教師要讓學生關注折疊變化、深究折疊本質——折疊前后的圖形是全等的，可以導出等角、等邊等結論.學生遇到折疊問題時常常會以直角三角形、等腰（邊）三角形、特殊的四邊形、圓等圖形為背景進行操作，教學中教師要注重培養學生從圖中提煉特殊圖形，并會應用特殊圖形的性質解決問題的能力，引導學生注重知識之間的關聯，學會從復雜圖形中分解出簡單基本的圖形，學會將復雜問題簡單化.

（二）關注專題研究，培養學生數學學科的核心素養，高效組織中考專題復習

數學新課標倡導積極主動、勇于探索的學習方法，注重培養學生的抽象思維和推理能力，注重培養學生的創新意識和實踐能力.課程內容的呈現應注意層次性和多樣性，在平時的中考復習教學過程中多開展“拓展與反思”，讓學生在經歷探究知識的過程中，感悟相關的數學思想，積累數學活動經驗，從而達到提高學生數學學習能力、培養學生數學學科核心素養這一總目標.為了避免過度注重數學模型的反復機械的模仿訓練，教師在挑選專題復習時，在緊扣教學大綱的前提下要學會創造性地使用教材以及各地具有代表性的中考試題等，并進行有機整合，分解題干中的條件和結論，將零散的條件以問題串的形式出現，讓學生主動參與、合作探究、歸納總結，引發學生的數學思考，給每位學生足夠的時間和空間進行深度思考和學習，在時間緊、任務重的前提下提高中考復習的效率.