梯度空心多孔結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

田啟華 舒正濤 付君健 杜義賢 周祥曼 田 磊

1.三峽大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院，宜昌，443002

2.水電機(jī)械設(shè)備設(shè)計(jì)與維護(hù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，宜昌，443002

0 引言

空心多孔結(jié)構(gòu)是基于實(shí)心多孔結(jié)構(gòu)改進(jìn)的新形式，以實(shí)心多孔結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，去除內(nèi)部材料，保留一定外殼厚度，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的空心化[1]。空心多孔結(jié)構(gòu)具有承載、吸能、吸聲以及隔振等優(yōu)良的性能[2-5]，廣泛應(yīng)用于汽車(chē)、船舶和航空航天等領(lǐng)域。然而傳統(tǒng)的建模方法難以實(shí)現(xiàn)空心結(jié)構(gòu)復(fù)雜的幾何特征描述，且均勻的周期性結(jié)構(gòu)無(wú)法充分發(fā)揮其力學(xué)性能，在實(shí)際工程應(yīng)用中存在一定的局限性，因此，需要進(jìn)一步探索和發(fā)展空心多孔結(jié)構(gòu)參數(shù)化建模技術(shù)，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)功能特性的調(diào)控。

先進(jìn)制造技術(shù)的發(fā)展為空心多孔結(jié)構(gòu)的應(yīng)用提供了強(qiáng)有力的支撐。目前，可采用焊接成形[6-7]、熱膨脹模塑成形[8]和增材制造[9-10]等技術(shù)，制備出菱形、金字塔型、四面體型及三周期極小曲面等空心多孔結(jié)構(gòu)。空心多孔結(jié)構(gòu)壓縮和剪切工況是工程應(yīng)用中最常見(jiàn)的應(yīng)用場(chǎng)景，通過(guò)研究不同材料的單胞構(gòu)型發(fā)現(xiàn)，空心多孔結(jié)構(gòu)的壓縮和剪切強(qiáng)度優(yōu)于實(shí)心多孔結(jié)構(gòu)，特別是面外壓縮強(qiáng)度，是相同密度下實(shí)心多孔結(jié)構(gòu)的2倍以上[6-7]。有限元數(shù)值仿真也表明，相對(duì)密度為0.9%～5.8%的空心金字塔型多孔結(jié)構(gòu)的壓縮和剪切強(qiáng)度可達(dá)相同密度實(shí)心多孔結(jié)構(gòu)的3～5倍[11]。盡管在空心多孔結(jié)構(gòu)的制備上具有成熟的制造技術(shù)，但目前涉及空心多孔結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法較少[12-13]。大多研究都采用形狀單一的空心圓管或者方管進(jìn)行設(shè)計(jì)，通過(guò)調(diào)整空心桿件的尺寸、偏角或壁厚等幾何參數(shù)，實(shí)現(xiàn)空心多孔結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的調(diào)控[1，4，14]。然而，空心多孔結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能與其幾何構(gòu)型存在復(fù)雜的耦合關(guān)系，進(jìn)一步研究參數(shù)化建模技術(shù)，實(shí)現(xiàn)空心多孔結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)幾何構(gòu)型和力學(xué)性能的調(diào)控是一個(gè)亟待解決的關(guān)鍵問(wèn)題。

此外，空心多孔結(jié)構(gòu)的分布形式對(duì)力學(xué)性能也有重要的影響。相對(duì)密度均勻的周期性多孔結(jié)構(gòu)無(wú)法充分發(fā)揮空心結(jié)構(gòu)單胞的性能優(yōu)勢(shì)，通過(guò)空心多孔結(jié)構(gòu)的梯度設(shè)計(jì)可進(jìn)一步提高空心結(jié)構(gòu)力學(xué)性能。功能梯度多孔結(jié)構(gòu)的性能依賴(lài)于周期性細(xì)/微觀結(jié)構(gòu)的拓?fù)錁?gòu)型，無(wú)需改變結(jié)構(gòu)的材料組分即可實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)特定的功能設(shè)計(jì)[15]。一些學(xué)者提出了關(guān)于極小曲面的功能梯度多孔結(jié)構(gòu)建模方法，如B樣條插值曲線和多項(xiàng)式插值函數(shù)[16-17]等，實(shí)現(xiàn)了多孔結(jié)構(gòu)的梯度漸變。梯度多孔結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)實(shí)際上是考慮設(shè)計(jì)域內(nèi)材料屬性的連續(xù)變化，本質(zhì)上與拓?fù)鋬?yōu)化方法類(lèi)似[18-19]，故可利用拓?fù)鋬?yōu)化方法開(kāi)展梯度多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[20-21]，如密度映射方法[22-23]、材料/結(jié)構(gòu)一體化優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[24-25]等。上述幾類(lèi)方法豐富了梯度結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)理論和工程應(yīng)用，但仍存在一些亟待解決的問(wèn)題，如多孔結(jié)構(gòu)整體體積分?jǐn)?shù)不易準(zhǔn)確控制、結(jié)構(gòu)邊界連續(xù)性難以保證。需要說(shuō)明的是，上述研究大多側(cè)重于梯度結(jié)構(gòu)吸能特性的提升，結(jié)構(gòu)的承載性能還存在一定的不足[26]。因此，引入性能更優(yōu)的空心多孔結(jié)構(gòu)單胞，研究穩(wěn)定、高效的梯度空心多孔結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，將為空心多孔結(jié)構(gòu)的創(chuàng)新設(shè)計(jì)和承載性能的提升提供一個(gè)新的思路。

為實(shí)現(xiàn)空心多孔結(jié)構(gòu)的參數(shù)化建模、提高多孔結(jié)構(gòu)的承載性能，本文提出了一種梯度空心多孔結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。對(duì)I-WP型三周期極小曲面進(jìn)行布爾運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)了空心多孔結(jié)構(gòu)單胞的隱式建模；通過(guò)構(gòu)造混合水平集函數(shù)，建立了梯度多孔結(jié)構(gòu)的參數(shù)化模型；利用水平集演化出空心多孔結(jié)構(gòu)在空間中最優(yōu)材料分布形式，得到了具有良好連續(xù)性和優(yōu)良承載性能的梯度空心多孔結(jié)構(gòu)，并通過(guò)數(shù)值案例和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文所提方法的可行性與有效性。

1 I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)參數(shù)化建模

水平集方法的基本思想是將曲線(或曲面)隱式地表達(dá)為一個(gè)高維函數(shù)Φ(X)的等值面，通過(guò)追蹤高維函數(shù)Φ(X)的運(yùn)動(dòng)來(lái)達(dá)到描述曲線(或曲面)變化的目的[27]。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為[28]

?Ω(X)={X：Φ(X)=0，X∈D}

(1)

式中，X為高維空間的物理坐標(biāo)；D為包含曲線?Ω(或曲面的)的空間；Ω為幾何結(jié)構(gòu)的實(shí)體區(qū)域；?Ω為實(shí)體區(qū)域與空洞區(qū)域的邊界。?Ω=ΓD∪ΓN∪Γf，包含Dirichlet邊界ΓD、Neumann邊界ΓN和無(wú)牽引力邊Γf。

水平集函數(shù)隱式地描述了結(jié)構(gòu)形狀Ω，定義如下：

(2)

圖1所示為水平集函數(shù)的隱式描述方式，對(duì)于三維的結(jié)構(gòu)邊界，需要四維的水平集函數(shù)來(lái)描述。

圖1 四維水平集函數(shù)及零等值面

三周期極小曲面結(jié)構(gòu)具有低密度、高比強(qiáng)度、設(shè)計(jì)性強(qiáng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)勢(shì)以及良好的制造優(yōu)勢(shì)，如具備自支撐能力、良好的排屑性能[29]，是梯度多孔結(jié)構(gòu)的主要代表性體積單胞之一。本文將采用I-WP型極小曲面作為宏觀結(jié)構(gòu)的代表性體積單胞，實(shí)現(xiàn)梯度空心多孔結(jié)構(gòu)的參數(shù)化建模。

極小曲面的數(shù)學(xué)表達(dá)式是一種三維隱式水平集函數(shù)，在I-WP型極小曲面函數(shù)中引入水平參數(shù)r可控制極小曲面體積分?jǐn)?shù)的變化[30]，其表達(dá)式為

(3)

式中，ФI(x，y，z，r)為極小曲面數(shù)學(xué)表達(dá)式；x，y，z為高維空間的物理坐標(biāo)；L為極小曲面單胞的邊長(zhǎng)。

為了設(shè)計(jì)I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)，定義兩個(gè)I-WP型極小曲面，水平參數(shù)分別定義為r1和r2，得到兩個(gè)體積分?jǐn)?shù)不同的極小曲面多孔結(jié)構(gòu)。將水平參數(shù)為r2的極小曲面多孔結(jié)構(gòu)作為基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，通過(guò)差集布爾運(yùn)算，得到I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)表達(dá)式[31]。差集布爾運(yùn)算的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

Φ=min(Φ(x，y，z，r2)，-Φ(x，y，z，r1))

(4)

通過(guò)調(diào)整水平參數(shù)r1可以得到不同壁厚的空心單胞，布爾運(yùn)算過(guò)程如圖2所示。

圖2 I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)布爾運(yùn)算過(guò)程

極小曲面是隱式函數(shù)，其隱式特性使其具有布爾運(yùn)算簡(jiǎn)便、結(jié)構(gòu)邊界清晰、拓?fù)淇勺兡芰?qiáng)等特點(diǎn)，與CAD/CAE等軟件的結(jié)合也較為方便。將水平集函數(shù)的零等值面轉(zhuǎn)化為模型三角面片的幾何信息即每個(gè)三角面片的法矢量和頂點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得到二進(jìn)制STL文件，進(jìn)而對(duì)模型進(jìn)行后處理。模型后處理過(guò)程如圖3所示，首先對(duì)原始STL模型表面三角面片上存在的孔洞、縫隙、重疊或相交等缺陷進(jìn)行修復(fù)，使其滿足模型實(shí)體化要求；再將模型表面三角面片縫合，形成實(shí)體。實(shí)體化是模型在CAD軟件中進(jìn)行布爾運(yùn)算、打孔、修剪等操作的前提，實(shí)體化后的模型也便于與CAE軟件結(jié)合，進(jìn)行力學(xué)仿真等操作。

圖3 I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)模型處理

2 空心多孔結(jié)構(gòu)彈性性能分析

為說(shuō)明I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)的性能優(yōu)勢(shì)，采用數(shù)值均勻化法[32]計(jì)算I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)和實(shí)心多孔結(jié)構(gòu)的等效彈性矩陣，揭示空心多孔結(jié)構(gòu)的宏觀等效力學(xué)特性。

多孔結(jié)構(gòu)等效彈性張量CH的表達(dá)式為

(5)

式中，|V|為單胞的體積；Ve為單元e的體積；I為六階單位矩陣；Be為單元應(yīng)變-位移矩陣；χe為單元位移向量；De為單元本構(gòu)矩陣。

基于I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)的高度對(duì)稱(chēng)性，其等效彈性矩陣可以簡(jiǎn)化為

(6)

使用等效彈性矩陣中的分量來(lái)計(jì)算多孔結(jié)構(gòu)的等效彈性模量EH、等效剪切模量GH和等效泊松比υH：

EH=(C112+C11C12-2C122)/(C11+C12)

(7)

GH=C44

(8)

(9)

剛度θ作為多孔結(jié)構(gòu)彈性性能的度量指標(biāo)[33]：

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中，EHSU、GHSU和νHSU分別為引入HS理論極限的體積模量、剪切模量和泊松比；ρ為多孔結(jié)構(gòu)的相對(duì)密度；Gb、Kb分別為材料的剪切模量和體積模量。

式(10)～式(14)中，取材料彈性模量(量綱一化)為1，泊松比為0.3，則Gb=1/2.6，Kb=1/1.2。

采用I-WP型空心/實(shí)心單胞的梯度多孔結(jié)構(gòu)剛度對(duì)比數(shù)據(jù)如圖4所示，數(shù)據(jù)結(jié)果表明，I-WP型空心結(jié)構(gòu)在任意體積分?jǐn)?shù)下的剛度均高于實(shí)心多孔結(jié)構(gòu)，但隨著體積分?jǐn)?shù)的增大，實(shí)心單胞剛度逐漸逼近空心單胞。

圖4 不同體積分?jǐn)?shù)的結(jié)構(gòu)剛度對(duì)比

為進(jìn)一步說(shuō)明I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)單胞的力學(xué)性能優(yōu)勢(shì)，分別對(duì)體積分?jǐn)?shù)為0.2～0.7的I-WP型空心/實(shí)心單胞進(jìn)行有限元分析。材料設(shè)置為尼龍PA2200，與后續(xù)的仿真和實(shí)驗(yàn)材料保持一致。具體材料屬性如下：彈性模量741 MPa，屈服強(qiáng)度54 MPa，泊松比0.3，密度1020 kg/m3。多孔結(jié)構(gòu)單胞的邊界條件如圖5a所示，單胞下平面為固定約束，上平面施加豎直向下的均布載荷，F(xiàn)=500 N。

在相同載荷下，兩種結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的最大位移與最大應(yīng)力對(duì)比如圖5b、圖5c所示。單胞位移與應(yīng)力變化趨勢(shì)較為相似，隨著體積分?jǐn)?shù)的增大，空心、實(shí)心單胞的性能差距逐漸縮小，但空心單胞產(chǎn)生的位移與應(yīng)力始終比實(shí)心單胞小，說(shuō)明了空心多孔結(jié)構(gòu)單胞具有更優(yōu)良的力學(xué)性能。

(a)邊界條件

3 空心多孔結(jié)構(gòu)混合水平集描述

3.1 混合水平集函數(shù)構(gòu)造

三周期極小曲面多孔結(jié)構(gòu)采用參數(shù)化數(shù)學(xué)函數(shù)進(jìn)行幾何描述，具有較強(qiáng)的可設(shè)計(jì)性[16]：①通過(guò)調(diào)整極小曲面單胞的邊長(zhǎng)L或水平控制參數(shù)r，可控制極小曲面構(gòu)型和體積分?jǐn)?shù)的變化；②對(duì)不同類(lèi)型的三周期極小曲面進(jìn)行混合設(shè)計(jì)，可得到具有新型結(jié)構(gòu)特征的多孔結(jié)構(gòu)。基于以上特點(diǎn)，可以引入凸優(yōu)化理論中的仿射概念[34]：對(duì)于集合Q?R，如果通過(guò)集合Q中任意兩個(gè)不同點(diǎn)之間的直線仍然在集合Q中，則稱(chēng)集合Q為仿射集。

利用相似的概念，對(duì)兩種不同的空心極小曲面結(jié)構(gòu)的混合設(shè)計(jì)過(guò)程進(jìn)行定義，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

ΦH=sΦ1+(1-s)Φ2

(15)

式中，ΦH為具有新型結(jié)構(gòu)特征的空心極小曲面函數(shù)；Φ1和Φ2為兩種預(yù)定義的空心極小曲面水平集函數(shù)；s為設(shè)計(jì)參數(shù)，即兩種預(yù)定義空心極小曲面結(jié)構(gòu)的相對(duì)權(quán)重。

基于式(15)，預(yù)定義兩種空心多孔結(jié)構(gòu)單胞的水平集函數(shù)，并引入權(quán)重系數(shù)，構(gòu)造梯度空心多孔結(jié)構(gòu)的混合水平集函數(shù)，實(shí)現(xiàn)多孔結(jié)構(gòu)的參數(shù)化建模。采用隱式水平集函數(shù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)幾何描述：

(16)

式中，w(t)為權(quán)重系數(shù)矢量，是關(guān)于宏觀時(shí)間t的變量，每一元素值取值范圍為[0,1]；x為設(shè)計(jì)域D的內(nèi)空間物理坐標(biāo)；φ1(x)和φ2(x)分別為預(yù)定義的兩種空心多孔結(jié)構(gòu)單胞的水平集函數(shù)。

通過(guò)調(diào)整權(quán)重系數(shù)w(t)，可以靈活地控制空心多孔結(jié)構(gòu)單胞的壁厚，同時(shí)改變了單胞的體積分?jǐn)?shù)。為進(jìn)一步說(shuō)明權(quán)重系數(shù)對(duì)空心多孔結(jié)構(gòu)單胞壁厚和體積分?jǐn)?shù)的影響，預(yù)定義兩個(gè)量綱一尺寸為50×50×50的空心多孔結(jié)構(gòu)單胞，根據(jù)式(3)、式(4)，定義可變水平參數(shù)r1為13.3、-4.69，固定參數(shù)r2=-11，得到兩個(gè)空心多孔結(jié)構(gòu)單胞φ1(x)和φ2(x)，其體積分?jǐn)?shù)為0.7、0.15，單胞壁厚分別為10.44、1.94(量綱一單位)。通過(guò)調(diào)整權(quán)重系數(shù)發(fā)現(xiàn)，權(quán)重系數(shù)對(duì)單胞壁厚的影響程度主要分為三個(gè)階段，即權(quán)重系數(shù)為0～0.2、0.3～0.8、0.9～1。權(quán)重系數(shù)與單胞壁厚、體積分?jǐn)?shù)的詳細(xì)關(guān)系如表1所示。I-WP型極小曲面空心單胞幾何特征較為復(fù)雜，因此，權(quán)重系數(shù)和單胞壁厚并不是嚴(yán)格的線性關(guān)系。

表1 權(quán)重系數(shù)與單胞參數(shù)關(guān)系

3.2 梯度空心多孔結(jié)構(gòu)C0連續(xù)性建模

在梯度空心多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過(guò)程中，良好的連續(xù)性是多孔結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能與后期制造性能的基本保障[35-36]。為了保證多孔結(jié)構(gòu)邊界的連續(xù)性過(guò)渡，本文基于混合水平集方法構(gòu)造全局更新-局部插值的設(shè)計(jì)變量更新策略，實(shí)現(xiàn)梯度空心多孔結(jié)構(gòu)C0連續(xù)性建模。

將設(shè)計(jì)域離散為M個(gè)單胞，具有m個(gè)節(jié)點(diǎn)。任意一個(gè)單胞C可以進(jìn)一步離散為若干八節(jié)點(diǎn)六面體單元，如圖6所示。

圖6 設(shè)計(jì)域離散與設(shè)計(jì)變量定義

全局設(shè)計(jì)變量可表示為[35]

w(t)=[w1(t)w2(t) …wm(t)]Τ

(17)

式中，w(t)為定義在單胞節(jié)點(diǎn)上的宏觀設(shè)計(jì)變量，即全局權(quán)重系數(shù)；m為設(shè)計(jì)域單胞節(jié)點(diǎn)數(shù)，即全局設(shè)計(jì)變量的數(shù)目。

對(duì)于編號(hào)為C的三維多孔結(jié)構(gòu)單胞，8個(gè)節(jié)點(diǎn)上的權(quán)重系數(shù)是全局權(quán)重系數(shù)向量的子向量：

(18)

(19)

式中，省略位置的數(shù)值均為0。

(20)

對(duì)于八節(jié)點(diǎn)六面體線性單元，其形函數(shù)Ni定義為

(21)

其中，i(i=1，2，…，8)為單元節(jié)點(diǎn)序號(hào)，ξ0=ξiξ，η0=ηiη，ζ0=ζiζ，ξi=±1，ηi=±1，ζi=±1，ξ、η、ζ為局部坐標(biāo)系下單元內(nèi)部點(diǎn)坐標(biāo)。

單胞C上所有節(jié)點(diǎn)的權(quán)重系數(shù)wC(t)可表示為

(22)

在不添加額外的幾何約束或?qū)?yōu)化結(jié)構(gòu)進(jìn)行后處理的情況下，結(jié)構(gòu)邊界會(huì)出現(xiàn)幾何突變，相鄰單胞邊界的連續(xù)性無(wú)法得到保證，如圖7a所示。由圖6所示的設(shè)計(jì)變量定義可知，相鄰單胞在公共節(jié)點(diǎn)上定義了相同的權(quán)重系數(shù)，對(duì)全局權(quán)重系數(shù)進(jìn)行插值時(shí)，能夠自然地保證線性插值函數(shù)的連續(xù)性，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了梯度多孔結(jié)構(gòu)C0連續(xù)，而不需要添加額外的幾何約束。圖7b所示為引入插值策略后的梯度多孔結(jié)構(gòu)，可以發(fā)現(xiàn)，相鄰空心結(jié)構(gòu)單胞邊界具有良好幾何連續(xù)性，實(shí)現(xiàn)了單胞壁厚的連續(xù)漸變。

(a)原始梯度空心多孔結(jié)構(gòu)

4 拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型與靈敏度分析

4.1 拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

以結(jié)構(gòu)剛度性能為目標(biāo)函數(shù)，多孔結(jié)構(gòu)體積分?jǐn)?shù)為約束條件，建立基于混合水平集方法的梯度空心多孔結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型：

(23)

彈性平衡方程的弱形式中，能量雙線性形式aФ(u，v)和載荷線性形式lФ(v)分別為

(24)

(25)

其中，f為應(yīng)用在邊界?Ω上的牽引力，p為體積力，|Ф|為水平集函數(shù)梯度的模。δ(Ф)為Dirac函數(shù)，是Heaviside函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式：

(26)

這里，γ=0.001，Δ為Heaviside函數(shù)近似的半帶寬。

4.2 靈敏度分析

本文采用形狀導(dǎo)數(shù)敏度[15，37]分析方法推導(dǎo)目標(biāo)函數(shù)、能量雙線性形式、載荷線性形式關(guān)于宏觀時(shí)間變量t的微分形式，進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

(27)

(28)

式中，vn為法向速度；n為法向單位向量。

以全局權(quán)重系數(shù)w(t)作為設(shè)計(jì)變量，對(duì)Hamilton-Jacobi偏微分方程進(jìn)行時(shí)空解耦，從而將水平集函數(shù)參數(shù)化。將混合水平集函數(shù)代入Hamilton-Jacobi偏微分方程，得到僅關(guān)于時(shí)間t的常微分方程，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(29)

可得水平集函數(shù)邊界演化的法向速度：

(30)

將式(30)代入式(27)得

(31)

采用鏈?zhǔn)椒▌t對(duì)目標(biāo)函數(shù)J(Φ)直接求其關(guān)于時(shí)間變量t的導(dǎo)數(shù)：

(32)

比較式(31)和式(32)可以得到目標(biāo)函數(shù)J(Φ)關(guān)于設(shè)計(jì)變量w(t)的靈敏度：

(33)

同理得到體積約束g(Φ)關(guān)于設(shè)計(jì)變量w(t)的靈敏度：

(34)

5 數(shù)值案例

梯度空心多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)流程如圖 8所示。首先對(duì)I-WP型實(shí)心單胞進(jìn)行布爾運(yùn)算，獲得空心單胞，再利用混合水平集函數(shù)實(shí)現(xiàn)多孔結(jié)構(gòu)參數(shù)化建模，最后求解拓?fù)鋬?yōu)化模型，得到幾何和功能在空間呈梯度分布的空心多孔結(jié)構(gòu)。

圖8 梯度空心多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)流程

本文將采用OC(optimality criteria)作為優(yōu)化求解算法，對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。OC算法具有簡(jiǎn)單直接、迭代收斂快的特點(diǎn)，對(duì)單約束條件下的大規(guī)模結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題求解尤為高效[38]。在優(yōu)化算法中，給定收斂準(zhǔn)則如下：

(35)

式中，J為目標(biāo)函數(shù)值；n為當(dāng)前迭代步數(shù)；nmax為最大迭代步數(shù)。

為了驗(yàn)證本文提出方法的可行性與有效性，分別基于I-WP型空心和實(shí)心多孔結(jié)構(gòu)單胞，給出三維懸臂梁梯度多孔結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化算例。在本節(jié)的優(yōu)化過(guò)程中，本文給出的量均為量綱一單位，在有限元分析中，按照實(shí)際模型尺寸以及負(fù)載為參數(shù)給出了相應(yīng)的剛度。

5.1 采用空心多孔結(jié)構(gòu)單胞的懸臂梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化

圖9所示為三維懸臂梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域，設(shè)計(jì)域長(zhǎng)寬高分別為L(zhǎng)=120，W=20，H=50。設(shè)計(jì)域的右端面為固定約束，上平面距離左邊界L/12處施加豎直向下的均布載荷F=-10。設(shè)計(jì)域離散為12×2×5個(gè)單胞，每個(gè)單胞進(jìn)一步離散為50×50×50個(gè)八節(jié)點(diǎn)六面體單元。設(shè)計(jì)域體積分?jǐn)?shù)約束為0.45。選取I-WP型空心多孔結(jié)構(gòu)作為預(yù)定義多孔結(jié)構(gòu)單胞，如圖10所示，其體積分?jǐn)?shù)分別為0.2、0.6，單胞外形尺寸一致，壁厚尺寸不同。

圖9 三維懸臂梁設(shè)計(jì)域

圖10 預(yù)定義空心多孔結(jié)構(gòu)單胞

圖11所示為采用I-WP型空心單胞的懸臂梁拓?fù)鋬?yōu)化迭代曲線，隨著優(yōu)化的進(jìn)行，結(jié)構(gòu)柔度逐漸減小，經(jīng)過(guò)61次迭代后，結(jié)構(gòu)柔度從15 064.27收斂至8551.08，體積分?jǐn)?shù)收斂至0.45。根據(jù)優(yōu)化迭代曲線可知，提出的梯度空心多孔結(jié)構(gòu)混合水平集優(yōu)化算法運(yùn)行穩(wěn)定，收斂性較好。

圖11 采用I-WP型空心單胞的懸臂梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化迭代曲線

懸臂梁結(jié)構(gòu)最優(yōu)構(gòu)型如圖12所示，結(jié)構(gòu)輪廓清晰，在主要傳遞力路徑上，空心單胞壁厚較厚，其他區(qū)域空心單胞體積分?jǐn)?shù)較小，保留最小壁厚尺寸。優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)在幾何上和密度上呈現(xiàn)出明顯的梯度分布，單胞自身根據(jù)外部載荷和邊界條件在空間中表現(xiàn)出不同的方向梯度。從這個(gè)意義上說(shuō)，該方法不僅獲得了結(jié)構(gòu)最佳材料空間分布，還實(shí)現(xiàn)了最優(yōu)梯度單胞構(gòu)型設(shè)計(jì)。此外，在優(yōu)化過(guò)程中，由于相鄰單胞公共節(jié)點(diǎn)上的權(quán)重系數(shù)是相同的，故保證了線性插值函數(shù)的連續(xù)性，從而實(shí)現(xiàn)了單胞幾何邊界的連續(xù)過(guò)渡，也使得優(yōu)化后的梯度空心多孔結(jié)構(gòu)具有較好的力學(xué)性能。

圖12 采用空心單胞的懸臂梁最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型

設(shè)計(jì)域中單胞的梯度變化是通過(guò)單胞節(jié)點(diǎn)上的權(quán)重系數(shù)控制的，在結(jié)構(gòu)主要的傳遞力路徑上，權(quán)重系數(shù)分布的數(shù)值較大，生成壁厚較厚的單胞。對(duì)于設(shè)計(jì)域中承載作用貢獻(xiàn)小的區(qū)域，權(quán)重系數(shù)分布的數(shù)值較小，從而填充薄壁單胞。在傳統(tǒng)的拓?fù)鋬?yōu)化中，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)只保留了受力材料，當(dāng)傳遞力路徑位置上的材料被破壞時(shí)，會(huì)嚴(yán)重影響結(jié)構(gòu)整體的力學(xué)性能[16]。而在本文所提出的方法中，通過(guò)控制預(yù)設(shè)單胞的體積分?jǐn)?shù)，使得設(shè)計(jì)域內(nèi)分布一系列壁厚不同的空心梯度單胞，極大地提高了結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和整體剛度性能。

5.2 采用實(shí)心多孔結(jié)構(gòu)單胞的懸臂梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化

為了說(shuō)明優(yōu)化方法的有效性，采用實(shí)心多孔結(jié)構(gòu)單胞對(duì)懸臂梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。選取圖13所示的I-WP型實(shí)心結(jié)構(gòu)作為預(yù)定義多孔結(jié)構(gòu)單胞，其體積分?jǐn)?shù)分別為0.2、0.6。圖14所示為采用實(shí)心單胞的懸臂梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化迭代曲線，經(jīng)過(guò)61次迭代后，目標(biāo)函數(shù)和體積約束曲線收斂。初始均勻多孔結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)柔度為53 731.06，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)柔度為10 954.80。

圖13 預(yù)定義實(shí)心多孔結(jié)構(gòu)單胞

圖14 采用I-WP型實(shí)心單胞的懸臂梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化迭代曲線

由于預(yù)定義的I-WP型實(shí)心多孔結(jié)構(gòu)單胞最小體積分?jǐn)?shù)為0.2，故多孔結(jié)構(gòu)被填充到整個(gè)設(shè)計(jì)域內(nèi)。在傳遞力路徑上的單胞多孔結(jié)構(gòu)單胞的體積分?jǐn)?shù)較大，其他區(qū)域則分布較少的材料，結(jié)構(gòu)在幾何和密度上也呈現(xiàn)出明顯的梯度分布。由圖15發(fā)現(xiàn)，體積分?jǐn)?shù)不同的單胞邊界之間過(guò)渡連續(xù)，可有效避免多孔結(jié)構(gòu)承載時(shí)出現(xiàn)的應(yīng)力集中現(xiàn)象，也保證了后期的可制造性。

圖15 采用實(shí)心單胞的懸臂梁最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型

在上述兩個(gè)算例中，分別采用了I-WP型空心和實(shí)心單胞對(duì)懸臂梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化。根據(jù)優(yōu)化結(jié)果可知，采用本文提出的混合水平集拓?fù)鋬?yōu)化算法，均可不同程度地提高結(jié)構(gòu)的承載性能，得到幾何上和密度上呈梯度分布的多孔結(jié)構(gòu)。根據(jù)圖11和圖14繪制了兩種優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)柔度對(duì)比圖，如圖16所示。在結(jié)構(gòu)體積分?jǐn)?shù)設(shè)置為0.45條件下，優(yōu)化后的梯度結(jié)構(gòu)柔度分別為8551.08、10 954.80。優(yōu)化結(jié)果表明，在相同體積分?jǐn)?shù)下，梯度空心多孔結(jié)構(gòu)的承載能力可提高21.94%，說(shuō)明本文方法具有顯著的優(yōu)化效果。

圖16 結(jié)構(gòu)柔度對(duì)比

5.3 優(yōu)化結(jié)構(gòu)的有限元分析

為了對(duì)比分析優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)在線彈性范圍內(nèi)的靜承載性能，分別對(duì)兩種結(jié)構(gòu)進(jìn)行了有限元分析。定義結(jié)構(gòu)的材料為尼龍PA2200，與后續(xù)實(shí)驗(yàn)樣件材料保持一致，在本文第2節(jié)中給出了材料屬性的具體數(shù)值。邊界條件按照?qǐng)D9設(shè)置，繪制了結(jié)構(gòu)載荷與最大位移曲線，如圖17所示。由有限元仿真結(jié)果可知，在相同的靜載荷下，梯度空心多孔結(jié)構(gòu)的變形位移明顯小于相同體積分?jǐn)?shù)的實(shí)心多孔結(jié)構(gòu)，表明空心多孔結(jié)構(gòu)的承載性能更優(yōu)。在線彈性范圍內(nèi)，結(jié)構(gòu)變形量與負(fù)載成線性關(guān)系，根據(jù)載荷-位移曲線可知，采用I-WP型空心和實(shí)心單胞的梯度多孔結(jié)構(gòu)整體剛度分別為63.86 N/mm、51.95 N/mm，結(jié)構(gòu)剛度提高了約22.92%。

圖17 載荷-最大位移仿真曲線

6 懸臂梁結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證采用空心或?qū)嵭膯伟奶荻榷嗫捉Y(jié)構(gòu)承載性能，對(duì)優(yōu)化結(jié)構(gòu)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，用于實(shí)驗(yàn)的模型結(jié)構(gòu)尺寸和體積分?jǐn)?shù)與5.1節(jié)中給定的參數(shù)保持一致，L=120 mm，W=20 mm，H=50 mm。同時(shí)，為了便于夾持和固定樣件，在模型右側(cè)設(shè)置尺寸為15 mm×20 mm×50 mm的實(shí)體區(qū)域。選用EOS-P760型3D打印機(jī)，采用選擇性激光燒結(jié)(selective laser sintering，SLS)技術(shù)制造了懸臂梁模型樣件，結(jié)構(gòu)材料為尼龍PA2200，如圖18所示。

(a)采用空心單胞的懸臂梁樣件

根據(jù)相關(guān)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，在室溫條件下，采用WDW-100E型電子式萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行懸臂梁實(shí)驗(yàn)。圖19所示為樣件實(shí)驗(yàn)裝置，包括夾持樣件的臺(tái)鉗、固定臺(tái)、萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)等。在盡可能保證結(jié)構(gòu)邊界條件一致的情況下，萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)壓頭以20 mm/min的動(dòng)態(tài)載荷垂直加載，模擬準(zhǔn)靜態(tài)壓縮條件，加載時(shí)間為30 s。利用萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)記錄加載過(guò)程中的位移和相應(yīng)的載荷。

圖19 實(shí)驗(yàn)裝置

萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)壓頭向下移動(dòng)行程約為10 mm，取位移區(qū)間0～8 mm為有效行程，樣件的實(shí)驗(yàn)荷載-位移曲線如圖20所示。通過(guò)線性回歸計(jì)算了樣件的整體剛度，采用I-WP型空心和實(shí)心單胞的梯度結(jié)構(gòu)樣件的整體剛度分別為65.89 N/mm、47.92 N/mm。得到的剛度值表明，采用空心單胞的梯度結(jié)構(gòu)剛度性能明顯優(yōu)于采用實(shí)心單胞的梯度結(jié)構(gòu)。此外，結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度還可以通過(guò)在相同變形下承受的載荷大小來(lái)評(píng)估。如圖20所示，當(dāng)萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)壓頭向下位移達(dá)到8 mm時(shí)，空心單胞梯度結(jié)構(gòu)承受的載荷為487.4 N，實(shí)心單胞梯度結(jié)構(gòu)承受的載荷為383.0 N，說(shuō)明采用空心單胞的梯度結(jié)構(gòu)具有較好的承載性能。

圖20 兩種樣件的負(fù)載-位移曲線

本文分別對(duì)兩種結(jié)構(gòu)進(jìn)行了有限元分析與實(shí)驗(yàn)研究，仿真與實(shí)驗(yàn)的結(jié)果具有較好的一致性，其誤差均在5%左右。有限元分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果均表明，相較于采用實(shí)心單胞的梯度多孔結(jié)構(gòu)，本文所設(shè)計(jì)的梯度空心多孔結(jié)構(gòu)的剛度和強(qiáng)度有顯著提高。

7 結(jié)論

本文提出了一種梯度空心多孔結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，對(duì)I-WP型三周期極小曲面進(jìn)行布爾運(yùn)算實(shí)現(xiàn)了空心多孔結(jié)構(gòu)單胞的參數(shù)化設(shè)計(jì)；引入凸優(yōu)化理論的仿射概念，構(gòu)造混合水平集函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了梯度空心多孔結(jié)構(gòu)的參數(shù)化建模。對(duì)優(yōu)化結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元仿真分析，并采用選擇性激光燒結(jié)技術(shù)制造了模型樣件，開(kāi)展了力學(xué)實(shí)驗(yàn)。數(shù)值案例和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提方法能夠有效地解決空心多孔結(jié)構(gòu)復(fù)雜的幾何特征建模問(wèn)題，顯著提高多孔結(jié)構(gòu)的承載性能。在實(shí)際工程問(wèn)題中，結(jié)構(gòu)需要面對(duì)復(fù)雜的物理場(chǎng)問(wèn)題，可在本文方法中考慮結(jié)構(gòu)的吸能特性、屈曲穩(wěn)定性或散熱特性等，實(shí)現(xiàn)面向多功能、多物理場(chǎng)的梯度空心多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。