研究初中數學中的幾何以及培養學生抽象能力的方法

摘要：幾何在數學學科研究和學習當中是一個非常重要的模塊，而學生真正地開始接觸幾何就是從初中開始。不同于小學所學的線條、端點等比較簡單易懂的幾何題型，初中所接觸的幾何是在一定的模型和空間條件下對圖形的研究和分析，相對來說增加了難度。在初中幾何的學習當中，學生會初次接觸到平面直角坐標系模型，該模型在日后的數學學習中一直伴隨著學生。在初中數學課程中還有一項主要的內容就是訓練他們的抽象能力，而抽象能力在他們學習幾何的活動中有著十分關鍵的地位。文章首先對初中數學學科教學過程中遇到的幾何知識進行簡單的總結和分析，再以此為基礎討論更好地培養學生抽象能力的方法。

關鍵詞：幾何；抽象能力；三角形；多邊形

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1673-8918（2022）45-0075-05

一、 中考數學對幾何內容的要求

初中數學的重難點就是幾何和函數，知識點的配比基本是代數∶幾何為6∶4，而其中難題通常是幾何題目，分值高、難度大、考法全面，經常是以壓軸題出現。以廣東省中考試卷為例，對試卷中各知識點的分數占比以及總體考核內容進行對比，我們發現中考試卷對學生綜合能力的培養和體現關注度越來越大，對知識點的考察比較有規律，中考的題型分值占比是相對固定的，在整體上常規題型的變化并不大，題型分為選擇題、填空題、解答題。選擇題部分一定包含幾何變換的考點，而平均得分低的解答題也都是幾何相關的題，基本上可以看到，把握了幾何就是把握了中考。下面觀察2017～2019年廣東中考試卷各知識點的考核內容以及占比。

通過對表格的觀察，我們發現在中考試卷中每年對試題都有一定的調整，但是從整體來看在中考試卷中幾何的考核內容占比最高。所涉及題目從選擇題到填空、解答題都有，所考核的內容包括從直線之間的關系到平面圖形，直角坐標系中對線、角等圖像構成因素的分析。中學的幾何部分要做好如下六點：①打好基礎知識，公式定理在上課的時候一定要仔細看，并將實際應用于幾何問題上，然后舉一反三，基礎知識夯實了，對幾何問題的運用學起來也就容易一些；②巧用補線，根據不同的形式有不同的補線方法，比如正三角形要三線合一，而平行四邊形一般都是對角線，做多了就可以開竅了；③多寫作題，寫作題目的關鍵就是自己想出來為止，做好了就可以對比答案，檢查出自己的錯誤，從而熟能生巧；④善于歸納，整理好做題的方法和考點，做到每一個題目都有一種題，放到好習題本里，一般是最常見的題目，便于復習；⑤錯題收集，做好計算錯題本，并做好總結，為了不浪費，可將該題直接打印出來，重復復習，找出錯因也很重要；⑥提升幾何思維，平時要鍛煉幾何思維，可以多訓練，玩玩幾何方面的游戲，提升空間抽象思維能力，做題就會得心應手。總的來說，幾何題占了中考試卷的半壁江山，數學想要高分，處于瓶頸狀態的初中考生，務必要掌握好幾何知識，先去掌握基礎的公式定理，然后再試著做題，做完之后把錯題總結下來，久而久之，數學成績自然就會提升上來。

二、 初中幾何知識點分類

中學階段的數學課程中，最常用的幾何建模和構造方法無非如下幾類：全等變換、對稱性全等建模、角平分線模型、對稱半角模型、共轉動全等建模、旋轉零點五角建模、自旋轉模型、共轉動建模、模型變換、中點轉換、幾何最值建模、對稱性最值難題（點到直線垂線段最短）、共轉動最值難題、共線所有最值、剪拼建模、共轉動近似模型、相似模型。把它們搞清楚，加以練習，考試時使用起來得心應手，這類題目就再也不是學生考取高分的障礙。再從中總結，初中數學中的幾何主要有以下幾類：點、線、角；三角形；多邊形；圓。

（一）點、線、角

初一上學期的最后一章，學生們初步學習了簡單的幾何入門知識，例如：點、線、面、體，以及它們的關系“點動成線、線動成面、面動成體”。到了初一下學期，隨著學習的深入，學生學習到更多的幾何知識，例如：點到線的距離、線與線垂直、線與線相交形成角、角與角的關系等。概括言之，可以總結為：點與線的關系、線與線的關系、線與角的關系。通過引導學生從這三個方面來深入探究點、線、角之間的關系，可以使學生系統性地掌握初一數學下冊的第五章相交線與平行線。在中學數學學習當中，我們從簡單的點出發，研究從點到線，再從線到角的幾項重要學科知識。在研究點線角之前我們首先引入一個重要的數學模型，平面直角坐標系模型。

在同一平面上，彼此垂直并具有共同原點的兩個幾何軸組成了平面直角坐標系，稱直角坐標系。一般來說，將兩個幾何軸線依次放在水準方位和下垂方位，而朝向右和上升的方位則依次為兩個幾何軸線的正確方位。水準的幾何軸線叫作x軸或橫軸，垂直于x軸的數軸叫作y軸或縱軸，x軸和y軸統稱為坐標軸，它們的共同原點O就是直角坐標系的原點，以點O為原點的平面直角坐標系統記作平面直角坐標系統或xOy。在平面內畫兩根彼此相等的直線，以兩根直線的垂直交點為中心O建立平面直角坐標系，標出x、y軸，再對其進行象限分布，如下圖1。

圖1平面直角坐標系

當成立了直角坐標系之后，關于水平內任何一個點，都存在一組有序實數群（x，y）和它對應。對平面中的點我們可以根據其坐標計算兩點之間的距離。通過點我們引進線的定義和相關的知識點，內容包括直線的平行、垂直的判斷、直線之間的距離等。

兩條直線互相交叉后形成一個交點，以此為據我們引進角的定義。在初中數學中點、線、角是一個最基礎的知識點，后期平面圖形的研究都會在他們的基礎上進行。

（二）三角形

如果說點、線、角是幾何的基礎，那么三角形是初中數學中幾何的心。不同于小學中對三角形的學習，初中數學對三角形從邊長、角、端點等方面進行綜合性的研究。首先掌握的是三角形的相關理論與特性，比如三角形的角平分線、中點、高，以及三角形的三邊關系、內角和定理、外角和等。關于三角形我們根據其各邊之間的關系引進等邊三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等特殊三角形類型，并研究其各邊之間的關系，特殊三角形中的特殊角等。等邊三角形三邊長相等，三個角的值都是60°；等腰三角形兩邊相等，相等兩邊與第三邊構成的夾角相等；直角三角形有兩邊垂直。根據各邊之間的關系我們還引進勾股定理，在整個初中數學幾何學習當中勾股定理的應用非常的普遍。

據此，可教學運用將三角形的內角平分線和平行線有機地結合求解的辦法、充分運用三角形的中線性質解決面積的辦法、充分運用三角形的高的性質求解的辦法、充分運用三角形內角和定理思維來判斷三角形狀的辦法、充分運用三角形三線性質與三角形內角和定理思維的綜合應用方法、利用“等角對等邊”求證線段等長的辦法、等邊三角形的性質在全等求證中的應用方法、利用勾股定理解決幾何體表面最短長度的辦法、“建立直角三角形”的辦法、充分運用勾股定理和方程組思維解決與“翻折”有關的問題的辦法、充分運用勾股定理思維的逆定理來判斷三角形形狀的辦法等。

對三角形中各邊和角的關系的研究我們還有一個非常重要的內容那就是三角函數。三角函數分為正弦函數、余弦函數和正切函數三類。三角函數不僅用在平面三角形的題型當中，在后期對多邊形、圓的分析和應用中通過加輔助線構成三角形，再通過三角形對多邊形的角和邊研究這一類題中也會用到三角函數。

對三角函數在掌握基礎的定義之后對其定義域、圖形、值域等進行一系列的研究。在后期應用當中三角函數相關的特性可以直接用在題目計算當中。表2為幾個基本三角函數的性質概括。分析性質后我們可以發現在三角函數中有一些特殊角比如說45°（π/4），60°（π/3），90°（π/2）等，它們的函數值是確定的，如果能夠記住這些值，在后期考試當中可以節省很多時間和精力。同時，我們還可教學運用三角函數的概念求三角函數值、運用三角函數的概念求線段長度、用等角代替法求三角函數值、設參數法求三角函數值、通過構成直邊三角形求三角函數值等。這里，使用特定位置的三角函數值作為計算的方式較為簡便，表3是三角函數中特定位置的函式值。

（三）多邊形

由若干線段首尾順次相連而成的平面圖形，稱之為多邊形。多邊形的書寫一般由各個頂端字母表示。一個多邊形至少要有三條邊，除三角形以外，在初高中數學課程中不僅是研究長方形、正方形這些最簡單的多邊形也要研究平行四邊形、菱形、矩形等四邊形。平行四邊形、菱形、矩形、正方形都有自己的判斷定理。可教學用多邊形的內角和或外角和定理推導求邊和的解法、正多角形的外角和的使用、利用逼近法確定多邊形的邊數的方法、求復雜幾何圖形的相關角的和的方法等。對多邊形的判斷有時候不能直接就看出來，這時候需要添加輔助線來幫助我們驗證。添加輔助線后考的內容不僅會涉及多邊形相關的定理還會涉及三角函數、線與線之間的關系等考點，所以在中考過程中往往會用這些多邊形題來考核學生的綜合能力。

（四）圓

在初中數學中學生初次接觸圓。一條線段繞著它的固定端點旋轉一周所成的圖形，稱為圓。圓也可認為是與定點的距離相等定長的點的集合。學習主要包括圓的相關理論、圓的基本屬性、與圓有關的位置問題、正多邊形中畫圓的相關方法，對圓我們會引進弦、直徑、弧等內容對圓進行進一步的分析和研究討論，其中重要的一點是角和弧的對換等。可教學運用垂徑定理進行有關弦的計算、利用圓周角定理求角度的方法、利用圓內接四邊形的性質求角度的方法、利用“作垂直，證相等”判定直線為切線的方法、圓的有關知識在動態問題中的應用、利用弧長公式解決運動軌跡問題的方法等。

三、 關于幾何題的幾種解題思路

（一）見到圖形，想到性質

見到圖形想到性質就是當你見到一個圖形，根據你學過的定義、定理和公式你就能對圖形的性質進行推理和計算。例如三角形性質：①三角形的兩邊的和一定大于第三邊，由此亦可證得三角形的兩邊的長度差也必然不大于或等于第三邊；②三角形內角和等于180度；③等腰三角形的頂角平分線、底邊的中線、底邊的高重合，即“三線合一”。見到圖形想到性質，一般用“從已知向后推”的思路。

例：如圖所示，在等腰Rt△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交OC于點D，AD的延長線交BC于點E，過點D作⊙O的切線交BC于點F。下列四個結論中正確的結論序號為。

A. CD2=CE·CB；

B. 4EF2=DE·EA；

C. ∠OCB=∠EAB；

D. tan∠EAB=5-12。

從題干“在Rt三角形ABC中，AB=BC”我們就可得到三角形ABC是等腰直角三角形，那根據性質可以直接得出AB=BC，∠ABC=90°，∠BAC=∠BCA=45°等。

（二）以基本圖為基礎分析綜合題

在這里講的基本圖是指三角形、四邊形、圓以及三角形的高和圓的切線等。首先得掌握清楚這些基本圖的性質和相關概念，在一些復雜的幾何圖形當中，在上述幾個基本圖的基礎上，挑出一些常用的重要圖形，再對問題進行解答。以基本圖為基礎用到綜合題當中，用基本圖的知識解決復雜的綜合題。

除了成型的三角形、四邊形、圓等圖形之外，在幾何題的研究中也有更多的基本圖，比如：三線八角（兩條平行直線被第三條直線所截而成的圖形）、角平分線、三角圖形的中線、三角圖形的中位線、五中互余、勾股定理、銳角三角函數、直角三角形斜邊中線、直角三角形斜邊的高、正余弦定理、三角形不等、平行四邊形和梯形、垂徑分弦、圓的切線、和圓有關的角、兩個圓的公共弦與公切線、平行線帶來的比例線段、圓冪定理等。

對上題進一步分析：

連接BD由弦切角定理得：∠DBC=∠DAB

因為∠DAO=∠ADO=∠CDE

所以∠DBC=∠CDE，

因此△CDE∽△CBD（AA）

所以CDCB=CECD，所以有CD2=CE·CB

所以A正確

再進一步分析B

由切割線定理得EB2=DE·AE

由切線定理得DF=FB

又△DEB為等腰直角三角形，所以EF=BF=1/2BE

所以B正確

通過對例題第一、第二問的證明可以發現，在綜合體中以基本圖為基礎進行分析解題不僅會節省時間還可以減少出錯率。在綜合題或者解答題中遇到復雜的圖形先不要慌，首先觀察圖形，其次根據題目要求或者圖形基本情況分基本圖或者自己創造基本圖（一般用輔助線進行解決），再以基本圖為基礎對整體圖形進行研究和題目的解答。

四、 培養學生的抽象能力

抽象就是從復雜的事物中，單純地抽取某種特性加以認識的思維方式。抽象性從許許多多的事物中選擇其共性的、本質性的特點，并摒棄其非本質的特點的過程。具體地講，抽象化就是人類在生活經驗的基礎上，對大量的感性物質經過去粗取精、去假存真、由此及彼、由表及里的加工制造，產生認識、判斷、推論的思維方式，從而體現事情的實質與原理的過程。抽象是從感性認識上升為理性認知的最主要方法，并處于理性認識中。抽象思維通過運用科學知識的抽象概念，對現實世界的實質規律和客觀世界發展演變的深刻歷程加以揭示，從而使人類通過認知方式掌握的知識遠高于通過人類感覺器官所進行了解的知識。

幾何是很有難度的一個方面的知識點，因為它的概念是比較抽象的，需要的是學生們具備空間化思維，這是很重要的。因為在一般情況下一些復雜的圖形或者立體空間，在紙面上是沒有辦法百分之百還原或者看清的，所以在大多數時候，在解幾何有關的題目時，學生需要具備一定的空間想象力對題目進行觀察分析。

初中幾何一直是薄弱環節。文章主要通過介紹中學幾何的基本知識點，說明初中學生在掌握幾何中所出現的基本問題與困難。針對中考數學試題總結，針對其中的不同問題從知識點的考察、難點兩個層面加以分析，同時對方法加以整理總結，提升學習者對相關知識點的熟悉程度，以此解決學生針對不同知識點進行復習時在知識點中出現的問題。

下面是筆者所提供的一些可以訓練學生抽象能力的方式：①通過實際觀察。實景觀摩對訓練學生抽象能力的效果較好，當講一些基本的幾何圖形課題時，教師可帶著幾個現成的模型讓學生觀摩，又或是通過在課堂上進行紙疊的方式，由學生自行動手做相應的模擬，最后再由學生通過觀察圖像在折疊過程中的折痕等，提高對學生在相關圖像中的線段的理解，通過這樣“由表象到事實”的方式，可以訓練學生勇于舍棄事件中的非本質的環節，提取事情的真相；②反復練習。培養抽象能力另一個非常好的方法是進行大量的反復練習，熟悉解題的常見路線，熟悉輔助線的畫法，在大量的重復訓練后學生對一些類似題型的解答會有一套自己的領悟，這樣在考試中遇到相似的題型時學生可以第一時間想出解答方法，這種“由特殊到一般”的方法，能培養學生化問題的具體提法為一般情況，進而公式化的能力；③知識清晰。對幾何基礎知識點的把控一定要掌握清楚，在這個基礎上學生才能學好新問題，才能更快提升運用字母、符號進行推廣、推想的能力；④善于歸納總結，熟悉常見的經典圖形代表。

參考文獻：

［1］崔冠之，鄭國安.中學數學概念，定理和公式大全［M］.北京：中國農業機械出版社，1988.

［2］趙慧民.平面幾何解題思路——怎樣運用基本圖［M］.北京：海洋出版社，1986.

［3］陸斌.中學數學高階思維訓練實踐研究［M］.上海：上海社會科學院出版社，2020.

作者簡介：汪園芳（1989～），女，漢族，安徽東至人，廈門市杏南中學，研究方向：初中數學。