納米薄膜受超快激光作用下二維傳熱數(shù)值模擬

毛煜東王先征趙國晨于明志楊開敏

(山東建筑大學(xué) 熱能工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250101)

0 引言

超快激光具有超極小的脈沖寬度(＜10 ps)，因此其峰值能量密度超極高，加工熱區(qū)域極小，能在極短的時間內(nèi)達(dá)到很大的能量，具備對材料的損壞值小、燒蝕閾值低等特點(diǎn)，在脆硬材料加工[1]、超低膨脹玻璃陶瓷微加工[2]、機(jī)械諧振器制造[3]等方面有著不可代替的優(yōu)勢。微/納米尺度薄膜可以改變材料表面性能、減小摩擦和噪聲等，已廣泛應(yīng)用于燃料電池[4]、光伏發(fā)電[5]、半導(dǎo)體晶體管、微電子器件等諸多領(lǐng)域。而將超快激光與微納米尺度相結(jié)合，在微納米電子器件的制造中將發(fā)揮重要的作用?；诔旒す庵圃斓募{米尺度連接器[6]、超快激光制備仿生微納米結(jié)構(gòu)[7]將在微納米制造業(yè)中發(fā)揮著越來越重要的作用。

目前，常用傅里葉定律描述宏觀傳熱問題，然而其內(nèi)涵傳熱過程中熱流矢量和溫度梯度是同時變化的，但是在超快激光加熱[8-9]過程中兩者并不是同時變化的，存在著一定的時間差(即弛豫時間)，這就導(dǎo)致傅里葉定律不能解決其中的超快速和超小尺寸的問題[10]。目前，在微觀和介觀傳熱問題中，熱量以熱波的形式傳遞，這與傅里葉結(jié)果存在一定差異，在超快速和超小尺寸方面這個差異還需繼續(xù)研究，而采用分子層面的數(shù)值模擬方法可以有效地解決這個問題。分子層面的數(shù)值模擬方法主要包括分子動力學(xué)方法[11]和玻爾茲曼輸運(yùn)方程(Boltzmann Transport Equation， BTE)[12]。

BTE 在解決微觀和介觀層面的熱輸運(yùn)問題中有著非常明顯的優(yōu)勢[13]。但在BTE 中含有一個尚不能用解析方法求解的復(fù)雜碰撞積分項(xiàng)，因此只能采用數(shù)值模擬方法求解。目前常用的求解方法有蒙特卡洛方法[14]和格子玻爾茲曼方法(Lattice Boltzmann method，LBM)。由于蒙特卡洛法需要人為構(gòu)建一個概率，對結(jié)果有很大的影響，而LBM 具有邊界條件易于處理、物理圖像清晰等諸多優(yōu)點(diǎn)，尤其基于LBM 演化而來的格子Bhatnagar-Gross-Krook 模型(Lattice Bhatnagar-Gross-Krook， LBGK)近似替代了BTE 中復(fù)雜的碰撞積分項(xiàng)，在不考慮外力影響的情況下，簡化了BTE 右端復(fù)雜的碰撞積分項(xiàng)[15]。由于LBGK 簡化的碰撞積分項(xiàng)，大大降低了計(jì)算難度，提高了計(jì)算效率，在微/納米尺度和不可壓縮流體導(dǎo)熱問題的研究中應(yīng)用非常廣泛，成為研究LBM 的主要模型。

文章采用D2Q5 的LBM 方法模擬超快擾動下納米薄膜的二維問題，通過研究超快激光不同的照射情況，以此來研究超快激光加熱納米薄膜時薄膜內(nèi)部的能量密度分布情況。

1 公式推導(dǎo)

LBGK 模型的表達(dá)式由式(1)[15]表示為

式中e為分子速度分布函數(shù)；r為空間位置矢量；t為時間參數(shù)；eeq為熱力學(xué)平衡態(tài)時的速度分布函數(shù)；v為熱載子的群速度；τ0為弛豫時間，即粒子兩次碰撞所需要的時間間隔，表征粒子碰撞后達(dá)到平衡態(tài)的快慢程度。

1.1 采用D2Q5 物理模型的LBM 驗(yàn)證

采用LBM 方法模擬超快激光加熱微納米薄膜在一維上已經(jīng)有了較為成熟的結(jié)果[16-17]，文章擬從一維推廣到二維，探究在二維情況下激光加熱納米薄膜的變化。

為驗(yàn)證LBM 方法的有效性，建立一個簡單的二維薄膜導(dǎo)熱問題，在薄膜厚度方向的左側(cè)加一個無量綱數(shù)為1 的熱擾動，其控制方程由式(2)表示為

式中ei為能量密度；x為薄膜厚度方向的位置參數(shù)；y為薄膜徑向方向的位置參數(shù)；ei0為平衡態(tài)能量密度；vi為聲子群速度；τ為聲子弛豫時間。

考慮常溫初始條件，做無量綱變換由式(3)～(6)表示為

式中x*為薄膜厚度方向無量綱位置參數(shù)；y*為薄膜徑向方向無量綱位置參數(shù)；t*為無量綱時間參數(shù)；e*為無量綱能量密度參數(shù)；L為薄膜厚度方向的尺寸；M為薄膜徑向尺寸；E1為初始時刻的能量密度；T0為初始時刻的溫度；CV為硅的定容比熱容。

用式(3)～(6)做無量綱變換后，邊界條件由式(7)表示為

1.2 單束激光下D2Q5 物理模型推導(dǎo)

用LBM 中D2Q5 的物理模型模擬超快激光在納米薄膜中的能量分布。考慮帶內(nèi)熱源的二維熱傳導(dǎo)模型來模擬超快激光加熱納米薄膜導(dǎo)熱問題，二維超快薄膜導(dǎo)熱過程可以用聲子能量密度表示的LBM 運(yùn)輸方程表示，其形式由式(8)表示為

式中S為能量吸收率，可由式(9)[18]表示為式中J為激光能量發(fā)射密度；tp為激光脈沖的持續(xù)時間；R是表面反射率；r0是激光照射半徑；δ為激光穿透厚度；v1＝-v2＝v3＝-v4＝l/τ為聲子沿x軸正負(fù)方向和y軸正負(fù)方向的群速度，其中l(wèi)是聲子平均自由程。

將式(8)進(jìn)行無量綱變化，由式(10)～(13)表示為

做無量綱變換后，式(8)方程形式可以表示為

為了得到控制方程的離散形式，將方程(14)～(18)中的變量由式(19)～(25)表示為

將式(19)～(25)代入公式(14)～(18)，忽略高階項(xiàng)，由式(26)～(30)表示為

將式(26)～(30)進(jìn)行整理，則主導(dǎo)方程可由式(31)～(35)表示為

式中W ＝Δt*＝Δx*/Kn ＝Δy*/Kn；ξ＝L/δ；ψ＝L/r0；xj*＝j(luò)·Δx*；yk*＝k·Δy*；th*＝h·Δt*；；Kn為克努森數(shù)。ei，j，k，h*＝ei*(xj*，yk*，th*)(i ＝0，1，2，3，4；j ＝1，2，…，N；k＝1，2，…，N；h ＝1，2，…，N)；W、ξ、γ均為中間參數(shù)，無特殊含義。

1.3 兩束激光問題的公式推導(dǎo)

關(guān)于兩束激光的問題有兩種情況，將兩束激光分別打在薄膜兩側(cè)和將兩束激光打在薄膜的同一側(cè)。將兩束激光分別打在薄膜兩端其控制方程由式(36)～(38)表示為

將式(37)與(38)代入式(36)，可將控制方程由式(39)表示為

對式(39)進(jìn)行離散求解，方法與前面相同，同時將兩束激光打在薄膜的同一側(cè)的控制方程不再贅述。

2 LBM 對激光照射納米薄膜不同情況下的模擬

超快脈沖激光加熱的硅膜采用以下參數(shù)[17]:體積熱容CV為1.66×106J/(m3·K)，硅的聲子平均自由程l為41 nm，聲子弛豫時間τ為6.53 ps。持續(xù)時間tp＝0.65 ps，激光通量J為312 J/m2，穿透的光學(xué)深度δ為15.3 nm，激光的表面反射率R為0.93。

2.1 單束激光照射納米薄膜

單側(cè)超快激光加熱薄膜時，薄膜內(nèi)無量綱能量密度U*分布如圖1 所示，y軸中心點(diǎn)處薄膜內(nèi)無量綱能量密度分布如圖2 所示。由圖1 中可以看到，由于初始時刻激光照射在薄膜的厚度中間區(qū)域，在激光照射區(qū)域能量密度的快速升高(即溫度快速提升)。隨著激光照射，能量密度從照射點(diǎn)向兩側(cè)傳播，在厚度方向傳播速度比較快，而在徑向方向傳播速度則比較慢，中心位置由于是激光的照射位置所以能量密度很高。在厚度方向上能量密度從照射點(diǎn)向另一端傳遞，能量密度會逐漸降低；在徑向方向上由照射點(diǎn)向兩邊逐漸傳遞，能量密度也會逐漸降低。由圖2 可知，在激光加熱納米薄膜過程中隨著時間步數(shù)的推移能量密度在厚度方向上影響越來越深，但是能量密度的峰值逐漸降低?？梢钥闯鲈跁r間步數(shù)為40 時，在薄膜厚度方向上能量密度影響深度在厚度方向約為0.7，此時的最高無量綱能量密度達(dá)到了0.96；當(dāng)時間步數(shù)為80 時，在薄膜厚度方向上能量密度的影響區(qū)域超過了一半，此時的最高能量密度降到了0.42；當(dāng)時間步數(shù)達(dá)到150 時，在薄膜厚度方向上能量密度的影響剛剛達(dá)到另一端，此時的最高能量密度降到了0.22；當(dāng)時間步數(shù)達(dá)到280 時，在薄膜另一端能量密度有較大的影響，此時的最高能量密度降到了0.12。因此，隨著時間步數(shù)的增加，傳播的深度逐漸增加，但是能量密度峰值卻在逐漸降低。但當(dāng)時間足夠大時，薄膜內(nèi)部趨于穩(wěn)定，在薄膜厚度方向上能量密度趨于一致。

圖1 單側(cè)超快激光加熱薄膜時薄膜內(nèi)無量綱能量密度分布圖

圖2 單側(cè)超快激光加熱薄膜時，y 軸中心點(diǎn)處薄膜內(nèi)無量綱能量密度分布圖

2.2 兩束激光分別照射薄膜兩端

超快激光加熱薄膜兩側(cè)時，薄膜內(nèi)無量綱能量密度分布如圖3 所示，y軸中心點(diǎn)處薄膜內(nèi)無量綱能量密度分布如圖4 所示。從圖3 可以看出，由于超快激光薄膜兩邊同時加熱，在初始時刻受超快激光的影響在兩端加熱區(qū)域能量密度的快速升高(即溫度快速提升)，在厚度方向上能量密度從兩端的照射點(diǎn)向內(nèi)部傳遞，在徑向方向上從照射點(diǎn)向兩端逐漸傳遞。對比圖3、4 可以看出，在激光加熱納米薄膜過程中隨著時間步數(shù)的增加能量密度在厚度方向上影響越來越深，但是能量密度的大小逐漸降低，同時，由于在兩端同時用超快激光加熱，在中間會發(fā)生能量的聚集而產(chǎn)生能量的交匯，此時的能量密度要比單熱源時的能量密度大?？梢钥闯鲈跁r間步數(shù)在40 時，在薄膜厚度方向上由于兩端產(chǎn)生的能量密度已經(jīng)在中間區(qū)域交匯產(chǎn)生了影響，使得中間區(qū)域的能量密度增大，此時的最高能量密度達(dá)到了1；當(dāng)時間步數(shù)在80 時，在薄膜厚度方向上能量密度在中間產(chǎn)生的影響加大，但能量密度逐漸降低，此時的最高能量密度降到了0.42；當(dāng)時間步數(shù)達(dá)到150 時，在薄膜厚度方向上能量密度在中間的影響進(jìn)一步加大，同時能量密度也逐步降低，此時的最高能量密度降到了0.22；當(dāng)時間步數(shù)達(dá)到280 時，在薄膜厚度方向上能量密度在中間的影響進(jìn)一步加大，同時能量密度也逐步降低，此時的最高能量密度降到了0.18。從圖3、4 中可以看到，隨著時間步數(shù)的增加，對中間區(qū)域的影響逐步增加，與此同時中間區(qū)域的能量密度最高點(diǎn)能量密度在逐漸降低。當(dāng)時間足夠大時，能量密度趨于穩(wěn)定，在激光照射點(diǎn)的厚度方向上能量密度趨于一致，此時再增加時間步數(shù)，薄膜內(nèi)部無量綱能量密度整體下降，仍保持平衡。

圖3 超快激光加熱薄膜兩側(cè)時薄膜內(nèi)無量綱能量密度分布圖

圖4 超快激光加熱薄膜兩側(cè)時，y 軸中心點(diǎn)處薄膜內(nèi)無量綱能量密度分布圖

對比圖2 和圖4，激光熱源的能量密度一樣，所以在薄膜最左側(cè)激光照射區(qū)域的無量綱能量密度一樣，而在中間位置差異較大，這是由于兩側(cè)激光的交匯產(chǎn)生的能量密度造成的。薄膜兩側(cè)照射激光的情況下，中間位置產(chǎn)生的能量密度較高。在時間步數(shù)為40 時，兩側(cè)照射激光時，中間位置的無量綱能量密度約為0.18(圖4)，而單束激光照射時，中間位置的無量綱能量密度還不到0.1(圖2)；時間步數(shù)280 時，兩側(cè)照射激光已經(jīng)趨于平衡，單束激光照射還未平衡。兩側(cè)照射激光時，內(nèi)部的無量綱能量密度更大一些，薄膜內(nèi)部達(dá)到平衡的速度要更快一些。

2.3 雙束激光照射同側(cè)納米薄膜

兩束超快激光加熱薄膜同一側(cè)時，薄膜內(nèi)無量綱能量密度分布如圖5 所示，y軸中心點(diǎn)處薄膜內(nèi)無量綱能量密度分布如圖6 所示。由于激光在徑向上傳播較小，所以要想讓同側(cè)的兩個激光產(chǎn)生交匯，需要將兩束激光間的距離減少。從圖5、6 中可以看出，由于在同一側(cè)有兩束超快激光薄膜同時加熱，在初始時刻受超快激光的影響，在激光照射的加熱區(qū)域能量密度快速升高(即溫度快速提升)，在厚度方向上能量密度從兩端的照射點(diǎn)向內(nèi)部傳遞，在徑向方向上從照射點(diǎn)向兩端逐漸傳遞，厚度方向傳播的的速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于徑向方向傳播的速度。

對比圖5、6 可以看出，在激光加熱納米薄膜過程中，隨著時間步數(shù)的推移能量密度在厚度方向上影響越來越深，但是能量密度的大小逐漸降低。同時由于在同一端同時用兩束超快激光加熱，在中間會產(chǎn)生能量的聚集，產(chǎn)生能量的交匯，此時的能量密度要比單熱源時的能量密度大。由于激光照射位置不在y軸中心點(diǎn)的位置，初始激光照射會產(chǎn)生影響?？梢钥闯鲈跁r間步數(shù)在40 時，由于在一端使用兩束激光同時加熱納米薄膜，兩束激光的能量密度已經(jīng)在中間區(qū)域交匯產(chǎn)生了影響，使得中間區(qū)域的能量密度增大，中間位置的無量綱能量密度的峰值為0.88，此時整個區(qū)域的最高能量密度約為1.4；在中間位置的厚度方向上，由于兩束激光交匯產(chǎn)生的能量密度的影響，無量綱厚度約為0.6；當(dāng)時間步數(shù)在80 時，由于兩束激光在中間位置進(jìn)一步交匯，在薄膜厚度方向上能量密度在中間產(chǎn)生的影響加大，中間位置的能量密度增大，但最高能量密度逐漸降低，中間位置的無量綱能量密度的峰值為0.54，此時整個區(qū)域的最高能量密度降到了0.6，在中間位置厚度方向上，兩束激光交匯產(chǎn)生的能量密度的影響即將到達(dá)另一端。當(dāng)時間步數(shù)達(dá)到150 時，由于兩束激光在中間位置進(jìn)一步交匯，在薄膜厚度方向上能量密度在中間的影響進(jìn)一步加大，中間位置的能量密度增大，能量密度峰值逐步降低，中間位置的無量綱能量密度為0.35，此時的最高能量密度降到了0.35，可以看出激光照射的影響逐漸消失；在中間位置厚度方向上，兩束激光交匯產(chǎn)生的能量密度在薄膜另一端有了一些影響。當(dāng)時間步數(shù)達(dá)到280 時，由于兩束激光在中間位置進(jìn)一步交匯，在薄膜厚度方向上，能量密度在中間的影響區(qū)域進(jìn)一步加大，同時能量密度也逐步降低，在中間位置的無量綱能量密度為0.22，此時的最高能量密度降到了0.22，激光照射的影響已經(jīng)消失；在中間位置厚度方向上，由于兩束激光交匯產(chǎn)生的能量密度的影響在薄膜另一端的位置有了明顯的影響。

圖5 兩束超快激光加熱薄膜同一側(cè)時薄膜內(nèi)無量綱能量密度分布圖

從圖6 中可以看到，隨著時間步數(shù)的增加，兩束激光在中間位置進(jìn)一步交匯，兩束激光對中間區(qū)域的影響逐步增加，與此同時中間區(qū)域的能量密度變大，最高能量密度逐漸降低。隨著時間步數(shù)的增加，初始激光照射的影響逐步消失，中間位置由于激光交匯產(chǎn)生的能量密度在厚度方向上的影響也逐漸加深，最終可以在薄膜另一端產(chǎn)生明顯的能量密度。

對比圖6 和圖2，在初始時刻，由于兩束激光照射在中間位置的兩側(cè)，所以中間位置的能量密度要小于單束激光的情況， 此時兩束激光照射(圖6)在厚度方向的影響深度小于單束激光(圖2)。隨著時間步數(shù)的增加，由于兩束激光的交匯，在中間位置的能量密度逐漸增大并超過單束激光的情況，在剛趨于平衡時，兩束激光照射薄膜內(nèi)部的無量綱能量密度較大。

圖6 兩束超快激光加熱薄膜同一側(cè)時，y 軸中心點(diǎn)處薄膜內(nèi)無量綱能量密度分布圖

3 結(jié)論

基于格子玻爾茲曼輸運(yùn)方程中的采用D2Q5 的LBM 方法模擬超快擾動下納米薄膜的二維問題，在激光不同情況的照射下分析了薄膜內(nèi)部能量密度分布情況。主要結(jié)論如下:

(1)當(dāng)單激光照射納米薄膜時，在厚度方向的傳播速度要大于徑向方向的傳播速度，在時間很短的時候，激光的能量密度影響區(qū)域有限，隨著時間的推移，能量密度影響區(qū)域逐漸擴(kuò)大，能量密度的峰值是隨著時間的增加逐漸降低的。

(2)當(dāng)兩束超快激光分別在薄膜兩側(cè)時同時照射，在厚度方向上從兩端向中間會有能量密度的傳遞，在中間區(qū)域產(chǎn)生能量交匯，使得中間區(qū)域的能量密度升高，隨著時間的推移，中間區(qū)域的能量密度逐漸增大，能量密度的最大值逐漸降低。

(3)當(dāng)兩束超快激光同時照射在薄膜同一端時，由于兩束激光產(chǎn)生了能量的交匯，會使兩束激光中間部分的能量密度升高，隨著時間的推移，中間位置由于兩束激光交匯而產(chǎn)生的能量密度逐漸增大，能量密度的峰值逐漸減小，初始激光照射的影響逐漸消失，中間位置的能量密度其傳播深度也會逐漸增大，對薄膜另一端的影響逐漸增大。