兩類最優(yōu)零相關(guān)區(qū)非周期互補(bǔ)序列集的構(gòu)造

崔 莉 許成謙

①(燕山大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院 秦皇島 066004)

②(河北科技師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科技學(xué)院 秦皇島 066004)

1 引言

互補(bǔ)對(duì)序列又稱為格雷(Golay)序列，最早由Golay[1]提出，不同于傳統(tǒng)通信系統(tǒng)中的單碼，如m序列，它由兩個(gè)序列構(gòu)成，且兩個(gè)序列的自相關(guān)函數(shù)之和在零時(shí)延之外處處為0。Tseng等人[2]將互補(bǔ)對(duì)的概念推廣為互補(bǔ)序列集。在多載波碼分多址(Multi-Carrier Code Division Multiple Access,MC-CDMA)通信系統(tǒng)中，將互補(bǔ)序列集中的各個(gè)子集作為地址碼，通過為不同用戶分配不同的地址碼的方式來區(qū)分用戶，子載波將子集內(nèi)的序列調(diào)制發(fā)送，接收端再將載波信號(hào)恢復(fù)成用戶信號(hào)，因此互補(bǔ)序列集具有重要的應(yīng)用價(jià)值。然而由于參數(shù)理論界的限制，互補(bǔ)序列集的大小不能超過子集內(nèi)序列的數(shù)目，這大大限制了通信系統(tǒng)可支持的用戶數(shù)目。為擴(kuò)展互補(bǔ)序列集的大小，學(xué)者把零相關(guān)區(qū)(Zero Correlation Zone, ZCZ)的概念引入到互補(bǔ)序列集中，F(xiàn)an等人[3]首先提出了零相關(guān)區(qū)非周期互補(bǔ)序列集 (ZCZ Aperiodic Complementary Sequence Sets, ZACSS)的概念。與傳統(tǒng)互補(bǔ)序列集相比，零相關(guān)區(qū)互補(bǔ)序列集的大小不受子集內(nèi)序列數(shù)目的限制，因此可以支持更多用戶同時(shí)入網(wǎng)。從序列的相關(guān)函數(shù)定義來看，零相關(guān)區(qū)互補(bǔ)序列集分為ZCZ周期互補(bǔ)序列集 (ZCZ Periodic Complementary Sequence Sets, ZPCSS)與ZACSS，然而非周期互補(bǔ)序列集設(shè)計(jì)難度更大，因此目前主要研究成果是零相關(guān)區(qū)周期互補(bǔ)序列集[4–9]。

相比ZPCSS，ZACSS更貼近應(yīng)用實(shí)際，因此研究參數(shù)達(dá)到理論界[3]的最優(yōu)ZACSS成為序列設(shè)計(jì)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題之一。文獻(xiàn)[10–12]均以正交矩陣為基礎(chǔ)，構(gòu)造了參數(shù)最優(yōu)的零相關(guān)區(qū)非周期互補(bǔ)序列集。文獻(xiàn)[10]構(gòu)造的非周期組間互補(bǔ) (Inter-Group Complementary, IGC)序列集是一類特殊的ZACSS，它由多組ZACSS構(gòu)成，不同組的序列集完全互補(bǔ)。然而，組內(nèi)ZACSS的大小與子集內(nèi)序列的數(shù)目相同，與傳統(tǒng)互補(bǔ)序列集的理論界限制相同。文獻(xiàn)[11]提出了基于有限域G F(p)和G F(pn)的構(gòu)造方法，ZCZ長(zhǎng)度可以靈活選擇，但正交矩陣的階數(shù)與ZCZ長(zhǎng)度的比值被限定為素?cái)?shù)p或pn。文獻(xiàn)[12]的構(gòu)造過程中，在設(shè)定了ZCZ長(zhǎng)度和正交矩陣的階數(shù)后，只能通過選擇不同的正交矩陣來構(gòu)造不同的ZACSS。文獻(xiàn)[13,14]構(gòu)造的ZACSS參數(shù)的性能取決于初始序列。文獻(xiàn)[15]提出了4元ZCZ非周期互補(bǔ)序列集的概念，并給出了構(gòu)造方法。文獻(xiàn)[16]通過對(duì)傳統(tǒng)的非周期完備互補(bǔ)序列集的迭代，構(gòu)造了組內(nèi)互補(bǔ) (Intra-Group Complementary, IaGC) 序列集，每組序列集具有理想的相關(guān)互補(bǔ)性，而組間序列集的ZCZ長(zhǎng)度被限定為2的整數(shù)次冪，且參數(shù)不具有理想互相關(guān)互補(bǔ)特性。利用布爾函數(shù)，文獻(xiàn)[17,18]構(gòu)造了2元ZACSS，所有參數(shù)都被限定為2的整數(shù)次冪的倍數(shù)。文獻(xiàn)[18]提出的3種構(gòu)造方法中，兩種構(gòu)造方法得到的ZACSS均不是最優(yōu)的，另一種構(gòu)造方法在限定條件下參數(shù)可以達(dá)到理論界。文獻(xiàn)[19]將序列長(zhǎng)度為奇數(shù)的2元非周期ZCZ互補(bǔ)偶作為基序列，構(gòu)造了一類序列長(zhǎng)度 (N=2α10β26γ+1,α,β,γ均為整數(shù)) 為奇數(shù)的2元最優(yōu)ZACSS。由此可見，文獻(xiàn)[13–18]構(gòu)造的ZACSS參數(shù)的性能受到初始序列集或不同條件的限制。

本文基于正交矩陣?yán)镁仃囎儞Q的方法，構(gòu)造了兩類參數(shù)均能達(dá)到理論界的最優(yōu)零相關(guān)區(qū)非周期互補(bǔ)序列集，且零相關(guān)區(qū)長(zhǎng)度可以靈活選擇。進(jìn)而豐富了最優(yōu)零相關(guān)區(qū)非周期互補(bǔ)序列集的研究成果，為多載波碼分多址系統(tǒng)的應(yīng)用提供了理論依據(jù)。

2 基本概念

當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，稱該序列集的參數(shù)達(dá)到理論界，是最優(yōu)ZCZ非周期互補(bǔ)序列集。

3 基于正交矩陣構(gòu)造ZCZ非周期互補(bǔ)序列集

3.1 構(gòu)造方法1

3.2 構(gòu)造方法2

4 零相關(guān)區(qū)非周期互補(bǔ)序列集構(gòu)造方法的比較及參數(shù)分析

表1對(duì)已有參考文獻(xiàn)和本文所提ZACSS的多種不同構(gòu)造方法從構(gòu)造基礎(chǔ)、構(gòu)造結(jié)果參數(shù)，是否達(dá)到最優(yōu)及ZCZ長(zhǎng)度等幾個(gè)方面進(jìn)行了比對(duì)。文獻(xiàn)[13]將2元ZCZ非周期互補(bǔ)序列集作為初始序列，通過表1可見，構(gòu)造結(jié)果的參數(shù)與初始序列相同，因而參數(shù)的性能取決于初始序列。文獻(xiàn)[16]將完備序列集經(jīng)過n次迭代，構(gòu)造了 2n個(gè)組內(nèi)最優(yōu)的互補(bǔ)序列集，組間的序列集的ZCZ長(zhǎng)度被限定為2的整數(shù)次冪，不能靈活選擇。文獻(xiàn)[19]基于Hadamard矩陣和長(zhǎng)度為奇數(shù)的最佳2元ZCZ互補(bǔ)序列偶，構(gòu)造的2元ZACSS序列長(zhǎng)度被限定為奇數(shù)，且ZCZ長(zhǎng)度取決于初始互補(bǔ)序列偶。文獻(xiàn)[10,11,14]均為正交矩陣為基序列，相對(duì)于完備互補(bǔ)序列集與已有的ZACSS，利用正交矩陣的多樣性可以構(gòu)造出更加豐富的ZACSS，而且受限更小。文獻(xiàn)[10]構(gòu)造了組間互補(bǔ)序列集，然而組內(nèi)包含的序列集的個(gè)數(shù)、序列集內(nèi)序列的數(shù)目以及序列的長(zhǎng)度均為N，由于在MCCDMA系統(tǒng)中，序列需要子載波傳輸，因此，序列長(zhǎng)度以及序列的數(shù)目受到了CDMA資源的限制。文獻(xiàn)[11]基于有限域 G F(p)和G F(pn)構(gòu)造了最優(yōu)的ZACSS，零相關(guān)區(qū)的長(zhǎng)度相對(duì)較靈活，然而正交矩陣的階數(shù)與ZCZ長(zhǎng)度Z的比值被限定為素?cái)?shù)p和pn。文獻(xiàn)[14]以非周期互補(bǔ)序列集為初始序列，當(dāng)初始序列為完備互補(bǔ)序列集，即M=N時(shí)，構(gòu)造的ZACSS的參數(shù)達(dá)到理論界。

表1 ZACSS構(gòu)造方法的比較

本文以正交矩陣為基序列，除此之外在構(gòu)造過程中還增加了多個(gè)靈活多變的初始矩陣，相對(duì)于文獻(xiàn)[12]只能利用不同的正交序列集，具有更多的可選擇因素，因此可以構(gòu)造出更多最優(yōu)ZACSS。為了增加保密性，可利用偽隨機(jī)序列，如m序列發(fā)生器的狀態(tài)序列來設(shè)計(jì)生成初始矩陣。另外，通過構(gòu)造方法1還可以得到多組ZACSS，不僅組內(nèi)達(dá)到最優(yōu)，而且不同組的序列集具有長(zhǎng)度為Z的零相關(guān)區(qū)。在參數(shù)靈活性方面，由于正交矩陣的階可以為任何正整數(shù)，因此在正交矩陣的階數(shù)可以被Z整除的條件下，零相關(guān)區(qū)長(zhǎng)度Z可以靈活選擇，從而滿足CDMA系統(tǒng)中對(duì)不同同步時(shí)延的要求。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文首先利用矩陣變換，通過正交矩陣構(gòu)造了一類參數(shù)最優(yōu)的零相關(guān)區(qū)非周期互補(bǔ)序列集，零相關(guān)區(qū)長(zhǎng)度可以靈活選擇。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步分組，構(gòu)造了多個(gè)組內(nèi)完全互補(bǔ)的序列集，不同組的序列集具有長(zhǎng)度為Z的零相關(guān)區(qū)，可以幫助解決多小區(qū)間的干擾問題。此外，本文還利用不同的矩陣變換方式，構(gòu)造了另外一類零相關(guān)區(qū)非周期互補(bǔ)序列集，參數(shù)也達(dá)到了理論界，且零相關(guān)區(qū)長(zhǎng)度可以靈活選擇。