幾類指標為2的不可約擬循環碼的重量分布

高 健 張耀宗 孟祥蕊 馬芳卉

(山東理工大學數學與統計學院 淄博 255000)

1 引言

線性碼的重量分布是編碼理論中的一個重要研究問題。近幾年，線性碼的重量分布，尤其是循環碼的重量分布，被國內外的編碼學者廣泛關注與研究。Ding等人[1]研究了不可約循環碼的重量分布，利用不可約循環碼構造了一些參數較好的線性碼。基于指數和理論，文獻[2,3]在有限域上某些可約循環碼的重量分布研究中也取得了很大進展。

少重量線性碼，如常重量線性碼[4]、2-重量線性碼[5]、3-重量線性碼[6]以及其他少重量線性碼[7,8]等，是重要的線性碼類，可用于認證碼[9]、結合方案以及秘密共享方案的構造。Ding[10]基于不可約循環碼的重量分布構造了幾類3-重量線性碼。Schmidt等人[11]基于離散傅里葉變換和高斯和理論得到了不可約循環碼至多有兩個重量的充要條件。Zhou等人[12]構造了7類3-重量循環碼并分析了由這些3-重量循環碼得到的秘密共享方案的結構。

擬循環碼是一類重要的線性碼，它與卷積碼和低密度校驗碼密切相關。指標為2的擬循環碼也稱為分塊長度相等的雙循環碼。Borges等人[13]給出了2元域上雙循環碼的顯式生成元并確定了雙循環碼及其對偶碼生成元之間的關系。Gao等人[14,15]給出了4元雙循環碼的生成元以及與對偶碼生成元之間的關系，并且證明了4元雙循環碼是漸進優的。Patanker等人[16]利用高斯和確定了幾類2元雙循環碼的重量分布。

本文主要利用有限域上指標為2的不可約擬循環碼構造少重量的線性碼。首先，基于有限域上的高斯周期，本文給出了幾類指標為2的不可約擬循環碼的重量分布；其次，基于不可約擬循環碼的重量分布，本文構造了幾類2-重量線性碼和3-重量線性碼，其中包括3類最優的2-重量線性碼。

2 基本知識

3 幾類指標為2的不可約擬循環碼的重量分布

表1 情形(1)：不可約擬循環碼的重量分布

表2 情形(2)：不可約擬循環碼的重量分布

表3 情形(3)：不可約擬循環碼的重量分布

表4 情形(4)：不可約擬循環碼的重量分布

表5 情形(5)：不可約擬循環碼的重量分布

表6 情形(6)：不可約擬循環碼的重量分布

表7 情形(7)：不可約擬循環碼的重量分布

4 最優碼的構造

5 結論

本文研究了有限域上指標為2的不可約擬循環碼的重量分布，構造了幾類2-重量線性碼和3-重量線性碼。特別地，本文得到了3類最優的2-重量線性碼。如何利用ZpZp[v]-加性碼[18,19]的重量分布構造有限域上的最優碼是一個有意義的研究問題。