一種基于Logistic電平脈沖的多渦卷系統及其圖像加密應用

徐昌彪 黎金龍 許浩南

(重慶郵電大學光電工程學院 重慶 400065)

1 引言

混沌系統的偽隨機性和對初始值的敏感性使其在多媒體信息安全領域受到廣泛關注。例如，在信道開放的通信系統中，利用混沌同步技術處理傳輸數據，可防止非法竊聽引起的信息泄露；在圖像或視頻加密中，使用基于混沌系統構建的加密算法加密圖像或視頻，具有比傳統的DES和AES加密算法更快的加密速度和更高的安全性[1]。具有復雜動力學行為且電路實現復雜度低的混沌系統是混沌加密應用的關鍵。

在Chua系統[2]、Jerk系統[3]、廣義Lorenz系統[4]中引入非線性函數使系統的平衡點發生擴展，可形成多渦卷吸引子，從而得到多渦卷吸引子混沌系統。相較于原混沌系統，多渦卷吸引子混沌系統的動力學行為和結構更為復雜，在安全加密領域中更有優勢[5]。多渦卷系統具有自治和非自治兩種類型，其中自治多渦卷系統的控制函數主要為階梯函數[6]、飽和函數[7]、多級雙曲正切函數[8]等不含時間的非線性函數，而自治多渦卷系統主要有3個問題：(1)非線性函數缺乏一般性，即產生不同的多渦卷系統需要不同類型的非線性函數；(2)非線性函數有多個參數需要確定，且各參數相互作用，致使控制較為復雜；(3)系統電路實現復雜度隨渦卷數量增加而增大。利用非自治的脈沖控制方法可有效解決問題(1)和問題(2)。例如，文獻[9]提出了一種基于脈沖控制設計多方向多渦卷吸引子的方法，該方法具有通用性，可應用于任意混沌系統而無需重構非線性函數。文獻[10]在Sprott C系統的基礎上提出了一種基于多邏輯電平脈沖生成平移多渦卷吸引子的方法，分析表明基于脈沖控制的多渦卷系統具有恒定Lyapunov指數。文獻[11]基于sigmoid函數設計了一種多邏輯電平脈沖函數，sigmoid函數使系統平衡點變化變得連續。文獻[12]提出了一種基于分段函數的多層嵌套混沌吸引子設計方法，將分段函數引入到Chua系統，產生多層嵌套的多渦卷吸引子。這些方法的優勢是無需重構非線性函數，但缺點是渦卷數量越多，需要疊加的脈沖數量越多，這增大了系統電路實現的復雜度，給系統的硬件實現帶來了較大的困難。

針對此問題，本文設計了一個Logistic電平脈沖函數，利用Logistic映射的周期分岔和混沌產生多邏輯電平脈沖和隨機電平脈沖。然后，采用非自治的脈沖控制方法將Logistic電平脈沖函數作為控制函數引入到Lorenz系統，得到一個具有復雜動力學行為的新的多渦卷吸引子混沌系統，其動力學分析表明Logistic電平脈沖函數有效地提高了混沌序列的復雜度。FPGA實驗結果表明系統電路可在不改變RTL代碼的情況下僅通過修改控制參數即可產生不同的多渦卷吸引子，并且不改變系統電路實現的復雜度，而已有的多渦卷系統難以做到這一點。最后，設計了一種將此多渦卷系統應用于圖像加密的方案，對其進行了NIST隨機特性測試、密鑰敏感性分析和結構相似度分析。結果表明，與Lorenz系統相比，此多渦卷系統具有更多的敏感性參數，應用于圖像加密時密鑰空間更大，更能有效抵抗窮舉攻擊。

2 Logistic電平脈沖函數

一般使用階梯函數、飽和函數、多邏輯電平脈沖函數等非線性函數作為多渦卷混沌系統的控制函數，這些復雜的非線性函數增加了多渦卷系統電路實現的復雜度。針對該問題，本文設計了一種Logistic電平脈沖函數，該函數利用Logistic映射[13]的周期分岔和混沌產生多邏輯脈沖和隨機電平脈沖，該函數形式為

3 多渦卷吸引子混沌系統模型及系統分析

3.1 系統模型

采用非自治脈沖控制方法將Logistic電平脈沖函數S(t)作為控制函數引入到Lorenz系統，得到一個新的多渦卷吸引子混沌系統，系統模型為

其中，Sx(t),Sy(t),Sz(t)均為Logistic電平脈沖函數，對應參數分別為(g0x,μx,kx,Tx), (g0y,μy,ky,Ty),(g0z,μz,kz,Tz)。多渦卷吸引子混沌系統的設計原理為當狀態變量受到Logistic電平脈沖函數的控制時，系統平衡點隨Sx(t),Sy(t),Sz(t) 的 變化在x,y。z坐標方向上發生擴展，形成結構豐富的多渦卷吸引子。通過調節參數μx,μy,μz，可使系統產生1維4渦卷吸引子、2維8渦卷吸引子、3維16渦卷吸引子、時變多渦卷吸引子等。已有文獻一般通過疊加多個子脈沖的方式得到多邏輯電平脈沖，其缺點是多渦卷系統電路實現的復雜度隨渦卷數量增加而增大。周期分岔與混沌屬于Logistic映射的自發行為，改變其參數μ可使S(t)產生周期或隨機間斷點，使系統式(3)形成各種多渦卷吸引子而不增加系統電路實現的復雜度。因此，基于Logistic電平脈沖的多渦卷系統在實際應用中更有優勢。

3.2 平衡點分析

由式(6)可知，Jacobi矩陣與控制函數無關，所以控制函數不改變系統平衡點穩定性，且每個平衡點的穩定性相同。令d et(λE ?J)=0 ，其中a=10,b=28,c=8/3 ，求 得3個 特 征 值 為λ1=?13.85,λ2=0.094+j10.194 ,λ3=0.094?j10.194。由勞斯穩定判據可知，平衡點e1為穩定的指標2的鞍焦平衡點。同理，平衡點e2也為穩定的指標2的鞍焦平衡點。當3 <μx<3.57 時，Sx(t)是 2n邏輯電平脈沖，平衡點在x方向上的分布具有2n種可能。參數μy和μz對平衡點的影響與此類似。取μx=μy=μz=3.3 ， 平衡點在xy平面上存在22=4種分布可能，如圖2(a)所示。此時，系統在x=?2 處的P oincare截面如圖2(b)所示。Poincare截面中4條連續曲線對應系 統 的4 個 吸 引 子。當 3.57<μx,μy,μz ≤4時，Sx(t),Sy(t)和Sz(t)均為隨機電平脈沖，平衡點同時在x,y,z方向上隨機遍歷，其位置在空間上是時變的，呈不規律分布，難以被預測，如圖2(c)所示。因此，可通過改變Sx(t),Sy(t) ,Sz(t) 中的參數μx,μy,μz來調整系統平衡點位置，而不影響平衡點的穩定性。

圖2 平衡點分布和Poincare截面

3.3 多渦卷吸引子

取μx=μy=μz=2.8 ，Sx(t),Sy(t),Sz(t)可近似為常數，系統退化為Lorenz系統，如圖3(a)所示。取μx=3.3 ,μy=μz=2.8 ，平衡點在x方向上周期性擴展，形成x方向的1維4渦卷吸引子，如圖3(b)所示。取μx=μy=3.3,μz=2.8，平衡點同時在x和y方向上周期性擴展，形成2維4渦卷吸引子，如圖3(c)所示。參數T也會影響多渦卷吸引子的數量，例如，在圖3(c)的基礎上，令Ty=2Tx，可得到2維8渦卷吸引子，如圖3(d)所示，以及圖3(e)所示的3維16渦卷吸引子。當μx,μy,μz中的任一參數處于(3.57,4]時，系統可產生時變多渦卷吸引子，例如，取μx=μy=3.9,μz=2.8 ，平衡點在x和y方向上隨機遍歷，形成時變多渦卷吸引子，如圖3(f)所示。時變多渦卷吸引子在空間中隨機擴展，使吸引子的分布變得不可預測。

圖3 多渦卷吸引子混沌系統相圖

3.4 Lyapunov指數和混沌序列復雜度

最大Lyapunov指數(Largest Lyapunov Exponents, LLE)描述了系統兩個相鄰軌道的平均指數分離速率，其值越大，系統對初始值越敏感。設系統參數b=28,c=8/3 ，控制參數μx=2.8,μy=2.8,μz=2.8 ，初始狀態基準點(x0,y0,z0)= ( 0.1,0.1,0.1)，初始狀態偏離點(x′0,y0′,z0′)= ( 0.1+d,0.1,0.1)，偏離距離d=10?7，當參數a變化時，系統的最大Lyapunov指數如圖4(a)所示。系統在A點處的 LLE=0.91，表現為混沌態。將仿真參數設置為A點的對應參數，且Logistic映射初始值基準點g0x=0.6，偏離點g0′x=0.6+d，繪制系統隨μx變化的最大Lyapunov指數曲線，如圖4(b)所示。在μx變化的過程中，LLE始終大于A點。當μx<3.57，LLE保持在0.91附近，表明系統軌道分離程度基本不變；隨著μx的繼續增大，LLE在總體上顯著提高，并在μx=4處 取得最大值13.1，這表明系統對初值g0極度敏感。

圖4 最大Lyapunov指數和混沌序列復雜度

采用C0算法分析本文系統混沌序列的復雜度[14]，C0值越大，序列越接近隨機序列，系統安全性能就越高。設控制參數μy=2.8 ,μz=2.8，繪制C0隨μx變 化的曲線，如圖4(c)所示。在控制參數μx小于3時，多渦卷系統退化為Lorenz系統，C0值小于0.15，表明其混沌序列的復雜度較低；在μx從3變化到4的過程中，Logistic映射的局部分岔導致C0曲線出現了局部上升或回落，但從整體上看，在μx>3.57 后，參數μx越大，C0值越大，且可達到0.5，表明本文系統的混沌序列的復雜度遠高于Lorenz系統。

3.5 初始條件敏感性

通過混沌序列進一步分析多渦卷系統對函數S(t)的 初始條件的敏感性。以參數μx和 初始值g0x為例，設控制參數μx=3.9 ，初值g0x=0.6，迭代系統5000次，得圖5中紅色曲線所示的混沌序列；保持g0x不變，將μx修改為3.9+10?5, 3.9+10?10和3.9+10?15，得到相應的混序列分別如圖5(a)、圖5(b)和圖5(c)所示；保持μx不變，將g0x修改為0.6+10?5, 0.6+10?10和0.6+10?15，得到相應的序列分別如圖5(d)、圖5(e)和圖5(f)所示。顯然，控制函數的參數和初值的微小改變可使系統的混沌序列發生顯著變化。

圖5 混沌序列

4 多渦卷混沌系統的FPGA實現

4.1 FPGA設計

混沌系統在系統控制、保密通信和圖像加密等領域有重要應用，而多渦卷混沌系統具有比一般混沌系統更復雜的動力學行為和吸引子結構，在實際應用中更有優勢。利用FPGA設計了本文多渦卷系統的硬件電路，其中FPGA芯片型號為Cyclone IV EP4CE30F23。使用4階龍格庫塔算法對系統式(3)進行離散化

其中，取樣時間h=2?10。對于式(8)，當j=1時，xt=0 ,yt=0 ,zt=0 ；當j=2,3 時，xt=0.5K1(j?1),yt=0.5K2(j?1),zt=0.5K3(j?1)；當j=4時，xt=K1(j?1),yt=K2(j?1),zt=K3(j?1)。

基于Quartus Prime16.1開發平臺實現多渦卷系統的FPGA設計，圖6為FPGA設計的頂層RTL視圖。FPGA設計主要包括3個模塊：Lglp_ParamCtrl, Lglp_top和MSACS模塊，分別用于Logistic電平脈沖函數的參數控制、Logistic電平脈沖函數的產生以及多渦卷吸引子混沌系統的迭代。Lglp_top中的3個子模塊u1_Lglp, u2_Lglp和u3_Lglp分別產生Logistic電平脈沖Sx(t),Sy(t)和Sz(t) ，并輸出到MSACS模塊。xn,yn,zn和Kij均采用32 bit的定點數表示，該定點數由1 bit符號位、7 bit整數位以及24 bit小數位組成。為了減少硬件資源消耗，在Lglp模塊和MSACS模塊中通過乒乓操作和狀態合并減少了乘法器與寄存器的消耗數量，最終共使用48個9 bit乘法器和2559個邏輯單元。

圖6 FPGA設計頂層RTL視圖

4.2 實驗結果

由FPGA輸出的數字信號通過14位的雙通道DAC芯片ACM9676傳輸給示波器，結果如圖7所示。圖7表明FPGA實驗結果與MATLAB仿真結果一致，驗證了本文多渦卷系統的物理可實現性。對于文獻[9]和文獻[10]中的系統，其渦卷數量與多邏輯電平脈沖函數的子脈沖數呈正線性關系，這不利于系統在硬件實現后多渦卷吸引子的調節。由于Logistic電平脈沖函數是通過周期分岔而非脈沖疊加產生多邏輯電平脈沖，所以本文所設計的多渦卷系統的優勢是可直接通過修改輸入參數而無需更新RTL代碼產生如圖7所示的多種類型的多渦卷吸引子。

圖7 FPGA實現效果

5 多渦卷混沌系統在圖像加密中的應用

5.1 圖像加密流程

混沌系統的對初始值敏感和偽隨機性使混沌加密已成為密碼學領域中一個新的研究熱點。圖8為基于本文所設計的多渦卷混沌系統的塊圖像加密方案，此方案采用塊加擾操作[15]，保持了密文與明文在圖像格式上的一致性。

圖8 圖像加密流程

圖像加密流程為：(1)明文Ip經過顏色空間轉換變為灰度圖像Ig，將Ig分成大小為8 ×8大小的塊矩陣，得到圖像Ib；(2)根據密鑰確定多渦卷吸引子混沌系統的初值和控制參數，密鑰參數設置為 k ey ={x0,y0,z0,a,b,c,g0x,g0y,g0z,μx,μy,μz}， 其 中3.57<μx,μy,μz ≤4，迭代多渦卷吸引子混沌系統產生混沌序列{xn}、{yn}和{zn}，根據式(9)將其轉換為偽隨機整數序列k1,k2,k3。

其中，m od(·)表 示求余函數；(3)采用k1,k2,k3對圖像Ib依次執行塊置亂、塊旋轉與塊翻轉、顏色負正變換操作，整合加密后的塊圖像得到最終密文Ie。設密鑰 key={1, 1, 1, 10, 28, 8/3, 0.6, 0.61, 0.62,3.95, 3.96, 3.97}，采用此圖像加密流程對Baboon圖像進行加密，加密效果如圖9所示。

圖9 圖像加密效果

5.2 安全性分析

將多渦卷混沌系統產生的混沌序列{xn},{yn}和{zn}轉化為0-1序列，使用NIST SP800-22測試其隨機特性，分別有15個測試編號，結果如表1所示，可看出所有測試P - value值均大于0.01，表明混沌序列具有良好的隨機性。因此，偽隨機整數k1,k2,k3可有效地破壞明文圖像的視覺信息，使密文圖像具有良好的視覺安全性。

表1 NIST SP800-22隨機特性測試結果

微小改變上述密鑰key中的g0x為 0.6+2?32或控制參數μx為 3.95+2?32，分別對Baboon密文進行解密，解密圖像如圖10所示。從圖10可看出，密鑰的微小變化均會導致解密失敗。結構相似度(Structural SIMilarity, SSIM)可用于衡量兩幅圖像的相似程度，若 SSIM < 0.1表明兩幅圖像差異較大。圖像X與圖像Y的SSIM計算方法為

圖1 Logistic電平脈沖的波形變化曲線

圖10 密文解密效果

以USC-SIPI圖像數據庫中的39組圖像為明文樣本，計算明文與對應密文的SSIM，得到所有39組樣本的平均SSIM為2.43×10?4，其中3組測試結果如表2的后3組數據所示。表中所有SSIM均小于0.1，表明由本文圖像加密方案得到的密文具有較好的視覺安全性。

表2 參數敏感性和密文視覺安全性分析

6 結束語

本文設計了控制簡單且復雜度不隨參數改變的Logistic電平脈沖函數，利用Logistic映射的周期分岔和混沌產生多邏輯電平脈沖和隨機電平脈沖，采用非自治的脈沖控制方法將Logistic電平脈沖函數作為控制函數引入到Lorenz系統，得到一個新的多渦卷吸引子混沌系統，有如下結論：(1)控制函數不影響系統平衡點穩定性；(2)增加渦卷數量不改變系統電路實現的復雜度；(3)FPGA電路可在不改變RTL代碼的情況下僅通過控制參數的改變即可產生不同的多渦卷吸引子；(4)與Lorenz系統相比，此多渦卷系統具有更多的敏感性參數，應用于圖像加密時密鑰空間更大，更能有效抵抗窮舉攻擊。