分布參數系統源控制系統設計

周筆鋒 羅毅平 唐果寧

實際生活中,許多物理系統如熱擴散、流體換熱器、化學工程、旋轉梁、可變幾何形狀、靜電微致動器、集成和消防神經元等都具有時空特性,它們的行為必須依賴于時間和空間位置,這些系統的時空過程稱為分布參數系統(Distributed parameter system,DPS)[1?9].針對此類系統,學者們通常根據能量守恒定律構建擬線性拋物型偏微分方程(Quasi-linear parabolic partial differential equation)進行研究.所以,以擬線性拋物型偏微分方程建模研究分布參數系統一直是國內外相關領域學者的重點研究課題[10?17].

針對分布參數系統的穩定性控制問題,許多學者提出了各類行之有效的方法,分布式控制[10?12]是最早提出的一種控制方式之一,如文獻[10]中,Luo 等針對分布參數系統,設計分布式控制器,得出了分布參數系統指數穩定控制器存在的充分條件.文獻[11]中,Ji 等以模型參考為基礎,研究了馬爾科夫跳躍分布參數系統的自適應控制問題.分布式控制方法針對分布參數系統的所有節點進行控制,雖然理論上能達到良好的控制效果,但是在實際工程中對分布參數系統的所有節點進行控制往往是很難做到的.針對此類問題,又有學者提出了分布參數系統邊界控制方案[13?16],如文獻[13]中,Zhang 等針對一類非線性隨機分布參數系統的H∞邊界控制問題,提出了一種簡單而有效的H∞邊界靜態輸出反饋(Static output feedback,SOF)控制方案,并進行了邊界配置測量以保證具有H∞性能的均方意義上的局部指數穩定.文獻[14]中,周延九等針對一類由半線性拋物型偏微分方程描述的分布參數系統,提出基于邊界控制的控制策略研究了其鎮定問題.邊界控制方案對于低維空間(如一維)具有很好的效果,但隨著分布參數系統的空間維數增高,對系統進行邊界控制會比較難實現.基于此,有學者針對分布參數系統提出了中和控制方案,如在文獻[17]中,周筆鋒等針對具有時滯特性的分布參數系統,提出并設計了中和控制器,討論了此類系統的穩定問題.中和控制方案對于具有實體擴散類的分布參數系統(如污染物擴散),在找到對應 “解藥”后具有很好的控制效果,但對于能量類的擴散(如熱傳遞)的分布參數系統模型,本文提出的源控制方案能達到更加優越的效果.

源控制方法是基于能量守恒定律.首先,將空間分成若干份,每份空間看成一個節點,基于每個節點與節點間的能量傳遞,定義空間能量傳遞拓撲矩陣,這樣的系統就是一個分布參數模型.如在一個大型會議室中,設計中央空調的排風口時,通常想了解會議室各個區域的溫度的變化情況,使會議室內各點溫度達到一致狀態.將會議室內空間分成干份,這樣,會議室的溫度變化情況就可以看作是一個分布參數系統.然后,在系統空間的所有節點中,將能使能量產生量變源頭的節點空間定義為源節點,其他節點稱為跟隨節點.如前面的例子,中央空調的排風口就是源節點,其他的點是跟隨節點.

本文所設計的源控制方法僅針對源節點,根據經驗函數設計控制器,同時通過反饋控制作用對系統進行二次調節,而針對其他跟隨節點,考慮分布參數系統的時空特性,由于源節點的逸散作用,跟隨節點同樣受到控制影響.與文獻[10?12]提出的分布式控制方法不同,分布式控制是要對系統的每一點進行控制.所以,本文所提出的源控制方法在分布參數系統的實際控制上具有可操作性.進而,本文針對分布參數系統,對源節點根據經驗函數與反饋調節結合,對跟隨節點產生逸散控制作用,研究分布參數系統的穩定性問題就顯得尤為有意義.

基于此,本文將構成分布參數系統的空間分成若干份,每份為一個節點,在所有的節點中,將空間產生量變的源頭的節點定義為源節點,跟隨源節點變化的節點為跟隨節點,研究分布參數系統的鎮定問題.對于源節點,根據經驗函數結合反饋偏差調節設計控制器,對跟隨節點考慮源節點控制的逸散作用.利用Lyapunov 穩定性理論并結合線性矩陣不等式(Linear matrix inequality,LMI)處理方法,得出了分布式參數系統穩定源控制器存在的充分條件.最后結合所給條件,給出一個數值仿真說明其有效性.

1 問題描述

考慮如下分布參數系統.

1) 源節點

注1.矩陣G為系統擴散?吸收因子矩陣,對于系統源節點,系統擴散因子大于吸收因子,即滿足GL ?GZL >0.

系統初始邊界條件為

其中,θ為?? 的單位外法向量.

2 控制器設計

定義1.分布參數系統源控制.將構成分布參數系統的空間分成若干個子空間,每個子空間視為一個節點,在系統所有的節點中,將空間產生量變源頭的節點定義為源節點,跟隨源節點變化的節點為跟隨節點.源控制為僅對系統源節點進行控制作用,對于跟隨節點,其控制作用為對源節點的控制逸散作用.

由此,式(4)和(5)中,UL與Ug滿足

3 主要結論

通過構造合適的Lyapunov-Krasovskii 函數,結合LMI,由Green 公式和矩陣不等式處理法,根據Lyapunov穩定性理論,可以得出所討論系統狀態漸近穩定的結果.

定理1.在假設1 條件下,關于系統源系統節點(1)及跟隨系統節點(2),對于任意給定的正定矩陣P,Q,若存在矩陣K,使得如下線性矩陣不等式成立

則系統(1)和(2)在給出的邊界條件和源控制器(10)和(11)下是漸近穩定的,符號 “?”代表矩陣的對稱項.

證明.構造Lyapunov-Krasovskii 函數

則V

定理1 給出了非線性分布參數系統源控制鎮定性的充分條件,下面對一般線性分布參數系統這一特殊情形,給出相應系統鎮定的一個推論.

對于源節點:

對于跟隨節點:

推論1.對于源節點系統(14)及跟隨節點系統(15),任意給定的正定矩陣P,Q,若存在矩陣K,使得如下線性矩陣不等式成立:

則系統(14)和(15)在給出的邊界條件以及源控制器(10)和(11)下是漸近穩定的,符號 “?” 代表矩陣的對稱項.

證明.構造Lyapunov-Krasovskii 函數

證明參考定理1. □

4 數值仿真

為了說明問題,考慮如下分布參數系統及控制系統

應用定理1 所提出的方法,通過MATLAB 軟件中的LMI 工具箱,可以得到控制系統參數:K= ? 4.9603,B=[?1,?3,?3.8]T,φ=diag{0.4569,0.0152,0.0012},即,Ψ=diag{?1,?3,?3.8}.

給定系統的初始條件:w1(x,0)=exp(0.7×(?x+5)),w2(x,0)=10×sin(x),w3(x,0)=sin(2×x),w4(x,0)=0.1×sin(3×x),圖1 和圖2 分別給出了系統源節點狀態和系統跟隨的狀態圖.

圖1 系統源節點 WL(x,t) 狀態圖Fig.1 The system state of source nodesWL(x,t)

圖2 系統跟隨節點 Wg(x,t) 狀態圖Fig.2 The system state of following nodesWg(x,t)

5 小結

本文將構成分布參數系統的空間分成若干份,每份為一個節點,在所有的節點中,將能產生量變的源頭定義為源節點,跟隨源節點變化的節點定義為跟隨節點,由此構建分布參數系統模型.對于源節點,根據經驗函數結合反饋偏差調節設計控制器;對于跟隨節點,考慮源節點控制的逸散作用,設計控制器,利用Lyapunov 穩定性理論并結合LMI 處理方法,得出了分布式參數系統穩定源控制器存在的充分條件.最后結合所給條件,給出一個數值仿真并說明其有效性.