融合差分變異和切線飛行的天鷹優(yōu)化器

摘要：針對天鷹優(yōu)化器（aquila optimizer，AO）雖然擁有強大的全局勘探能力，但局部開發(fā)能力不足的問題，提出融合差分變異和切線飛行的天鷹優(yōu)化器（differential evolution mutation and tangent flight aquila optimizer，DEtanAO）。首先，根據(jù)差分進化算法中的變異操作能使算法具有較強的開發(fā)能力彌補了AO算法的不足，然后，利用切線搜索算法中切線飛行策略具有較強的探索搜索空間的能力并能使算法跳出局部最優(yōu)解的優(yōu)勢，用其替換了AO算法中的萊維飛行。這兩種策略的結(jié)合有效地平衡了DEtanAO算法的勘探和開發(fā)階段。最后，為驗證DEtanAO算法的優(yōu)化性能，在12個標準基準函數(shù)、高維函數(shù)、Wilcoxon秩和檢驗以及工程優(yōu)化問題上來測試改進算法的尋優(yōu)能力。實驗結(jié)果表明，相比其他智能算法，DEtanAO算法具有更強的尋優(yōu)能力和更快的收斂速度。

關(guān)鍵詞：天鷹優(yōu)化器；差分變異；切線飛行；勘探與開發(fā)

中圖分類號：TP301.6文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2022）10-017-2996-07

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2022.03.0129

Aquila optimizer integrating differential mutation and tangent flight

Xu Yifeng，Liu Sheng，Liu Yusong，Zhang Weikang

（School of Management，Shanghai University of Engineering Science，Shanghai 201620，China）

Abstract：The aquila optimizer（AO），although capable of robust global exploration，had problems with inadequate local development.In the study，this paper proposed a differential evolution mutation and tangent flight aquila optimizer（DEtanAO）.Firstly，the mutation operation in the differential evolution algorithm could make the algorithm had strong development ability and made up for the shortcomings of the AO algorithm.Then，the tangent flight strategy in the tangent search algorithm had a strong ability to explore the search space and could make the algorithm jump out of the local optimal solution，which was used to replace the Lévy flight in the AO algorithm.The combination of these two strategies effectively balanced the exploration and exploitation stage of the DEtanAO algorithm.Finally，in order to verify the optimization performance of the DEtanAO algorithm，the optimization ability of the improved algorithm was tested in 12 standard benchmark functions，high-dimensional functions，Wilcoxon rank-sum test，and engineering optimization problems.Compared with other newly proposed intelligent algorithms，the results show that the optimization ability and convergence speed of the DEtanAO algorithm is better.

Key words：aquila optimizer；differential evolution mutation；tangent flight；exploration and exploitation

0引言

隨著現(xiàn)實世界中離散、無約束性質(zhì)的優(yōu)化問題越來越復(fù)雜，傳統(tǒng)的基于數(shù)學(xué)的優(yōu)化算法很難找到最優(yōu)解，并且存在一定的缺點和局限性，例如收斂至局部最優(yōu)和未知的搜索空間并且對于優(yōu)化問題的解決方案單一等。為解決上述問題，近年來，基于仿生學(xué)的元啟發(fā)式優(yōu)化算法不斷被提出和改進，并以其操作簡便、參數(shù)調(diào)整簡單等特點大受學(xué)者青睞，如加入自適應(yīng)權(quán)重模擬鳥群覓食行為的混沌粒子群算法（chaotic-particle swarm optimization，CPSO）［1］、受麻雀覓食和反哺行為啟發(fā)提出的麻雀搜索算法（sparrow search algorithm，SSA）［2］、受海洋適者生存理論啟發(fā)提出的海洋捕食者算法（marine predators algorithm，MPA）［3］、融合了精英反向和黃金正弦策略的鯨魚優(yōu)化算法（elite opposition based golden-sine whale optimization algorithm，EGolden-SWOA）［4］等。這些算法的提出為解決復(fù)雜的優(yōu)化問題提供了更多的思路。

天鷹優(yōu)化器（aquila optimizer，AO）是Abualigah等人［5］于2021年提出的一種新的基于種群的優(yōu)化方法，該方法受到自然界中天鷹在捕獲獵物過程中行為的啟發(fā)，具有強大的全局勘探能力、搜索效率高、收斂速度快等優(yōu)點，但其局部開發(fā)能力不足，容易陷入局部最優(yōu)。Wang等人［6］提出了一種改進的混合天鷹優(yōu)化器和哈里斯鷹眼優(yōu)化器（IHAOHHO），將HHO算法的開發(fā)策略集成到AO算法的探索策略中，并添加反向?qū)W習(xí)策略（ROBL）以避免局部最優(yōu)停滯。同時，非線性逃逸能量參數(shù)平衡了算法的探索和開發(fā)階段。這些改進使得IHAOHHO算法的尋優(yōu)性能得到提升。除此之外，Mahajan等人［7］將AO算法和算數(shù)優(yōu)化算法相結(jié)合（AO-AOA）來解決優(yōu)化問題，并在23個基準函數(shù)上驗證了所提算法的有效性與優(yōu)越性；Wang等人［8］提出了一種改進的多目標天鷹優(yōu)化器，并用其設(shè)計了一款基于混合固體氧化物燃料電池（SOFC）系統(tǒng)的混合動力系統(tǒng)，從而改善了整體成本和用火效率；Jnr等人［9］將離散小波變換（DWT）、混沌理論的相空間重構(gòu)（PSR）、天鷹優(yōu)化算法（AOA）和反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（BPNN）混合起來提出了DWT-PSR-AOA-BPNN模型，并將其應(yīng)用于預(yù)測風速，實驗結(jié)果表明該模型預(yù)測精度較高。但是由于天鷹優(yōu)化器提出的時間較短，國內(nèi)并沒有對AO算法的改進進行充分研究，其性能仍有進一步的提升空間以便應(yīng)用于更多的實際問題中。本文提出一種融合差分變異和切線飛行的天鷹優(yōu)化器（DEtanAO），首先在AO算法中加入差分變異策略，提高算法的搜索精度，接著利用切線搜索算法（tangent search algorithm，TSA）［10］中的切線飛行策略替代AO算法中的萊維飛行策略，進一步優(yōu)化AO的尋優(yōu)性能，使其跳出局部最優(yōu)解。為證明改進算法的有效性，隨后在單模態(tài)、多模態(tài)和高維測試函數(shù)上進行多種算法的對比實驗，并進行Wilcoxon秩和檢驗分析，進一步在工程應(yīng)用問題上檢驗所提算法的前沿性，結(jié)果表明DEtanAO算法的尋優(yōu)精度、收斂速度有著顯著提升。

1天鷹優(yōu)化器

天鷹優(yōu)化器模擬了天鷹對不同獵物的不同捕獵方式。天鷹對于快速移動獵物的狩獵方式反映了算法的全局探索能力，對于慢速移動獵物的狩獵方式反映了算法的局部開發(fā)能力。AO算法具有較強的全局探索能力、較高的搜索效率和較快的收斂速度，但其局部開發(fā)能力不足，容易陷入局部最優(yōu)。AO算法模擬了天鷹在狩獵期間的行為，其優(yōu)化過程用四種方法表示：通過垂直彎腰的高翱翔選擇搜索空間（X1）；通過短滑翔攻擊的等高飛行在搜索空間內(nèi)探索（X2）；通過慢速下降攻擊的低空飛行在收斂搜索空間內(nèi)探索（X3）以及通過行走和抓取獵物進行俯沖（X4）。

1.1拓展探索（X1）

在第一種方法（X1）中，天鷹識別獵物區(qū)域并通過垂直彎腰的高翱翔來選擇最佳狩獵區(qū)域。在這里，天鷹從高空翱翔來確定搜索空間的區(qū)域，即搜索獵物在哪里。圖1顯示了天鷹高翱翔和垂直彎腰的行為。

這種行為用數(shù)學(xué)式（1）表示為

X1（t+1）=Xbest（t）×（1-tT）+（XM（t）-Xbest（t））×rand（1）

XM（t）=1N∑Ni-1Xi（t）j=1，2，…，dim（2）

其中：X1（t+1）是由第一個搜索方法（X1）生成的t的下一次迭代的解；Xbest（t）是第t次迭代的最優(yōu)解，反映了獵物的大致位置；（1-t/T）表示通過迭代次數(shù)控制探索；XM（t）表示當前解決方案在第t次迭代時的平均值；rand是［0，1］的隨機數(shù)；t和T分別表示當前迭代次數(shù)和最大迭代次數(shù)；dim是問題的維度；N是候選解的個數(shù)。

1.2縮小探索范圍（X2）

在第二種方法（X2）中，當天鷹從高空找到獵物區(qū)域時，會在目標獵物上方盤旋，準備好發(fā)動攻擊，這種方法稱為短滑翔攻擊的等高飛行。此時，天鷹優(yōu)化器狹窄地探索目標獵物的選定區(qū)域，為攻擊做準備。圖2展示了帶有短滑翔攻擊的天鷹等高飛行的行為。這種行為用數(shù)學(xué)式（3）表示為

X2（t+1）=Xbest（t）×Levy（D）+XR（t）+（y-x）×rand（3）

Levy（D）=s×u×σ|v|1β（4）

σ=（Γ（1+β）×sin（πβ2）Γ（1+β2）×β×2（β-12））（5）

其中：X2（t+1）是由第二個搜索方法（X2）生成的t的下一次迭代的解；D表示維度空間；Levy（D）是萊維飛行分布函數(shù)；XR（t）是［1，N］的隨機解；s是固定為1.5的常量值；y和x在搜索中呈現(xiàn)螺旋形式，其計算公式為

y=r×cos（θ）（6）

x=r×sin（θ）（7）

r=r1+U×D1（8）

θ=-ω×D1+θ1（9）

其中：θ1=（3×π）/2；r1為1～20的固定周期指數(shù)；U的值為0.005 65；D1是1到搜索空間長度的整數(shù)；ω的值為0.005。

1.3擴大開發(fā)（X3）

在第三種方法（X3）中，當天鷹鎖定了捕食區(qū)域，天鷹準備好著陸和攻擊，隨后垂直下降并進行初步攻擊來試探獵物的反映，這種行為稱為低空飛行和慢速下降攻擊。圖3展示了天鷹低空飛行和緩慢下降的攻擊行為。

這種行為用數(shù)學(xué)式（10）表示為

X3（t+1）=（Xbest（t）-XM（t））×α-rand+（（UB-LB）×rand+LB）×δ（10）

其中：X3（t+1）是由第三個搜索方法（X3）生成的t的下一次迭代的解；α和δ是開采調(diào)整參數(shù)，其值較小，在（0，1）內(nèi)；LB、UB分別代表所給問題的上、下限。

1.4縮小開發(fā)范圍（X4）

在第四種方法（X4）中，當天鷹接近獵物時，它會根據(jù)獵物隨機移動攻擊獵物，這種方法稱為行走并抓住獵物，如圖4所示。

這種行為用數(shù)學(xué)式（11）表示為

X4（t+1）=QF×Xbest（t）-（G1×X（t）×rand）-G2×Levy（D）（11）

QF（t）=t2×rand-1（1-T）2（12）

G1=2×rand-1（13）

G2=2×（1-tT）（14）

其中：X4（t+1）是由第四個搜索方法（X4）生成的t的下一次迭代的解；QF表示用于平衡搜索策略的質(zhì)量函數(shù)，其中F∈（0，1）；G1表示獵物在逃逸過程中天鷹采用的不同方法；G2表示2～0的遞減值，代表了天鷹在追蹤獵物時從第一個位置到最后一個位置時的飛行坡度；QF（t）是第t次迭代時的質(zhì)量函數(shù)值；rand是（0，1）的隨機數(shù)；t和T分別表示當前和最大的迭代次數(shù)。圖5是AO算法流程。

在AO算法的兩個階段，都需要添加貪心算法來保證個體的新位置優(yōu)于其原位置。從AO算法的實現(xiàn)公式來看，四個位置更新公式中，式（1）和（11）會向0收斂，式（10）會收斂到常數(shù)，只有式（3）勉強會收斂至最優(yōu)解，故AO算法易陷入局部最優(yōu)。

2改進的天鷹優(yōu)化器（DEtanAO）

2.1差分變異策略

差分進化算法（DE）［11］是一種基于種群進化的算法。通過對種群采取三種進化操作，即變異、交叉以及選擇操作進行迭代，使算法趨于全局最優(yōu)解。DE算法利用差分這種變異操作來產(chǎn)生變異種群作為新的個體；再通過交叉操作，對變異種群和原始種群進行交叉，得到交叉種群；對原始種群和交叉種群利用貪婪選擇選取下一代種群。差分變異指的是DE通過兩個不同父代向量做差，實現(xiàn)變異個體與差分向量的結(jié)合，常用的變異策略如表1所示。

變異策略數(shù)學(xué)表達式

DE/rand/1Vti，j=Xtr1，j+F（Xtr2，j-Xtr3，j）

DE/best/1Vti，j=Xtbest，j+F（Xtr2，j-Xtr3，j）

DE/current-to-best/1Vti，j=Xtr1，j+F（Xtbest，j-Xti，j）+F（Xtr1，j-Xtr2，j）

表1中F∈（0，1） 為縮放因子，r1≠r2≠r3且r1、r2、r3為隨機整數(shù)，Xtbest，j表示第j代最優(yōu)個體，Vti，j表示變異后的個體，Xti，j表示第j代第i個個體，Xtri，j、Xtr2，j、Xtr3，j表示當前種群中隨機選取的不同個體。

基于“best”的變異策略具有良好的開發(fā)能力和快速收斂的性能，以天鷹當前種群中適應(yīng)度最好的個體作為基矢量，式中Xtr2，j、Xtr3，j由天鷹種群隨機產(chǎn)生。其中，變異算子F隨著迭代次數(shù)的增加動態(tài)隨機變化，在算法迭代初期，F(xiàn)值較小時，縮放因子對變異的影響較小，天鷹的變異受群體中最優(yōu)天鷹的影響，變異的天鷹會快速朝向群體最優(yōu)個體靠近；在算法運行后期，F(xiàn)值較大時，縮放因子對變異影響較大，天鷹聚集在最優(yōu)天鷹個體的周圍，使得種群在最優(yōu)個體周圍進行局部細致探索，提高算法的搜索精度。

2.2切線飛行策略

切線搜索算法（tangent search algorithm，TSA）［10］是2021年提出的一種新的基于種群的優(yōu)化算法。TSA使用一個基于切線函數(shù)的數(shù)學(xué)模型將給定的解移向更好的解。無論是基于導(dǎo)數(shù)還是基于微分的最優(yōu)化算法都是類似于式（15）的下降等式：

Xt+1=Xt+step×d（15）

其中：step是移動的大??；d是移動的方向。最優(yōu)化算法的區(qū)別在于如何計算步長，基于導(dǎo)數(shù)的方法使用梯度下降法或海森矩陣；然而基于微分的方法中，如元啟發(fā)式算法，使用隨機步驟收斂到全局最優(yōu)。比如，遺傳算法［12］使用高斯變異作為步長；差分進化算法［13］通過當前種群個體之間的差值來計算步長；布谷鳥搜索算法［14］通過萊維飛行函數(shù)來計算步長。

步長的優(yōu)化對于算法的優(yōu)化極為關(guān)鍵，步長的大值有利于探索，小值有利于開發(fā)。TSA算法中提出了一種基于切線函數(shù)的新的步長，稱之為切線飛行，切線函數(shù)有助于有效地探索搜索空間。全局和局部游走相結(jié)合的探索搜索方程如式（16）所示。

Xt+1=Xt+step×tan（θ）（16）

從數(shù)學(xué)邏輯上講，越接近π/2的θ，切值越大，得到的解離當前解越遠；越接近0的θ，切值越小，得到的解越接近當前解。探索搜索方程應(yīng)用于概率為1/D的每個變量，其中D為問題的維數(shù)。用切線飛行函數(shù)，替代天鷹優(yōu)化器中的萊維飛行函數(shù)，使AO在規(guī)避局部開發(fā)不足的同時又進一步提高AO算法的全局探索能力。圖6、7是用Mantegna方法［15］模擬1 000次的萊維飛行和切線飛行的隨機游走示意圖。

從圖6、7可以看出，萊維飛行產(chǎn)生的步幅隨機性大、步長區(qū)間窄，導(dǎo)致傳統(tǒng)算法可能出現(xiàn)在迭代前期搜尋距離過小，而在迭代末期出現(xiàn)搜尋距離過大的問題，使得算法優(yōu)化迭代周期過長、精度不足；然而切線飛行出現(xiàn)大跨步的頻率要比萊維飛行高，彌補了萊維飛行搜尋距離過大過小的問題，切線飛行比萊維飛行更有利于跳出局部最優(yōu)解并進行大范圍的搜索，使得天鷹獲得更多的捕食機會。

2.3DEtanAO的時間復(fù)雜度分析

時間復(fù)雜度分析通常依賴于種群初始化、計算適應(yīng)度函數(shù)和更新解三個規(guī)則。假設(shè)種群數(shù)量為N，O（N）是種群初始化過程的計算復(fù)雜性，O（T×N）+O（T×N×dim）是解的更新過程的計算復(fù)雜性，其中，總迭代次數(shù)為T，問題維度為dim。因此，AO的總時間復(fù)雜度為O（N×（T×D+1））。

由標準AO的復(fù)雜度可知，DEtanAO僅添加了差分進化算法中的變異策略O(shè)（T×N），并將原來的Lévy飛行策略變成tangent飛行策略，不增加計算復(fù)雜性。因此，DEtanAO的總時間復(fù)雜度為O（N×（T×（D+1）+1））。

綜上分析，DEtanAO算法復(fù)雜度與標準AO算法時間復(fù)雜度屬于同一級別，并未增加額外的計算。DEtanAO算法的偽代碼如下所示。

算法Pseudo-code of the DEtanAO

輸入：i，e，α，δ，etc。

輸出：best position、best fitness。

initialization the population //種群初始化

define initial parameter（i，e，α，δ，etc） //定義初始參數(shù)

while（the end condition is not met） do

calculate the fitness function values and the best obtained solution Xbest（t）//計算最佳適應(yīng)度值

for（i=1，2，…，N） do

update the XM（t），x，y，G1，G2，Levy（D），etc//更新各參數(shù)

expanded exploration （X1）：update the current solution using equation（1） //拓展探索：用式（1）更新位置1

narrowed exploration （X2）：update the current solution using equation（3） //縮小探索范圍：用式（3）更新位置2

expanded exploitation （X3）：update the current solution using equation（10） //擴大開發(fā)：用式（10）更新位置3

narrowed exploitation （X4）：update the current solution using Equation（11） //縮小開發(fā)范圍：用式（11）更新位置4

end for

for

mutation：generate a mutant population //差分變異策略

end for

end while

function tangent flight //切線飛行策略

end

3仿真實驗與結(jié)果分析

3.1仿真實驗環(huán)境

本次仿真測試環(huán)境為：操作系統(tǒng)版本為Windows 10、64位操作系統(tǒng)，處理器為Intel CoreTM i5-10210U CPU @ 1.60 GHz 2.11 GHz，內(nèi)存16.0 GB，主頻2.11 GHz，仿真軟件為MATLAB 2020b。

3.2比較對象和參數(shù)設(shè)置

本文選取基本天鷹優(yōu)化器（AO）［5］、混沌粒子群算法（CPSO）［1］、麻雀搜索算法（SSA）［2］、海洋捕食者算法（MPA）［3］、融合了精英反向和黃金正弦策略的鯨魚優(yōu)化算法（EGolden-SWOA）［4］以及用切線飛行策略替換萊維飛行的天鷹優(yōu)化器（tanAO），與本文所提的融合差分進化和切線飛行的天鷹優(yōu)化器（DEtanAO）進行對比。為保證實驗的公平有效，所有算法的種群規(guī)模設(shè)置為30，迭代次數(shù)設(shè)置為500，其他參數(shù)設(shè)置如表2所示。

3.3測試函數(shù)

為驗證改進算法有更好的尋優(yōu)性能，本文選取12個基準測試函數(shù)進行函數(shù)優(yōu)化對比實驗。其中選取單峰測試基準函數(shù)（f1～f6）用于檢查算法的局部開發(fā)能力，多峰測試基準函數(shù)（f7～f9）用于檢查算法的全局勘探能力，固定維度多峰函數(shù)（f10～f12），具體函數(shù)信息如表3所示。

3.4尋優(yōu)精度分析

將本文所提出的DEtanAO與AO、tanAO、CPSO、SSA、MPA、EGolden-SWOA分別在12個基準函數(shù)上獨立運行30次，其中非固定維度函數(shù)的維度設(shè)置為dim=30/100/500。表4、5統(tǒng)計了七種算法分別在低維、高維和固定維數(shù)時，得到的最優(yōu)解、平均值和標準差。

表4的測試結(jié)果顯示，DEtanAO在函數(shù)f1、f3、f10、f12上的尋優(yōu)效果達到100%，可以直接搜索到對應(yīng)函數(shù)的最優(yōu)值。相較于其他對比算法，DEtanAO在函數(shù)f1～f4、f8上的標準差為0，說明DEtanAO具有較強的魯棒性，差分變異策略保證了種群的多樣性。在低維條件下，除了直接能達到最優(yōu)值的函數(shù)，DEtanAO相比其他對比算法至少高出11個數(shù)量級、至多高出235個數(shù)量級。在高維條件下，DEtanAO相比其他對比算法在求解大規(guī)模函數(shù)時仍能保持較高水平，最大程度地接近函數(shù)最優(yōu)值，其中f3和f7仍能直接找到最優(yōu)解，f8保持與低維條件下相同的水平，表明DEtanAO算法在求解大規(guī)模問題時未陷入維數(shù)災(zāi)難，具有較強的穩(wěn)定性。根據(jù)表5，在固定維數(shù)下，MPA雖然表現(xiàn)最好，但是DEtanAO仍可以直接搜尋到最優(yōu)解，從標準差來看，魯棒性也較好。綜上所述，DEtanAO的穩(wěn)定性以及精度均較其他算法有大幅度提升。這說明，DEtanAO通過引入差分變異策略改善了原算法過度依賴天鷹根據(jù)不同攻擊方式的數(shù)學(xué)公式進行位置更新的狀況，利用切線飛行公式使得算法跳出局部最優(yōu)，提高了算法的尋優(yōu)質(zhì)量。

3.5收斂曲線分析

算法的優(yōu)劣可以通過其收斂曲線直觀地表現(xiàn)出來，收斂曲線展示了算法的收斂速度和陷入局部最優(yōu)值的次數(shù)。圖8（a）～（i）列出了DEtanAO、AO、tanAO、CPSO、SSA、MPA、EGolden-SWOA共七種算法在30維情況下，對上述12個基準函數(shù)的收斂曲線對比。觀察上述圖中各算法的收斂曲線可以看出，DEtanAO的收斂速度在整個迭代過程中都快于其他六種算法，收斂精度也是這七種算法中最好的，這不僅說明DEtanAO對比其他算法有更好的全局探索能力，而且不易陷入局部最優(yōu)解，平衡了全局探索能力和局部開發(fā)能力。其中為驗證改進策略的有效性，將僅用切線飛行策略替換萊維飛行策略的算法記為tanAO，從收斂曲線圖中可知，tanAO比基本的AO算法在收斂速度上有明顯提升。觀察f8收斂曲線圖可知，tanAO僅在150次迭代就達到了最優(yōu)值，而基本AO算法在250次迭代才達到最優(yōu)值，tanAO的尋優(yōu)精度和速度比AO有較大幅度提升。

綜上所述，本文提出的DEtanAO算法不管在低維、高維還是固定維度的函數(shù)下都具有較好的尋優(yōu)性能，其求解精度、收斂速度和魯棒性均優(yōu)于與之對比的其他六種算法，有著明顯的求解優(yōu)勢。

3.6Wilcoxon秩和檢驗

Wilcoxon［16］秩和檢驗是一種非參數(shù)統(tǒng)計檢驗方法，用于判斷比較DEtanAO算法與其他算法是否有顯著性區(qū)別，其結(jié)果分析如表6所示，其中p表示檢驗結(jié)果，h表示顯著性判斷結(jié)果。當p＜0.05時，h顯示為1，表示DEtanAO算法的顯著性強于其他算法；當p＞0.05時，h顯示為0，表示DEtanAO算法的顯著性弱于其他算法；當P顯示為N/A時，表示無法進行顯著性檢驗，DEtanAO算法顯著性可能與其他算法相同。

將DEtanAO與AO、tanAO、CPSO、SSA、MPA、EGolden-SWOA獨立運行30次的平均值進行Wilcoxon秩和檢驗，從表6中的統(tǒng)計結(jié)果可以看出，大部分的p值均小于0.05，表明DEtanAO與其他算法存在顯著差異，并且DEtanAO的性能在多個函數(shù)上優(yōu)于對比算法。

3.7工程優(yōu)化問題應(yīng)用

為驗證DEtanAO算法的前沿性以及在實際工程中的優(yōu)越性，選取了壓力容器設(shè)計優(yōu)化問題，并通過與上述對比算法的改進算法，如融合正余弦和柯西變異的麻雀搜索算法（SCSSA）［17］、混合策略改進的麻雀搜索算法（MSSSA）［18］基于分段式隨機慣性權(quán)重和最優(yōu)反饋機制的鯨魚優(yōu)化算法（FWOA）［19］、高斯量子粒子群算法（G-QPSO）［20］進行驗證比較。壓力容器設(shè)計問題［21］是一個經(jīng)典的工程優(yōu)化設(shè)計問題，目的是通過優(yōu)化圓柱容器身長L、圓柱容器內(nèi)徑R、圓柱體壁厚Ta和頭部壁厚Th，使壓力容器制作成本達到最小。問題的目標函數(shù)、約束條件和自變量取值范圍如下所示：

X=［x1，x2，x3，x4］=［Ta，Tb，R，L］

min f（x）=0.6224x1x2x3+1.7781x2x23+3.1661x4x21+19.84x3x21

s.t.g1（x）=-x1+0.0193x3≤0

g2（x）=-x2+0.00954x3≤0

g3（x）=-πx23-43πx23+1296000≤0

g4（x）=-x4-240≤0

0≤x1≤100i=1，2

0≤x1≤200i=3，4（17）

求解結(jié)果如表7所示，將四種改進算法的求解結(jié)果與DEtanAO算法的求解結(jié)果進行比較。從表中可以看出，在求解壓力容器設(shè)計問題時，DEtanAO算法的最優(yōu)解和平均值均小于其他對比算法，說明DEtanAO算法在此類優(yōu)化問題上的求解精度較高，穩(wěn)定性也能達到較好的數(shù)值，整體驗證了DEtanAO算法的前沿性和優(yōu)越性。

4結(jié)束語

本文提出一種融合差分進化和切線飛行的天鷹優(yōu)化器，通過差分進化策略，改善了原算法過度依賴天鷹根據(jù)不同攻擊方式的數(shù)學(xué)公式進行位置更新的狀況，利用切線飛行策略，有利于算法在隨機游走的過程中出現(xiàn)更大概率的大跨步，使得算法跳出局部最優(yōu)，提高了算法的尋優(yōu)質(zhì)量。通過在12個標準基準函數(shù)、高維函數(shù)、Wilcoxon秩和檢驗以及工程優(yōu)化問題上的應(yīng)用結(jié)果顯示，DEtanAO具有較強的跳出局部最優(yōu)的能力、更快的收斂速度以及更高的收斂精度。下一步考慮將DEtanAO算法應(yīng)用到其他實際問題的建模中，如機器學(xué)習(xí)各種預(yù)測分類算法中超參數(shù)的優(yōu)化，并進一步將優(yōu)化后的機器學(xué)習(xí)算法用于預(yù)測量化投資中股價變動的趨勢，以擴展本文算法在金融等領(lǐng)域的應(yīng)用范圍。

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收稿日期：2022-03-16；修回日期：2022-05-07基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目（61673258，61075115）；上海市自然科學(xué)基金資助項目（19ZR1421600）

作者簡介：徐亦鳳（1998-），女，江蘇無錫人，碩士研究生，主要研究方向為智能算法、金融（859148037@qq.com）；劉升（1966-），男（通信作者），湖北黃石人，教授，碩導(dǎo)，主要研究方向為智能計算、群智能系統(tǒng)、進化算法（ls6601@sina.com）；劉宇?。?997-），男，內(nèi)蒙古包頭人，碩士研究生，主要研究方向為智能算法；張偉康（1996-），男，山東臨沂人，碩士，主要研究方向為商務(wù)統(tǒng)計、智能計算．