門診動態溢流排隊系統感性和理性退出率分析

摘要：在現實醫療服務中，面對醫生座席數量供不應求的現狀，采用傳統的雙隊列獨立排隊系統很難高效利用醫院資源。對此，在不改變醫院現有資源的情況下設置系統動態用來合理配比各門診患者容量，在傳統雙隊列獨立排隊系統的基礎上建立動態溢流門診排隊生滅模型，并考慮患者在感性與理性因素下退出系統的概率，便于更準確地分析系統的真實狀態。借助ProModel這一靈活、可靠的離散事件仿真軟件，將模型可視化研究，并與傳統的門診排隊模型進行對比分析。仿真結果顯示，新型排隊模型的隊列平均長度、患者等待時間等服務指標均優于傳統的排隊模型。

關鍵詞：排隊系統； 動態溢流； 退出率； 感性； 理性

中圖分類號：TP391.9文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2022）10-029-3071-07

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2022.03.0116

Analysis of exit rate with perceptual and rational factors in outpatient dynamic overflow queuing system

Li Junxiang， Lu Yiling， Pan Longbo

（Business School， University of Shanghai for Science amp; Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract：In the practical application of medical service system， under the short supply of doctor seats， traditional double-queue independent queuing system is inadequate for sufficient utilization of hospital resources. In this regard， this paper built a dynamic system to allocate reasonably the capacity of each outpatient queuing system without increasing the current hospital resources. Furthermore， this paper modeled the dynamic overflow outpatient queuing system to improve the traditional double-queue independent queuing system， and considered the probability of exiting system under perceptual and rational factors to analyze accurately the real condition of system. With the help of ProModel， a flexible and reliable discrete event simulation software， this paper analyzed and compared visually the dynamic model with traditional outpatient queuing model. The simulation results show that the average queue length， waiting time of patients and other service indices of the new overflow queuing model are superior to those of traditional queuing model.

Key words：queuing system; dynamic overflow; exit rate; perceptual; rational

0引言

近年來，隨著醫療服務水平的提升及人民服務需求的不斷擴大，我國在醫療服務行業的發展尤為迅速。國家衛生健康委員會有關報告曾指出：一個國家的醫療質量和醫療安全直接關系到人民群眾健康［1］。為了持續構建優質高效醫療衛生服務體系，更好滿足人民日益增長的健康需求，各國醫療技術能力和醫療質量水平顯著提升，同時相應的醫療衛生投入也穩步增長。在各國醫療衛生投入大幅度增加的同時，醫療體制改革取得了一定的成果，但大部分醫院的運營效率并未成正比例的提升，依舊面臨著門診量大、患者排隊擁擠和等待時間過長等重要問題。據相關數據顯示，患者在就診過程中的有效診療時間大約占門診時間的10%～15%，非治療耗時高達85%左右［2］。由此可見，若要醫療質量與患者安全得到保障，不僅要考慮對醫療衛生資金投入，更需要探究如何能有效提高醫療服務系統的各個運作環節的效率。

目前，國內外許多學者對提高醫院運作效率的相關問題進行了一定的研究工作。Joseph等人［3］運用回顧性隊列研究，采用廣義估計方程壓縮的方法預測醫生每小時服務的患者數量，并研究了醫生工作量、患者安全、科室選址和服務質量之間量化關系。Andersen等人［4］將患者流建模為瞬態的排隊網絡，使用整數規劃遞歸的方法評估和分配患者到系統，直到網絡的所有隊列中都遵循等待時間目標。Zhang等人［5］提出了一種新的具有優先權的病人排隊模型，以優化急診服務的管理與經典排隊規則相比，該模型考慮了服務的關鍵因素，根據相關排隊指標探討了應急服務的優化問題。Barros等人［6］對比分析預測需求和可用醫療資源之間的誤差，用仿真模型來評估設施和資源的不同配置性能的差異。Wu等人［7］應用病床容量和服務交互的多階段串聯排隊模型對醫療系統進行建模。李凌洋等人［8］根據對醫院收費過程中隨機動態特征的研究，采用M/M/c/∞/∞/FCFS排隊模型對醫院窗口優化設置進行研究。荊彤等人［9］研究了帶有工作故障和顧客止步的重試排隊系統，為現實的醫院運營情況提供了一種風險預測和決策評估。羊英等人［10］在考慮專家服務質量和患者的排隊成本以及焦慮程度等因素下，建立了患者決策是否選擇某專家為其提供服務的價值模型。運用該模型推算出患者能夠接受的最長等待時間和隊列長度等性能指標，并提出了詳細優化意見。He等人［11］以離散事件模擬法為基礎，建立常州市某三級醫院牙科服務流程優化模型，通過實地調研收集數據，然后根據現有的服務模型設置模型參數，建議在分診流程中加入預檢，在有限的資源條件下提高醫院服務質量和資源利用率，減少病人等待時間。Kang等人［12］借助韓國國家急診信息系統，利用前饋神經網絡、正則化等人工智能技術，分析研究符合標準的多例急診患者的數據，建立急診重癥患者預檢分診算法，并將該算法與急診嚴重程度指數、修正預警評分及國家早期預警評分等進行比較，結果顯示，人工智能算法優于目前臨床常用的預檢分診算法。

綜上所述，現有文獻主要針對醫療人員的調配、患者決策和關鍵性服務指標等維度進行的獨立隊列靜態優化研究，同時運用排隊理論和算法仿真進行有效求解。但在實際場景中，醫院分診調配和隊列動態調度的優化可以極大程度地提高服務的運作效率。目前此部分的研究甚少，大量的研究［11，12］僅停留在理論性論述。因此，本文為了彌補上述研究的不足，提出了一種新型的分診模型，考慮患者的心理和理性因素，從醫生服務效率及患者實行溢流操作的角度探討了排隊系統狀態，并對排隊系統的各個指標進行量化研究。首先，在傳統的雙隊列獨立排隊系統的基礎上加了系統動態，當前隊列已滿而另一隊列仍有等待空間時，根據患者的自身意愿，允許護士臺通過二次分診操作將患者從該隊列溢流到另一隊列。其次，分析患者因心理和理性因素而選擇退出系統的概率，綜合考慮多方面約束，使降低患者等待時間和不增加患者退出率保持動態平衡的狀態。最后，在不改變醫院現有資源的情況下與傳統的門診排隊模型進行對比分析，從而達到降低患者隊列平均長度、減少患者等待時間的研究目的。由于利用傳統的算法或均衡狀態方程對模型進行求解得出的是一個靜態的平均值［13］，本文所研究的排隊系統是一個不斷變化的動態過程，通過固定數值無法反映系統的運行情況。所以利用ProModel仿真進行系統模擬，統計出相關的性能指標在運行中的變化圖，通過觀察波峰、波谷以及漲幅趨勢，更加有效且直觀地體現系統的服務過程。

1模型描述

對考慮患者雙向溢流的門診溢流排隊系統進行描述，并假設相關參數。

a）患者按照參數為λi的泊松流到達醫院（i=1，2分別表示普通和專家患者），系統有c個醫生服務座席，ci為隊列i的醫生座席數量（c=c1+c2）。當患者到達系統時，發現醫生座席正忙，則需進入隊列等待服務。

b）如果等待隊列過長或者醫生的服務效率較低時，患者可能出現情緒煩躁，甚至選擇離開排隊系統。當隊列不需等待時，患者到達后進入系統的概率為1；當隊列等待的人數大于0時，患者則不會全部進入等待隊列?；颊咄顺鱿到y的因素出于兩種情況：a）心理效用。根據患者得到的服務效用與其付出的成本差值判斷患者是否退出系統。若選擇退出，則有部分患者流失在剛進入系統階段，假設進入隊列的速率參數為i。b）理性效用。在排隊過程中，患者根據隊列長度和自身的敏感性參數等性能指標判斷是否選擇退出系統。

c）當隊列i處于飽和閾值上限Lmaxi且另一隊列未達到飽和閾值下限Lmini時，系統會給予攔截，此時系統將判斷是否符合溢流分診的條件。如果滿足條件，患者以λ′i溢流到另一門診系統就診，否則患者繼續處于當前隊列等候。為了保證醫院的經營效益及滿足患者的就診需求，確保在增加溢流操作的系統中不會損失更多的患者。系統要求各隊列患者的退出數量不得高于溢流人數的k倍（kgt;1）。

d）當醫生座席處于正常工作狀態時，i隊列的醫生服務速率服從參數為μi的指數分布。在診治患者的過程中，醫生會根據當前的工作時間改變其平均服務強度。此時系統中的i隊列患者人數小于ci+n′i時（為了方便后續計算，此時系統總患者閾值用ci +n′i表示，n′i為此時隊列的總患者閾值），各醫生的服務速率是μi，1（表示單位時間診治人數均值），ρi，1為患者在快診治速率下的診治強度；反之，各醫生的服務速率因產生疲勞而有所降低設為μi，2，ρi，2為患者在慢診治速率下的診治強度，其中μi，1gt;μi，2。

e）患者到達醫院的時間間隔、醫生座席的服務速率、患者的不耐煩強度均是相互獨立。系統服務規則服從先到先服務的原則（first in first out）。

考慮上述的幾種因素，建立二次分診的就診排隊模型的路由規則如圖1所示。患者通過多種途徑預約或現場掛號，掛號信息引導患者到相應診室的護士臺確認就診，診區的分診候診單元可實現多功能對業務的管理和操作。根據掛號要求將患者分為普通和專家門診。首先考慮心理效用，判斷患者的服務效用是否大于服務費用與相應的等待成本之和，若滿足則患者的心理效用為正，可進入相應的隊列，否則終止退出系統。其次判斷是否滿足溢流條件，若該隊列達飽和狀態系統會給予攔截，此時系統將判斷是否符合溢流分診的條件。如果滿足條件，該隊列患者可以溢流到另一門診系統就診；否則，繼續在當前隊列等待。最后，患者根據理性效用決策是否退出系統。進入隊列后，由于醫生服務效率降低或溢流操作等因素，判斷患者是否因等待時間過長而產生不耐煩因素退出系統，否則，繼續在該隊列等待服務。患者在采用先到先服務的排隊規則等待接受服務時，該路由降低了患者在等候區等候的擁擠狀況且提高了各門診醫生座席的利用率。

2模型建立

2.1目標函數

本文考慮服務能力有限且服務速率可變的M/M/c/N就診排隊模型，對系統中存在的狀態轉移進行分析。該模型為有容量限制的多服務臺系統，則就診排隊系統的狀態可以用以下集合中的元素來表示［14］。

S={（n1（t），n2（t））|0≤n1（t）lt;N1，0≤n2（t）≤N2}（1）

其中：ni（t）表示t時刻系統中i隊列的患者數量，t∈［0，T］，T為門診醫生的工作的總時長；Ni為i隊列門診系統的最大容納量。

由相關文獻研究結果顯示［15］，當醫生的服務速率會受其工作時間長度、診治患者的數量或患者病情復雜程度等因素的影響。假設服務速率隨著系統中患者的數量而變化，即i隊列醫生服務速率由式（2）所示。

μi=

ni（t）μi，10lt;ni（t）lt;ci

ciμi，1ci≤ni（t）lt;ci+n′i

ciμi，2ni（t）≥ci+n′i

（2）

對上述情形采用生滅過程進行建模，尋找穩態水平是生滅過程建模的重要問題，本部分給出生滅過程穩態條件的定理及證明。假設Pni（t）表示i隊列在t時刻到達的前n位患者的概率，P0是初始狀態，為系統中i隊列沒有患者的概率。

定理若ρi，1=λi/μi，1，ρi，2=λi/μi，2，且ρi，1lt;1，ρi，2lt;1（i=1，2）。即系統是穩定的，則存在服務率可變的排隊系統的穩態分布：

Pni（t）=1ni（t）！ρni（t）i，1P01≤ni（t）lt;ci-1

ρni（t）i，1ci！cini（t）-ciP0ci-1≤ni（t）lt;ci+n′i

ρci+n′ii，1ρni（t）-（ci+n′i）i，2ci！cni（t）-ciiP0ni（t）≥ci+n′i

（3）

證明由生滅過程平衡狀態的K氏代數方程（輸入率等于輸出率）得：對ni（t）=0狀態，有λiP0=μi，1P1，故P1=λiμi，1P0=ρi，1P0；對ni（t）=1狀態，有λiP1=2μi，1P2，故P2=12ρi，1P1=12！ρ2i，1P0；…;對ni（t）=ci－1狀態，有λiPci－1=ciμi，1Pci，故Pci=1ciρi，1Pci-1=1ci！ρcii，1P0；對ni（t）=ci狀態，有λiPci=ciμi，1Pci+1，故Pci+1=λiciμi，1Pci=ρci+1i，1ci！ciP0；…;對ni（t）=ci+n′i-1狀態，有λiPci+n′-1=ciμi，1Pci+n′i，故Pci+n′i=λiciμi，1Pci+n′-1=ρi，1ci+n′ici！cn′iiP0；對ni（t）=ci+n′i狀態，有λiPci+n′i=ciμi，2Pci+n′i+1，故Pci+n′i+1=λiciμi，2Pci+ni′=λiciμi，2ρci+n′ii，1ci！cn′iP0=ρci+n′i1ρi，2ci！cn′i+1P0；…證畢。

得到系統穩態概率Pni（t）后，系統的主要性能指標需做如下分析。在M/M/c/N系統中，只要有等待的患者，則說明患者的數量大于醫生座席的數量，即系統狀態中有ci位患者正在接受就診服務，按照求均值定義［16］，系統穩態下的t時刻i隊列門診排隊等候患者的平均隊長Li（t）為

Li（t）=∑Ni－cini（t）=1ni（t）Pni（t）（4）

由little方程［17］，在t時刻i隊列患者的平均等候服務時間為等候患者的平均隊長與患者到達速率之比。假設W′i（t）為傳統排隊模型中患者的平均等候服務時間。傳統的雙隊列獨立排隊系統患者排隊等待時間總和Γ1（t）為

Γ1（t）=∑2i=1∑Tt=0W′i（t）=∑2i=1∑Tt=0Li（t）λi（5）

假設Wi（t）為新型溢流排隊模型中患者的平均等候服務時間，則其患者排隊等待時間總和Γ2（t）為

W1（t）=L1（t）λ1-λ′1+λ′2，W2（t）=L2（t）λ2-λ′2+λ′1（6）

Γ2（t）=∑Tt=0（W1（t）+W2（t））（7）

目標函數為患者溢流操作前后系統所有患者排隊的總等待時間差值，目標函數如下：

ΔΓ=|Γ1（t）-Γ2（t）|=

∑2i=1∑Tt=0Li（t）λi-∑Tt=0L1（t）λ1-λ′1+λ′2+L2（t）λ2-λ′2+λ′1（8）

2.2約束條件

1）考慮心理因素的退出約束

效用（utility）通常用于度量服務滿足患者需求的能力，是患者進行是否接受服務決策的重要評價指標，基于效用理論［18］，將患者心理效用定義為：患者從醫生服務中得到的心理滿足程度。假設患者通過醫生服務獲得的治療效果為Ri，支付的服務費用為Ci，相應的單位時間等待成本為Ki。普通患者和專家患者的心理效用Ui（t）分別為

U1（t）=R1－C1－K1E［W1（t）］－

σ1（|E［W1（t）］－E［W2（t）］|）（9）

U2（t）=R2－C2－K2E［W2（t）］－σ2（|E［W2（t）］－E［W1（t）］|）（10）

其中：σi為患者的選擇偏好值，其與t時刻各隊列的期望等待時間E［Wi（t）］具有強關聯性。若E［W1（t）］≥E［W2（t）］，則σ1≥0，否則σ1lt;0；若E［W2（t）］≥E［W1（t）］，則σ2≥0，否則σ2lt;0。由于專家門診服務費用高于普通門診（C1lt;C2），則相應患者獲得服務效用成正相關，R1lt;R2?；颊呤欠襁x擇進入服務系統是由心理效用決定的，選擇退出系統應滿足Ui（t）≤0。因此選擇退出系統的患者的單位等待時間成本應滿足

K1≥（R1－C1－σ1（|E［W1（t）］－E［W2（t）］|））/E［W1（t）］（11）

K2≥（R2－C2－σ2（|E［W2（t）］－E［W1（t）］|））/E［W2（t）］（12）

假設t時刻普通和專家患者因心理效用選擇退出系統的概率1（t）和2（t）分別為

1（t）=（K1≥（R1－C1－σ1（|E［W1（t）］－E［W2（t）］|））/E［W1（t）］）（13）

2（t）=（K2≥（R2－C2－σ2（|E［W2（t）］－E［W1（t）］|））/E［W2（t）］）（14）

根據上述分析可知，t時刻患者進入隊列的到達率i為

λi=λi（1－i（t））（15）

2）考慮患者溢流操作的隊列約束

判斷患者是否選擇溢流操作需要滿足以下兩個條件：

a）隊列約束。當隊列i中排隊等候患者的平均隊長到達閾值上限Lmaxi，另一隊列中排隊等候患者的平均隊長控制在閾值下限Lmini的條件下，系統方可提供溢流操作的選擇，隊列約束如下：

γi，1（t）－γi，2（t）=0若γi，1（t），γi，2（t）≠0（16）

其中：γi，1（t）和γi，2（t）均為0-1變量。當L1（t）≥Lmax1時，γ1，1（t）=1，否則γ1，1（t）=0；當L2（t）≤Lmin2時，γ1，2（t）=1，否則γ1，2（t）=0，此種情況為普通患者溢流的隊列約束。當L2（t）≥Lmax2時，γ2，2（t）=1，否則γ2，2（t）=0。當L1（t）≤Lmin1時，γ2，1（t）=1，否則γ2，1（t）=0，此種情況為專家患者溢流的隊列約束。

b）患者意愿決策約束。以馬科維茲的均值—方差理論［19］為基礎建立患者是否選擇轉移隊列的決策約束，將患者等待時間的平均值Wi（t）和標準差Wσi（t）之間的權衡關系作為患者選擇決策的重要指標。各隊列患者進行客觀權衡時，仍存在均值與方差兩者之間的非對稱偏好，根據文獻研究表明［20］，相較于標準差，患者對減少均值的偏好更高。假設ν為患者非對稱偏好系數（0lt;νlt;1）。πn1（t）為t時刻普通患者選擇溢流操作的意愿，當普通患者等待時間的均值和標準差均大于專家隊列時，或均值的減少量大于標準差增加量的υ倍時，πn1（t）=1，否則πn1（t）=0。πn2（t）為t時刻專家患者選擇溢流操作的意愿，其含義同上。綜上，溢流系統的平均隊長L′i（t）為

L′i（t）=12t∑2i=1∑Tt=0πni（t）（17）

其中：

πn1（t）=1W1（t）－W2（t）gt;ν（Wσ2（t）－Wσ1（t））或

W1（t）gt;W2（t）且Wσ1（t）gt;Wσ2（t）

0其他（18）

πn2（t）=1W2（t）－W1（t）gt;ν（Wσ1（t）－Wσ2（t））或

W2（t）gt;W1（t）且Wσ2（t）gt;Wσ1（t）

0其他（19）

3）考慮理性因素的退出約束

在患者實現溢流操作的同時考慮其不耐煩因素，如果患者排隊等候的時間過長，可能會引起等待患者出現煩躁情緒，甚至有的患者會選擇離開排隊系統。假設t時刻隊列中不耐煩患者最終離開排隊系統的強度與系統穩態下的排隊等候患者的平均隊列長度Li（t）和溢流系統的平均隊長L′i（t）有關?；颊咄顺鱿到y的概率為Δi（t）?；颊咧g的選擇是獨立的，考慮每個人的耐受性是不同的。假設ε為患者的敏感性參數?；颊叩耐顺雎蕿槠骄犻L的線性函數，其止步概率為［21］

Δ1（t）=（L1（t）+L′2（t））/ε（20）

Δ2（t）=（L2（t）+L′1（t））/ε（21）

其中：系統中的該隊列排隊等候患者的平均隊列長度Li（t）和溢流系統的平均隊長L′i（t）最大容納量分別為i和′i;1+′2為普通隊列等候區域容量的最大值;2+′1為專家隊列等候區域容量的最大值。假設1+′2lt;ε，2+′1lt;ε，ε越小，則表明患者的敏感性越大，越容易產生不耐煩因素。考慮每個人的耐受性是不同的，患者的敏感性參數應在一個合理的區間內波動，聚集度不可過高或過低，假設ε在［ε，］上均勻分布，ε、表示患者敏感性參數的下限和上限（εgt;0）。系統中t時刻普通和專家患者總的退出數量li（t）為

li（t）=Δi（t）Li（t）（22）

為了保證均衡各醫生座席利用率的同時不造成原本患者的大量流失，假設t時刻患者離開隊列數量不得高于溢流患者人數的k倍，則有以下約束：

l1（t）≤kL′2（t），l2（t）≤kL′1（t）（23）

本文研究的目的是使患者實施溢流操作前后系統所有患者排隊的總等待時間差值最大，則表明溢流排隊系統可極大程度地降低患者在隊列中的等待時間。綜合以上全部約束，整合出的優化模型如下：

maxΔΓ=∑2i=1∑Tt=0Li（t）λi-∑Tt=0（L1（t）λ1-λ′1+λ′2+L2（t）λ2-λ′2+λ′1）

s.t. λi=λi（1－i（t））

γi，1（t）－γi，2（t）=0若γi，1（t）≠0，γi，2（t）≠0

L′i（t）=12t∑2i=1∑Tt=0πni（t）

l1（t）≤kL′2（t），l2（t）≤kL′1（t）（24）

3數值仿真

3.1仿真模塊分析

ProModel是一個模擬離散事件系統的仿真軟件，其時間分辨率可達0.000 1 s～0.01 s，可以極大地提升模擬的精確度［22］。它主要應用于模擬各種生產系統和服務系統。本文運用該軟件進行仿真建模，致力于降低患者的等待時間，優化門診流程中的各項服務指標。根據現實的場景進行仿真實驗，設置實驗組與對照組進行對比分析，實驗組考慮溢流排隊模型及其三個約束（如圖2所示），其余變量與對照組保持一致，從而研究新型排隊模型是否對各項服務指標有一定的影響。

ProModel建模要素包括系統對象要素和系統操作兩種類型，涉及十幾個要素模塊，其模塊基本要素參數設置如表1～3所示。

1）location （位置）/entitie （實體）location主要用來表示在醫院對患者進行排隊等待的固定地點或場所、相應的容量及單元數，并設置時間序列（time series）收集基本的數據和追蹤位置的時間序列值。entities是仿真要服務的對象，本文指醫院中就診的患者（為了區分不同位置的實體，將用病人和患者兩種表述）。

2）arrival （到達）患者到達醫院有一定的容量限制并且還需要服從一定的概率分布。為了研究結果更具使用價值，運用現場調研法對某醫院的外科診室的實際調研數據進行篩選處理后作為仿真參數。根據1個工作日的數據進行計算分析，普通門診工作時間8：00～16：15，專家門診的工作時間上午8：00～12：00；下午13：00～16：00。運用SPSS統計軟件分別對普通和專家患者到達數據及普通和專家醫生座席服務情況進行單樣本柯爾莫戈洛夫—斯米諾夫檢驗，檢驗結果表示專家和普通患者進入系統到達率數據的漸近顯著性（雙尾）均大于0.05，因此近似服從泊松分布。針對專家和普通醫生服務情況檢驗的漸近顯著性（雙尾）結果均大于0.05，因此醫生座席的服務時間是服從指數分布的?；颊叩竭_醫院的速率λi和患者選擇進入該隊列的速率λ′i均服從泊松分布，此時arrival界面設置如表1所示，在仿真模塊中的到達界面中，如果患者的數量超過容量限制，系統將禁止患者進入。

3）cost（成本）仿真中的成本模塊主要用來約束模型中考慮患者心理的退出效用，以判斷患者是否因為心理效用為負而選擇直接退出系統。在文獻［23］對供需雙方利益的研究的基礎上設置患者通過醫生服務獲得的效用參數。普通和專家的患者支付的服務費用分別為15元和40元，相應的等待成本分別為0.5和0.65，如表2所示。

if clock （min）（普通）≥U （100，10） and clock （min）（專家）≤U （90，8） then α1=0.25 else α1=－0.25;if clock （min）（專家）≥U （100，10） and clock （min）（普通）≤U （98，9） then α2=0.25 else α2=－0.25 INC v per_total_entity_cost，get cost

4）process （流程模塊）

a）首先讀取arrival模塊中的醫生工作時刻表，根據時刻表確定該隊列的最大容納量，判斷患者實體是否能夠進入各隊列的系統。

b）專家和普通患者系統是一個并聯關系，同類隊列中存儲同類患者實體，存儲實體按先到先服務的排隊規則等待輸出至醫生座席。次序1中該隊列實體根據接受到的該系統狀態信息（心理效用約束），判斷是否選擇退出系統，各隊列的實體以P（0.03）的速率退出。當實體作出相應的選擇后，為仍在系統的實體添加相應的標簽，統計實際進入系統的泊松流。

c）當被標記的實體進入各自隊列的等待暫緩區時，會觸碰各隊列患者人數統計條件，次序2判斷該隊列是否超過存儲閾值Lmaxi，且另一隊列保持在儲存閾值Lmini以內時，在超過存儲閾值數量之外的實體中，判斷該隊列實體的轉移意愿。若滿足條件的實體將該實體以P（0.232）的頻率轉移至另一隊列的暫存區繼續等待接受處理，否則直接進入次序3進行處理。

d）次序3實體直接進入該隊列的等候暫存區等待服務。各隊列暫存區的實體等待輸入各醫生座席，當該隊列的平均隊長及溢流隊列的平均隊長達到閾值時，計算實體的等待時間是否超過上限，判斷實體是否選則退出系統或仍在暫存區等待接受服務。具體路由規則如表3所示，以普通患者為例僅列舉部分process流程，專家患者以相同的邏輯規則進行仿真。

3.2仿真結果分析

實驗與仿真環境均為Windows 10，采用LINGO 18.0和ProModel version 7.0版本的軟件求解實現。為了證明仿真結果的有效性，選擇LINGO求解器求解傳統排隊模型與其對比分析。由于LINGO軟件適用于線性或非線性優化求解等問題的求解，無法將溢流排隊模型的約束進行有效量化。所以通過設置三組不同患者到達率（分別為λ1=12.976，λ2=8.249的0.8、1和1.2倍），橫向對比隨著患者到達率的增加，不同時刻患者的平均等待時間的變化情況（僅列舉t=120，240，360的結果）。運行結果如表4所示，計算理論求解值和仿真模擬值之間平均差值為9.644 4E-02，平均方差為2.386E-03。綜上分析，仿真模擬的數據結論較為準確。由表4在三個模型求解結果可看出，隨著患者到達率的正向增加，其平均等待時間也隨之延長，測試結果未出現異常值，變化趨勢亦符合現實情況。傳統模型與優化模型2組數據結果橫向對比顯示，相同時刻到達率保持一定的條件下，優化后的平均等待時間表現出明顯的優勢，說明該系統的優化路由及約束起到了正向影響的作用。

在控制變量的條件下，分別仿真了傳統的醫院排隊模型和基于患者雙向溢流并增加考慮患者因心理或理性因素退出系統的醫院排隊模型，運行周期為480 min，仿真次數為20次，當置信水平為90%時，以保證系統可達到平衡穩定的狀態。

圖3為優化前后各隊列輸出患者人數對比。從中可以得出兩點結論：a）優化后普通和專家隊列的輸出患者人數的總和大于傳統模型，說明單位時間內醫院服務的總人數有明顯的提升。b）在傳統的醫院排隊模型中專家隊列輸出的患者人數遠大于普通隊列，這種現象可能導致專家隊列的堵塞率急增或普通醫生座席空閑等情況發生。優化后的模型使普通和專家隊列的輸出患者人數達到一個相對均衡的狀態且兩個隊列的曲線漸進重合，可以很好地避免以上現象的發生。

圖4顯示了優化前后各隊列退出患者人數對比情況，傳統的專家和普通隊列患者退出人數均大于優化后的退出人數（此患者退出人數包括心理和理性因素的總和）。原因如下：a）優化后的排隊模型提高了醫生座席的利用率，相對應地減少了不同階段各隊列患者的等待時間，因此整體降低了患者因不耐煩或等待時間過長等因素而考慮退出系統的數量；b）優化后的模型給患者提供了多項選擇機會和服務渠道，而不是只能單一地讓患者選擇退出系統或進入下一時間段的服務等待區，從而更加靈活和人性化地解決了患者看病的需求，因此患者退出人數綜合有所降低。圖5顯示新型雙向溢流排隊模型中普通和專家隊列分別溢流的患者人數。由仿真結果可知，普通隊列向專家隊列溢流的患者人數在實時動態下均大于專家隊列向普通隊列溢流的患者人數，說明在現實情景中掛號專家門診的患者大部分是由于病情需要，其認為專家醫生診治效果更精準，因為等待時間過長、隊列擁擠或其他因素選擇溢流去普通隊列的患者可能是由于心理需求而非病情必須選擇專家隊列；相反，若普通隊列的患者發現當前隊列相較于專家隊列需要花費更長的等待時間時，其愿意花費更高的費用溢流去專家隊列，以達到節約時間成本的目的。

圖6為優化前后普通和專家隊列平均等待長度對比。由圖6可知，在傳統排隊模型中普通和專家隊列的平均等待長度分別穩定在30～40人和10～20人，而增加考慮患者雙向溢流這一渠道后，普通和專家隊列的平均等待長度均有明顯的下降趨勢。普通隊列平均等待時間控制在0～5人，專家隊列的平均等待時間穩定狀態處于0～6人，有幾處明顯的增加是由于普通隊列溢流到專家隊列所導致，因此結果處于合理范圍的波動。

圖7為優化前后普通和專家隊列患者平均等待時間對比圖。由圖7可知傳統的醫院排隊模型中普通和專家隊列患者的平均等待時間均處于20～40 min無規律劇烈波動，系統的穩定性不佳，突發大幅度增加平均等待時間的現象極可能增加患者的不耐煩因素，引起醫患矛盾等事件的發生。優化后的排隊模型將各隊列患者的平均等待時間均控制在10 min內，相比于傳統排隊模型，患者的平均等待時間有了明顯的下降，且各隊列平均等待時間的曲線波動變化情況相對穩定，可以看出新型的排隊模型的系統穩定性更好。

4結束語

本文探討了在考慮醫生因疲勞會改變服務速率的基礎上建立雙向溢流的排隊模型。首先對患者就診排隊問題和路由規則進行描述分析；其次運用排隊理論及擬生滅過程對各評價指標進行量化表達，并對該排隊系統相應的容納量、患者決策、退出率等因素進行約束；最后運用ProModel軟件對比分析，并應用LINGO理論求解證明仿真的有效性。研究發現在控制變量的條件下，新型排隊模型不僅能減少患者在整個就診過程中的等待時間，還能合理均衡醫患數量配比和各門診醫生的服務強度。該模型為患者在排隊過程中因隊列或等待時間過長而只能單一選擇退出系統提供了新的渠道。

本文優化結果對探討科學有效地改善就診流程提供了科學參考依據，同時該模型的思路可運用于分級診療體系、醫療機構雙向轉診、城市突發公共衛生事件的應急調度等現實問題的優化?；诒疚牡难芯績热?，還有很多角度值得進一步拓展研究，比如：從智慧醫療或“互聯網+”醫療的角度出發考慮雙向溢流系統；運用強化學習或聚類［24］等算法設置患者的決策約束等；還可增加考慮患者的差異化偏好、病情的嚴重程度、醫療成本等更為貼近實際情況的溢流約束條件等。

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收稿日期：2022-03-03；

修回日期：2022-04-26

基金項目：國家自然科學基金資助項目（72071130，71572113，71871144）；國家自然科學基金匹配項目（1P16303003，2020KJFZ034，2019KJFZ048，2018KJFZ035）；上海理工大學大學生創新訓練計劃資助項目（XJ2021165）

作者簡介：李軍祥（1971-），男（通信作者），山東樂陵人，教授，博導，博士（后），主要研究方向為系統工程（lijx@usst.edu.cn）；盧宜玲（1996-），女，湖北宜昌人，碩士研究生，主要研究方向為醫院排隊調度；潘龍博（1998-），男，本科生，主要研究方向為算法計算．