多策略融合的改進粒子群優化算法

摘 要：為解決傳統粒子群算法收斂精度低、收斂速度慢和易陷入局部最優的問題，提出了一種多策略融合的改進粒子群算法。首先，設計了一種基于中垂線算法的游離粒子位置更新方法，加快了游離粒子的收斂速度；其次，設計了一種在最優粒子附近生成爆炸粒子的策略，以增強算法的尋優精度和尋優速度，為適應前兩個策略，還設計了一種僅依靠全局最優粒子位置的粒子速度更新策略；最后，將基于概率分層的簡化粒子群優化算法的慣性權重和粒子位置更新方法用于本算法。與其他五種改進粒子群算法進行了對比實驗，結果表明提出的改進算法無論是處理低維問題還是高維問題表現均具有較大優勢，性能更優越。

關鍵詞：改進粒子群優化算法；多策略融合；中垂線算法；爆炸粒子

中圖分類號：TP301.6 文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2022）11-025-3358-07

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2022.04.0167

Improved particle swarm optimization algorithm with multi-strategy fusion

Wu Dafei，Yang Guangyong，Fan Kangsheng，Xu Tianqi

（School of Electrical amp; Information Technology，Yunnan Minzu University，Kunming 650500，China）

Abstract：To solve the problems of low convergence accuracy，slow convergence speed and easy to fall into local optimum of traditional particle swarm algorithm，this paper proposed an improved particle swarm algorithm with multi-strategy fusion.Firstly，in order to accelerate the convergence speed of free particles，the improved algorithm used a method of updating the position of free particles based on the midperpendicular algorithm.Secondly，the improved algorithm designed a strategy of generating exploding particles near the optimal particles to enhance the optimization-seeking accuracy and optimization-seeking speed of the algorithm，and the improved algorithm also designed a particle velocity updating strategy relying only on the global optimal particle position to accommodate the first two strategies.Finally，the algorithm also used the inertia weights and particle position update methods of the simplified particle swarm optimization algorithm based on probabilistic hierarchy.This paper designed a few comparison experiments with other five improved particle swarm algorithms，and the results show that the improved algorithm has a greater advantage and better performance whether dealing with low-dimensional problems or high-dimensional problems.

Key words：improved particle swarm optimization algorithm；multi-strategy integration；midperpendicular algorithm；explosive particles

基金項目：國家自然科學基金資助項目（61761049，61261022）

作者簡介：吳大飛（1997-），男，云南保山人，碩士研究生，主要研究方向為算法設計；楊光永（1970-），男（通信作者），云南昆明人，副教授，碩導，博士，主要研究方向為算法設計、信號處理、智能控制（guangyong_yang@126.com）；樊康生（1997-），男，云南曲靖人，碩士研究生，主要研究方向為群智能優化算法；徐天奇（1978-），男，云南昆明人，教授，碩導，博士，主要研究方向為智能電網．

0 引言

粒子群優化（particle swarm optimization，PSO）算法^［1］是一種模擬鳥類和魚類捕食行為的群智能優化算法。PSO有著原理簡單、計算量小且控制參數較少的優勢，因而被廣泛應用于調度問題^［2］、優化問題^［3］、路徑規劃^［4］等實際問題。

但粒子群算法還存在一些不足，如算法易陷入局部最優、易早熟、收斂速度慢和收斂精度低等。為強化粒子群算法的性能，國內外的諸多學者對粒子群算法進行了研究，并從改進參數、種群結構、位置速度更新方式和融合其他算法等方向對粒子群算法進行了改進。在改進算法的參數方面，Shi等人^[5]首次在粒子群算法中引入線性遞減的慣性權重策略，以平衡算法的全局尋優能力和局部搜索能力；Liu等人^［6］研究了粒子群算法的尋優過程，發現非線性的慣性權重能更好的改善算法的性能，提出基于logistic混沌映射的慣性權重更新方法；胡旺等人^［7］提出了一種簡化的粒子群算法，舍棄了速度更新步驟，加快了粒子群算法的收斂速度； 文獻［8］通過在粒子群算法迭代過程中同步調整學習因子和慣性權重的方式調整粒子的步長，提升了算法的收斂精度和收斂速度。在改進種群結構方面，Liang等人^［9］通過利用其他粒子的個體歷史最優信息影響粒子的速度更新，提升了算法種群的多樣性；文獻［10］通過引入三洞系統捕獲策略，提升了種群的多樣性；李冰曉等人^［11］通過將種群分為潛力子群和普通子群，利用不同的進化策略提升算法的性能；文獻［12］提出利用順序聚類算法將不同的粒子劃分到不同的小生境，并根據小生境的迭代數制定不同的搜索策略，使粒子群算法兼顧了搜索廣度和深度。改進粒子群速度和位置更新方式方面，楊妹蘭等人^［13］提出一種基于平均位置學習的改進粒子群算法；文獻［14］針對粒子群的速度和位置更新公式進行了改進，提升了粒子群算法的收斂精度和速度。與其他算法融合方面，文獻［15］通過結合RMSProp中自適應調整的策略設計了自適應慣性權重策略，以增強算法性能；陳璐璐等人^［16］提出了一種將遺傳算法和粒子群算法融合的改進算法，提升了粒子群算法的性能^［16］；文獻［17］將蟻群算法、粒子群算法和遺傳算法相結合，改進的算法性能更優越；文獻［18］提出一種改進基于tent混沌映射的量子粒子群算法，增強了算法的全局搜索性能和算法的收斂精度。

上述方法均改善了粒子群算法的性能，但目前的改進粒子群算法大多僅通過調節慣性因子來調節粒子的運動步長，進而平衡算法的收斂精度和收斂速度。這種方法雖取得一定效果，但由于收斂精度和速度的矛盾性，效果提升具有局限性。設定較大慣性因子可加快算法的收斂速度，但算法收斂精度不佳；小慣性因子有助于增強算法的收斂精度，但算法收斂速度慢。

本文為進一步改進粒子群算法的性能，利用中垂線算法（midperpendicular algorithm，MA）的收斂策略改變粒子的位置變化過程從而加快算法的收斂速度；以最優粒子爆炸策略進一步挖掘最優粒子的價值，提升算法的收斂精度。這兩種策略融合使改進粒子群收斂速度加快的同時擁有高收斂精度。為適應上述兩策略，本文設計了新的速度更新方式并融合文獻［6］的位置更新和慣性權重更新方法進一步提升了算法的性能。為證明本文算法的優越性，將本文算法與其他五種改進算法進行了對比實驗。

1 多策略融合的改進粒子群算法

1.1 中垂線算法的收斂策略

MA是由筆者提出的一種全新的群智能優化算法， 算法利用幾何數學中的中垂線的性質：中垂線上任意一點到被垂直平分的線段的兩個端點的距離相等不斷縮小最優解范圍的方法進行搜索。如圖1所示，假定在二維空間內，一個足夠小的范圍內（外圍矩形內部區域）僅存在一個最優點P，存在隨機點A、B，連接兩點所成線段的中垂線為L。A到P的距離小于B到P的距離，因L上任意一點到A點和B點的距離相等，但|PA|lt;|PB|，則P點必存在于L靠A側區域。MA以點的適應度代替最優點到該點的距離，即在圖1中A點適應度優于B點適應度，且P具有最佳適應度。以圖1為具體案例，則MA的收斂過程為：

a）MA判定最優值P存在的區域必位于中垂線靠A側區域內（圖1中網格區域），P必不位于L靠B側區域。

b）MA舍棄原B點，在L靠A側區域重新隨機生成一個點B′。

c）作A和B′構成線段的中垂線L′，如圖1所示，此時B′更接近P點，即B′適應度更佳，則MA判定最優值必存在于L′靠B′區域（圖1中陰影網格區域）。

在最優點可能存在的區域內生成新的A點，再通過中垂線判定方法即可縮小最優點所處空間。重復上述步驟即可找到最優點。

1.2 融合中垂線算法收斂策略的粒子位置變化策略

標準PSO以當前最佳粒子的位置gbest和每個粒子的歷史最佳位置pbest與當前粒子位置x的關系調節粒子的速度，從而調整每個粒子的位置，具體調節方法為

其中：w為慣性因子；c₁為個體學習率；c₂為種群學習率。該策略使每個粒子受到種群最優位置和個體歷史最優位置的影響，從而找到最優解，但僅依靠粒子速度調節粒子的位置易導致PSO收斂速度慢。

若在圖1中加入隨機粒子C，并且C位于中垂線靠B側區域，如圖2所示。若采用PSO的粒子位置更新策略更新B點和C點的位置，則必然要經多次迭代才可到達中垂線靠A側區域。

針對該問題，本文提出在利用PSO的粒子速度和位置更新策略前，將粒子B和C移動到B′和C′上（即將B和C移動到過B或C點且垂直于L′的垂足上），再采用PSO的粒子速度和位置更新策略改變粒子位置。上述策略算法實現方式為：首先判斷粒子是否位于中垂線靠B側區域，設

則若某粒子x位于中垂線靠B側區域，則x的第j維變量滿足

其中：

為提升算法的全局尋優性能，粒子x僅需有任意兩個維度變量不符合上述條件，即判定為該粒子的位置位于中垂線靠A側區域，粒子的位置不采用上述策略。

若經判定，確定該粒子位于中垂線靠B側區域，則更新x_i的第j和j+1維變量為

圖3、4為融合上述策略的改進PSO算法尋找函數f（x）=x²₁+x²₂最小值時粒子的變化。

從圖3和4的粒子位置變化對比可看出， 融合中垂線算法收斂策略的改進粒子位置變化方式有以下優勢和問題：

a）在面對單一極值問題時，可有效避免處于MA收斂策略判定為最優點不可能存在區域的粒子的緩慢位移，有利于加快算法的收斂精度，同時所有粒子在最優點存在的區域進行搜索，有利于增強算法的收斂精度，相比于粒子群算法、遺傳算法和鯨魚算法等收斂策略，MA的收斂策略在收斂精度和速度上具有巨大的優勢。

b）面對多極值的復雜優化問題時，中垂線算法的收斂策略有可能在某次迭代過程中某粒子雖處于極小值點，但前幾次迭代時該粒子適應度卻優于靠近最優點的粒子，造成粒子群算法直接拋棄最優點范圍而在極小值范圍內進行搜索。但隨著算法種群的增加，發生該種情況的概率會大幅降低。同時，隨著算法極值點的增加，每次迭代確定的最優點A和B的距離更大的概率會更大，MA的收斂策略確定的最優點的范圍會更大，造成上述問題的概率進一步降低。因此，中垂線算法的收斂策略會造成算法的全局尋優性能降低，但降低的幅度并不大。

c）面對多極值的復雜優化問題時，雖存在b）中闡述的問題，但若前幾次MA收斂策略判定的最優點存在的區域是正確的，則所有粒子均會在正確區域進行搜索，可極大增強算法在該區域的全局尋優性能。

1.3 最優粒子爆炸策略

傳統PSO的最佳粒子gbest按式（1）更新粒子的速度時，僅依靠該粒子的歷史信息，生成的下一代的粒子位置常會劣于前一時刻的粒子位置，最優粒子的作用沒有被完全發掘，從而造成算法的尋優精度和速度下降。針對該問題，本文提出一種最優粒子爆炸策略，在最優粒子周圍生成一定數量的粒子，這些粒子的生成方式為

以式（8）生成第n個爆炸粒子ex_n的j維變量，這些粒子生成于最優粒子的周圍，且生成的粒子范圍為最優粒子gbest（即A點）與B點各維度間差值的1/4，使得生成的粒子均位于中垂線靠A側區域，并使該范圍隨著迭代次數的增大而減小，從而增強算法的收斂精度。

1.4 改進粒子速度更新策略

傳統的粒子群算法會通過每個粒子的歷史最佳位置影響粒子的速度，但采用1.2節的中垂線策略后，若采用粒子的歷史位置信息反而會導致粒子回到中垂線靠B側的位置，影響算法的收斂速度，故采用以下粒子速度更新策略。

由1.3節的討論后，若種群粒子總數為m，在最佳粒子周圍生成了n個爆炸粒子，那么需要位置更新的傳統粒子個數為m-n個。為提升算法跳出局部最優的能力，將傳統粒子種群分為兩部分，設一部分傳統粒子按照式（9）更新位置，且該部分粒子占粒子總數的比例為α，為保證大多粒子不斷接近最優值設定α=［0.6，1］。剩余傳統粒子按照式（10）更新粒子速度。

即粒子x_i的速度受爆炸粒子ex_n的影響，使得粒子趨近于爆炸粒子ex_n，第i個傳統粒子x_i選擇趨近于第n個爆炸粒子ex_n的概率相等。采用式（9）和（10）進行速度更新后，不同粒子的位置變化如圖5所示。以式（9）進行速度更新的粒子會靠近當前最優點gbest，以式（10）進行速度更新的粒子會靠近gbest由1.2節公式爆炸產生的粒子ex_n。采用這種策略有以下優勢：

a）部分粒子按式（9）進行速度更新，可保證算法中一部分粒子不斷趨于最優點，有助于算法穩定；

b）部分粒子按照式（10）進行速度更新，可使算法中部分粒子位置靠近最優粒子周邊的爆炸粒子，可增強粒子種群的多樣性，增強算法的全局尋優能力。

1.5 改進粒子位置更新策略

文獻［6］提出一種采用下式的粒子位置更新策略

并證明了該策略有助于提升算法的全局尋優能力。本文為平衡算法的全局和局部尋優能力。采用式（11）的粒子位置更新策略。

1.6 慣性權重更新策略

文獻［6］同時提出一種基于logistic映射的非線性變化慣性權重，具體定義如下：

其中：w_min=0.9，w_max=0.4。因本文的改進粒子群算法保留了慣性權重以平衡算法的全局搜索和局部搜索性能，且在面對復雜高維函數優化問題時，文獻［6］證明了相對于線性慣性權重調整方法，式（12）采用logistic映射的非線性慣性調節方法更容易使算法跳出局部最優，故采用式（12）的慣性權重更新方法。慣性權重隨迭代次數增加的變化如圖6所示。

1.7 改進算法實現

根據1.2～1.6節的描述，可得到本文改進的多策略融合粒子群算法（multi-strategy fusion particle swarm optimization algorithm，MFPSO）的實現方式。

算法1 多策略融合粒子群算法

輸入：變量取值范圍、適應度函數、最大迭代次數，問題維度。

輸出：最佳適應度、最優粒子。

1 初始化參數：種群學習率，粒子速度范圍，爆炸粒子數目n，種群總數m，w_min和w_max；

2 初始化傳統粒子種群，生成m-n個傳統粒子，并計算每個傳統粒子的適應度；

3 以適應度最佳的粒子作為gbest（A點），適應度次優的粒子作為B點；

4 以式（12）生成慣性權重w；

5 以式（8）生成n個爆炸粒子；

6 以式（9）更新α×（n-m）個隨機傳統粒子的速度；

7 以式（10）更新剩余傳統粒子的速度；

8 以式（11）更新傳統粒子位置；

9 計算所有傳統粒子的適應度；

10 更新gbest（A點）和B點的值；

11 判斷是否達到算法結束條件，若達到，結束算法，否則跳轉到步驟4。

1.8 算法時間復雜度分析

設粒子群總數為m，D為粒子維度，I為最大迭代次數，爆炸粒子的數量為e，則標準粒子群優化算法的時間復雜度為O（mDI）^［14］。根據1.7節的算法步驟，算法每迭代一次，本文的粒子位置更新策略增加的時間有判斷粒子是否處于正確位置（為方便計算，假設所有粒子均判斷到最后兩個維度才確定該點是否居于正確位置）所花費的時間O（mD）、將判定為處于錯誤區間的粒子（為方便計算，假設所有粒子均需移動到中垂線上）移動到中垂線上的時間O（mD）；最優粒子爆炸策略增加的時間為O（eD）；粒子速度更新時雖設定了兩種不同的粒子速度更新策略，但相較于傳統粒子群算法，并不花費更多時間，因此該策略增加的時間為O（0）；1.5節中改進粒子的位置更新策略沒有增加消耗的時間；1.6節中非線性慣性權重增加的時間為O（3）；改進算法中需確定兩個最優粒子的位置，增加的時間為O（m）；改進算法舍棄了個體歷史最優位置，減少的時間為O（m）。故本文MFPSO的時間復雜度為O（I×（3+2mD+eD）），略去低階項后MFPSO的時間復雜度為O（mDI），算法時間復雜度的量級并未發生變化，說明相較于傳統粒子群算法，本文改進算法雖增加了一些時間花銷，但增加幅度不大。

2 算法性能驗證

為驗證本文改進算法的性能，選取了10個常見的基準測試函數進行對比實驗，基準測試函數如表1所示，其中：F₁～F₅為單峰函數，F₆～F₁₀為多峰函數。對比算法為均值粒子群優化算法（MeanPSO）^［18］、線性遞減慣性權重粒子群優化算法（LDWPSO）^［5］、基于概率分層的簡化粒子群優化算法（PHSPSO）^［19］、基于自適應策略的改進粒子群優化算法（MPSO）^［6］和基于終端交叉和轉向擾動的粒子群優化算法（TCSPSO）^［20］。本節所有實驗的種群數為100，每種算法的最大迭代次數為1 000次，算法的其他參數參照表2。本文的實驗平臺為MATLAB2018（Intel Core i5，2.11 GHz CPU and 16 GB RAM）。

2.1 參數選擇對改進算法性能的影響

在1.4節以式（9）進行速度更新的粒子占傳統粒子總數的概率α和學習率c₂的取值會直接影響改進算法的性能。為確定最佳的實驗參數，設計了兩組實驗，分別對F₁、F₂、F₆和F₁₀為目標函數進行尋優，其一為α固定為0.9時，不同c₂對算法性能的影響，50次結果的均值如表3所示。另一組為c₂=25時，不同α對算法性能的影響，50次結果的均值如表4所示。從表3可以看出，隨著c₂的增加，算法跳出局部最優的能力上升，但收斂精度不佳，測試的c₂值為25時，算法的整體性能最佳。

如表4所示，當測試函數為F₁、F₂、F₆時，設定α=1時50次結果的均值遠大于α=0.9、α=0.8時結果的均值，證明本文提出的分化粒子利用式（10）進行速度更新可有效增強算法的收斂精度，同時隨著α從0.9減小到0.6，結果的均值會出現不同程度的增加，原因是分化過多粒子以式（10）進行速度更新易導致算法穩定性降低。當測試函數為F₁₀時可以發現，當分化出一部分粒子以式（10）的速度更新時，50次實驗結果的均值會變小，當α逐步減小后，50次實驗結果的均值會變小，說明采用本文的速度更新方法后可提升算法跳出局部最優能力和全局尋優性能。從表4中可看出，當α=0.9時，改進算法的性能最佳。

2.2 低維時與其他改進PSO算法對比實驗分析

2.2.1 算法收斂精度分析

當測試函數維度為30維時，50次獨立實驗結果的均值和標準差如表5所示。當測試維度為30維時，在六種改進PSO中，MFPSO 50次獨立實驗結果的均值在測試函數為F₁～F₅時最小，說明在低維單峰函數時MFPSO的收斂精度最佳。當測試函數為F₇、F₈和F₉時，MFPSO 50次獨立實驗結果的均值與MeanPSO、PHSPSO和TCSPSO相同且小于LDWPSO和MPSO，說明MFPSO的收斂精度居于六種算法中的第一序列；當測試函數為F₆時，MFPSO 50次獨立實驗結果的均值小于LDWPSO和MPSO，雖大于其他三種算法，但相差不大，表明MFPSO的收斂精度優于LDWPSO和MPSO；當測試函數為F₁₀時，MFPSO 50次獨立實驗結果的均值小于LDWPSO、 MPSO、MeanPSO和TCSPSO，說明此時MFPSO的收斂精度僅次于PHSPSO。

以上數據證明MFPSO在處理低維單極值問題時，收斂精度在六種算法中最優；在處理低維多極值問題時，收斂精度同樣具有較強的競爭力。

2.2.2 算法穩定性分析

如表5所示，MFPSO 50次獨立實驗結果的標準差同樣在測試函數為F₁～F₅時最小，此時MFPSO的穩定性在六種算法中表現最佳，當測試函數為F₇、F₈和F₉時，MFPSO 50次獨立實驗結果的標準差與MeanPSO、PHSPSO和TCSPSO相同且小于LDWPSO和MPSO，說明MFPSO的穩定性居于第一序列；在F₆時，小于LDWPSO和MPSO，說明MFPSO的穩定性優于LDWPSO和MPSO；在F₁₀時，小于LDWPSO、MPSO、MeanPSO和TCSPSO，表明此時MFPSO的穩定性僅次于PHSPSO。

上述分析表明，當面對低維函數單極值問題時，MFPSO的穩定性極佳，在面對低維多極值問題時，MFPSO的穩定性不弱于LDWPSO、MPSO、MeanPSO和TCSPSO。

2.2.3 算法收斂速度分析

圖7為處理30維的不同測試函數時，各算法在50次實驗中適應度最小的一次實驗的適應度收斂過程。從圖7可看出，除當測試函數為F₁₀時MFPSO到達相同精度需要的迭代次數多于PHSPSO外，當測試函數為其他函數時，MFPSO到達相同精度需要的迭代次數遠少于其他五種對比算法。說明除當測試函數為F₁₀時，MFPSO的收斂速度遠快于其他對比算法，當測試函數為F₁₀時，MFPSO的收斂速度僅次于PHSPSO。說明本文提出的混合策略解決了粒子群算法收斂速度慢的問題。

2.2.4 改進算法處理低維問題性能總結

從以上分析可得，當測試函數維度為30維時，MFPSO在處理單極值問題時時，算法的收斂精度、收斂速度和穩定性均明顯優于其他五種改進粒子群算法；雖當測試函數為F₆和F₁₀時，MFPSO的收斂精度劣于部分算法，且當測試函數為F₁₀時MFPSO的收斂速度不及PHSPSO，但在其他情況下，MFPSO的性能均居于六種算法中的第一位。綜上所述，本文改進的MFPSO算法整體性能優于其他五種改進算法。

2.3 高維時與其他改進PSO算法對比實驗分析

當測試函數維度為100維時，50次獨立實驗結果的均值和標準差如表6所示。由表6可得，當測試函數為單極值函數（F₁～F₅）時MFPSO的收斂精度和穩定性表現最佳。當測試函數為F₇、F₈和F₉時，MFPSO的收斂精度和穩定性與MeanPSO、PHSPSO和TCSPSO相仿，四者優于LDWPSO和MPSO；當測試函數為F₆時，MFPSO的收斂精度和穩定性優于MeanPSO、LDWPSO和MPSO；當測試函數為F₁₀時，MFPSO的收斂精度和穩定性優于MeanPSO、LDWPSO、 MPSO和TCSPSO。

為進一步確定算法的性能，圖8為處理100維的F₆～F₁₀時，各算法在50次實驗中適應度最小的一次實驗的適應度收斂過程。從圖8可看出，當測試函數為F₆～F₁₀時，MFPSO的收斂速度在六種算法中最快。

從以上分析可得，相較于其他改進算法，MFPSO的整體性能在F₁～F₅和F₇～F₉時最優。在F₆時，雖收斂精度和穩定性較弱于PHSPSO和TCSPSO，但收斂速度優于兩者；在F₁₀時，雖收斂精度和穩定性較弱于PHSPSO，但MFPSO的收斂速度更優。

上述分析證明在面對高維問題時，相較于其余五種改進粒子群算法，MFPSO的整體性能更優越。

2.4 實驗結果總結

綜合以上實驗數據和分析，不管是處理高維還是低維的單極值問題，MFPSO都有著極快的收斂精度、收斂速度和穩定性；在面對多極值問題時，MFPSO也有著優秀的表現。從與其他改進粒子群算法的對比結果來看，MFPSO的整體表現遠優于其他五種對比改進粒子群算法。

3 結束語

本文提出了一種多策略融合的改進粒子群算法，算法通過利用中垂線算法收斂方法使得游離粒子能快速接近目標區域，增強算法的收斂速度，以在最優粒子附近生成爆炸粒子的策略增強算法的收斂精度；設計了一種新的速度更新策略以適應前兩條策略；最后，融合了PHSPSO的慣性權重更新方法和粒子位置更新方法。實驗結果表明，本文的多策略融合粒子群優化算法性能優越，提出的采用中垂線算法收斂策略的粒子更新方法和最佳粒子爆炸方法為提升粒子群算法的收斂精度和收斂速度提供了一種新策略。

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