一種低復雜度的魯棒自適應波束形成算法

摘 要：傳統基于干擾噪聲協方差矩陣（interference-plus-noise covariance matrix，INCM）重構的魯棒自適應波束形成（robust adaptive beamformer，RAB）算法在多種樣本數據協方差矩陣誤差和信號導向向量誤差的失配環境中具有較強的魯棒性，但目前主流的INCM重構法都是對信號和干擾的導向向量通過建立凸優化模型來估計的，這帶來了很高的計算復雜度。為了解決這個問題，提出了一種低復雜度的基于INCM重構的RAB算法。該算法首先將干擾信號的導向向量分解為對應標稱項和誤差項的和，然后通過一種子空間方法估計得到誤差項的單位向量。接下來對一個Capon空間譜功率最大問題進行求解，得到誤差項的模值，以此得到重構的INCM。同時利用Capon空間譜中殘差噪聲的存在，使用交替投影法估計得到期望信號的導向向量，最后得到所提算法的權重向量。仿真實驗表明，所提算法在多種誤差環境下具有較強魯棒性的同時，還具有較低的計算復雜度。

關鍵詞：協方差矩陣重構；特征分解；魯棒自適應波束成形；導向向量估計

中圖分類號：TN911.7 文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2022）11-035-3422-05

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2022.03.0154

Novel robust adaptive beamforming with low complexity cost

Yao Hao，Wu Yue

（College of Computer Science，Sichuan University，Chengdu 610041，China）

Abstract：The traditional robust adaptive beamforming （RAB） algorithm based on interference-plus-noise covariance matrix （INCM） reconstruction has strong robustness in many mismatched environment with sample data covariance matrix errors and signal steering vector errors.However，the current main methods of INCM reconstruction estimate the steering vector of signal and interference by establishing convex optimization model，which leads to high computation complexity.To solve this problem，this paper proposed an RAB algorithm based on INCM reconstruction with low computation complexity.Firstly，it divided the steering vector of interference signal into two parts，namely the nominal vector and the mismatch vector，estimated the unit vector of the mismatch vector based on a subspace method，and solved a Capon spectrum power maximization problem to reconstruct the INCM.Meanwhile，using the existence of residual noise in the Capon spatial spectrum，this paper estimated the stee-ring vector of desired signal by the alternating projection algorithm，and finally the proposed method obtained the weight vector.Simulations demonstrate the robustness of the proposed RAB algorithm at a cost of low computational complexity in cases of various mismatches.

Key words：covariance matrix reconstruction；eigenvalue decomposition；robust adaptive beamforming；steering vector estimation

基金項目：成都市科技局重點研發支撐計劃資助項目（2019-YF05-00998-SN）

作者簡介：姚昊（1996-），男，浙江湖州人，碩士研究生，主要研究方向為陣列處理、波束形成；武岳（1982-），男（通信作者），四川成都人，教授，博導，博士，主要研究方向為陣列信號處理、統計信號處理、智能信息獲取與處理、聲信號處理、無線傳感網、無線通信（ivan.wuyue@scu.edu.cn）.

0 引言

自適應波束形成算法被廣泛應用于雷達和聲納、MIMO無線通信、目標檢測等領域^［1］，其旨在對指定方向上的期望信號進行維持或者加強，并抑制其他方向上的干擾信號和噪聲。然而在現實系統中，由于諸如信號的快拍數、陣列幾何結構、DoA方向等先驗信息的缺失，以最小方差無失真響應（minimum variance distortionless response，MVDR）為代表的傳統自適應波束形成性能會大幅度下降^［2］。為了彌補這個缺點，出現了許多對RAB的研究。其中最著名的要屬對角加載技術 ^［3］，即對給樣本數據協方差矩陣的對角元素增加一個相同的系數，以降低小樣本下樣本數據協方差矩陣估計不準的影響。這種方法最大的缺點在于該系數是一個經驗值，故難以確定。考慮到這點，出現了基于不確定集的方法，如最差情況性能最優方法^［4］、雙約束魯棒Capon波束形成器^［5］等，將對對角加載系數的選取轉換為對不確定集約束的選取，但這也并沒有改變需要人為設置參數的本質。為了解決這個問題，上述兩種模型有諸多變體，如文獻［6］提出了一種自適應估計誤差范數上界的方法。除此之外，基于不確定集的方法一般要求解一個凸/非凸優化問題，這導致了較高的計算復雜度。而作為另一種經典的RAB方法，收縮法認為單純的對角加載技術欠缺對樣本數據協方差矩陣權重的考慮，所以使用最小化MSE的方式以自適應得到兩個對角加載系數^［7］。除此之外，基于特征空間的方法^［8］也對任意的導向向量誤差有不錯的魯棒性，但在低SNR情況下，由于信噪子空間難以分離，其魯棒性會嚴重下降。

以上方法并沒有改變一個事實，即所使用的協方差矩陣依然是樣本數據協方差矩陣或者其變體。所以在信號的導向向量出現誤差的場景下，當期望信號的SNR較高時，傳統的RAB算法會將期望信號當成干擾進行抑制^［9］，這嚴重制約了傳統RAB算法的性能。為了改變這一點，越來越多的工作將目光投放到重構INCM上，這能直接解決期望信號在樣本中存在的問題。Gu等人^［10］首先提出對干擾和噪聲所在區間進行Capon空間譜積分來重構INCM。基于他們的工作，Huang等人^［11］通過對干擾信號的導向向量的環狀表面進行積分來進一步提高積分域的準度，帶來更高性能的同時也導致了更高的復雜度。

但這帶來一個問題，由于早期的INCM重構法是先重構INCM，再利用重構后的INCM來估計信號的導向向量，所以無法保證重構時所使用的導向向量預估計值的精度。所以近幾年來出現了一種先估計導向向量，再重構INCM的技術路線^{［9，12～18］}，如文獻［8］使用交替投影法，將干擾的導向向量估計為子空間的交集，該算法在大部分誤差環境下魯棒性很強，并具有較低的時間復雜度，是目前一種較為成熟的RAB設計。Zheng等人^［12］首次將基于不確定集的波束形成法運用于干擾的導向向量估計，開創了構建凸優化模型來解導向向量的先河。Zhu等人^［13］首次提出Capon空間譜中存在殘差噪聲這一概念，通過將其去除可以提高信號功率估計的精度，并在后續工作^［14］中將殘差噪聲重構的INCM用于建立關于干擾信號導向向量的凸優化模型，得到了更精準的結果。文獻［15］將殘差噪聲與特征子空間結合起來，獲得了更為精確的干擾子空間。Sun等人^［16］提出了一種基于子空間梯度向量的方法去估計所有信號導向向量的誤差向量。Chen等人^［17］直接通過一種不確定集壓縮方法來估計INCM的誤差矩陣。

Zheng等人^［18］整理了近幾年INCM重構法的研究現狀，其中上述介紹的第二條技術路線已經成為了INCM重構法的主流。但也存在著一些問題，如對于導向向量估計往往是估計其誤差項，誤差項的估計法主要有基于優化模型的方法和譜遍歷的方法，這兩種方法都需要人為設置區間參數。如果在一個誤差未知的環境下，其不具備魯棒性。而文獻［19］介紹了多種自適應的估計導向向量的方法，但由于其實現往往是解一個非凸優化模型，復雜度較高，實用性并不是很強。

針對上述問題，本文提出了一種基于INCM重構的RAB算法，可以自適應地估計導向向量誤差項的區間范圍，通過譜遍歷的方法得到其最優估計。

1 陣列模型

假設一共有J+1個遠場平穩窄帶信號以各自的DoA方向入射到陣列，其中包含1個期望信號和J個干擾信號，信號之間兩兩不相關。陣列由M個同向陣元組成。陣列的接受信號可以表述為

其中：a（·）表示信號的真實導向向量；n（t）是與期望信號和干擾信號無關的噪聲。波束形成器的輸出可以表示為

基于上述假設，式（5）有了更一般的表達：

這就是著名的樣本協方差矩陣求逆（sample matrix inversion，SMI）法。然而，當樣本的快拍數小時，R^不會收斂到R。并且當θ^₀估計不準時，使用R^反而會壓制期望信號，尤其是在信號的SNR較高時。注意導向向量會做范數假設，即‖a（·）‖=M。

2 算法模型

2.1 干擾信號的導向向量估計

干擾信號的DoA估計有多種方法，這里使用最基礎的譜峰搜索法：

即在信號j的假設DoA區間Θ_j上找到最大的Capon空間譜譜峰所對應的橫坐標。得到估計的DoA之后，信號j的真實導向向量a（θ_j）可以拆成理論項和誤差項的和，即

其中：e_j又可以分成（θ^_j）的平行分量和垂直分量。

根據式（3）的定義可知，w的任意常數倍不會影響陣列的輸出SINR，即e_j，‖的存在不會影響RAB的性能。所以e_j，⊥可以視為真實誤差項的一種估計，即_j≈e_j，⊥=ε_jvj，其中ε_j是e_j，⊥的模，是未知量，v_j是e_j，⊥的單位向量。

根據文獻［20］定義子空間C_j如下：

其中：Δθ是Θ_j的大小。C_j可以理解為假設的信號j所在區間上所有導向向量撐起的子空間。對C_j進行特征分解，得

其中：λ_j，1≥λ_j，2≥…≥λ_j，M是C_j降序排列的特征值；u_j，M是對應的特征向量。由于信號子空間和噪聲子空間正交的性質，真實的a（θ_j）會正交于C_j的噪聲子空間，即其非主特征值對應的特征向量所組成的矩陣。那么可以將最小的特征向量u_j，M當成是v_j的粗略估計，即v_j≈u_j，M。這樣a（θ_j）的估計值表示為

顯然，當估計值（θ_j，ε_j）估計得越準確，即越接近真實值a（θ_j），其Capon空間譜功率越大。所以有以下的關系：

不等式的左邊是（θ_j，ε_j）的Capon空間譜功率P（θ^_j，ε_j），右邊是（θ^_j）的Capon空間譜功率P（θ^_j）。將式（13）代入式（14）的約束不等式可得

為了公式表述得更清楚，定義一些標量：

其中：{λ_m}^M_m=1是R^單調遞減的特征值；u_m是對應的特征向量；U_s=［u₁，u₂，…，u_J+1］為前j+1個主特征向量組成的子集合；Λ_s為前j+1個主特征向量組成的對角陣。span{U_s}為U_s的列向量張成的信號子空間，同理噪聲子空間就是span{U_n}。根據文獻［18］，真實期望信號的導向向量a（θ₀）位于span{U_s}中。另外，根據文獻［21］，a（θ₀）同樣位于導向向量的預估計值的Capon空間譜積分所重構的信號協方差矩陣R^_s的信號子空間中。R^_s可以通過對包括期望信號和干擾信號的區間Θ_s上的Capon空間譜積分得到：

如果把P（θ）=1/（（θ）R^^H（θ））直接作為（θ）空間譜功率的估計，當信號快拍數較小時，R^_s與理論值R_s會有較大的差距。文獻［13，14］認為P（θ）中除了信號功率還存在殘差噪聲，它可以近似為只包括噪聲的區間Θ_n上的平均功率：

其中：T是Θ_n上的采樣點個數；θ_t是離散的采樣點。

所以可以得到更精確的信號協方差矩陣：

類似式（13）對_s進行特征分解得到：

其中：{μ_m}^M_m=1是單調遞減的特征值；v_m是對應的特征向量。可以類似文獻［12］那樣，通過設置一個邊界閾值來得到此時的主特征值數量L。

然后構建前L個主特征向量組成的子集合V=［v₁，v₂，…，v_L］，所以新的信號子空間就為span{V}。根據上述的討論，a（θ₀）位于span{U_s}和span{V}兩個子空間的交集上，即

基于交替投影理論^［22］可以得到a（θ₀）的迭代表達式：

2.3 重構INCM

其中：I_M是M維的單位矩陣。噪聲的功率²_n可以通過殘差噪聲功率²_n得到：

2.4 得到波束形成器的加權向量

得到期望信號的導向向量的估計和重構的INCM后，根據式（5）得到所求的加權向量w。

2.5 時間復雜度分析

所提RAB算法中，主要的時間復雜度為特征向量分解和ε_j的遍歷。前者時間復雜度是O（JM³），后者時間復雜度是O（NM³）。J是信號個數，M是陣元個數，N是采樣點個數。所以最終的時間復雜度就是O（max（J，N）M³）。

3 實驗仿真

3.1 實驗設置

仿真的信號都是遠場窄帶平面波。陣列是由10個陣元組成的均勻線陣（uniform linear array，ULA），陣元間距是信號波長的一半。一共有三個信號入射到該陣列上，其中期望信號的真實DoA θ0=3°，兩個干擾信噪比（interference-to-noise，INR）都是20 dB的干擾信號的真實DoA分別為θ1=-30°和θ2=40°。但關于信號和干擾的DoA先驗信息未知，所以假設入射方向為0=5°，1=-33°和2=37°。噪聲是一個具有零均值和單位方差的時空對稱復高斯過程。并假設期望信號的DoA所在區間Θs=［0-8°，0+8°］，干擾的DoA所在區間Θi=Θ1∪Θ2=［1-8°，1+8°］∪［2-8°，2+8°］，這些區間的角度間隔設為0.5°。一共執行100次蒙特卡羅數值仿真。

控制變量分別為期望信號的SNR和樣本快拍數的個數。使用陣列的輸出SINR作為性能分析的參考。當使用SNR作為控制變量時，樣本快拍數固定為30個；當使用樣本快拍數作為控制變量時，SNR固定為10 dB。作為對照的最優SINR使用式（6）得到。提出的RAB算法一共與七種基于INCM重構的RAB算法進行對比：a）基于線性Capon空間譜積分估計INCM的方法（INCM-linear）^［24］；b）基于環形表面積分估計干擾協方差矩陣的方法（INCM-annulus）^［10］；c）使用RCB標準估計干擾導向向量的方法（INCM-RCB）^［14］；d）利用求子空間交集以估計干擾導向向量的方法（INCM-subspace）^［8］；e）基于干擾導向向量的梯度向量估計的方法（INCM-gradient）^［15］；f）基于INCM誤差矩陣收縮估計的方法（INCM-USS）^［16］；g）使用殘差噪聲重構的INCM去估計干擾向量的方法（INCM-residual）^［13］。

3.2 DoA誤差

在這里例子中，每次蒙特卡羅實驗的期望信號和干擾信號的真實DoA是不同的，與3.1節中的DoA設置的真實值之間存在［-4°，4°］的均分分布誤差。

由圖1（a）（b）可見，INCM-subspace、INCM-gradient、INCM-residual、INCM-USS和本文算法這五種算法的性能明顯強于INCM-linear、INCM-annulus和INCM-RCB，并且本文算法在SNR大于-5 dB時，性能僅略輸于INCM-subspace。

圖1（c）說明除INCM-RCB之外，剩余七種都能快速收斂，并且INCM-subspace、INCM-gradient、INCM-residual、INCM-USS和本文算法這五種算法與理論最優值非常接近。

圖2是關于期望信號在DoA誤差范圍［-4°，4°］中固定DoA實驗條件下各種RAB的性能對比，其中期望信號的SNR為10 dB，快拍數為30。從圖中看出，INCM-subspace、INCM-gradient和本文算法這三種RAB隨DoA誤差的增大，SINR基本呈現一條直線，說明可以有效地對抗較大范圍的DoA誤差。

3.3 陣元間距誤差

在該實驗中，作為仿真的陣元間距不再是固定值，實際值與理論值的誤差服從［-0.05λ_s，0.05λ_s］的均勻分布，其中λ_s為信號波長。

從圖3（a）看出，當SNR小于6 dB時，INCM-RCB明顯優于其他的RAB；但超過這個值，INCM-RCB性能會下降。圖3（b）顯示INCM-gradient、INCM-subspace和本文算法幾乎性能一致，在較廣的SNR域內能達到不錯的性能。

圖3（c）顯示INCM-RCB對快拍數更敏感，小樣本情況下性能很差，但當快拍數足夠大時，其性能會有較大提升。除此之外的RAB都能快速收斂到一個穩定的狀態，并且INCM-linear、INCM-annulus、INCM-residual、INCM-subspace、INCM-gradient和本文算法性能幾乎相同，都能達到一個較優值。

3.4 陣列的增益和相位誤差

3.5 波束方向圖

圖5是在沒有任何實際失配誤差，先驗信息全部已知的情況下，設置期望信號的SNR為10 dB，快拍數為30，根據仿真實驗中表現最為優秀的INCM-gradient、INCM-subspace和本文算法三種RAB對應的波束方向圖。

由圖5可知，這三種表現類似的方法都能形成對準期望信號方向的主瓣，且在干擾方向上形成相應的零陷，從而完成干擾抑制與不失真接受期望信號的任務。同時可以觀察得到，這三種算法的主瓣寬度基本一致，但本文算法的零陷深度明顯最深，即抑制干擾能力更強。

3.6 運行時間比較

本文統計了上述八種RAB單次模擬的平均運行時間，如表1所示。所有的模擬實驗都是在具有24 GB RAM和Intel^? Core^TM i7-8700 3.20 GHz的同一臺計算機上進行的。 在這些性能相似的RAB中，如INCM-subspace和INCM-gradient，可以看到本文算法具有最小的計算復雜度。

4 結束語

本文提出了一種基于干擾信號導向向量估計的INCM重構法和一種基于殘差噪聲的期望信號導向向量估計法。 前者是將實際干擾信號的導向向量拆成理論向量和誤差向量之和，將對INCM的重構轉換為對干擾信號誤差向量的估計，并且通過求解最大化Capon空間譜功率得到了誤差項模的最優估計。期望通過殘差噪聲的去除，重構了期望信號的協方差矩陣，并通過一種基于子空間的方法估計出了期望信號。與現有方法相比，該方法幾乎可以達到最佳性能。同時，與其他性能相近的算法相比，該算法具有最小的計算量。最后，由于大部分RAB算法的研究都是基于窄帶信號，如何將算法推廣到寬帶信號場景是一個值得研究的方向。

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