用于函數優化和特征選擇的翻筋斗覓食海鷗優化算法

收稿日期：2022-05-12；修回日期：2022-07-01" 基金項目：國家自然科學基金資助項目（61463009）；貴州省自然科學基金資助項目（黔科合基礎［2020］1Y012）；貴州省教育廳創新群體重大研究項目（黔教合KY字［2021］015）；貴州省大數據統計分析重點實驗室開放課題（BDSA20190106）

作者簡介：徐明（1976-），男，湖北荊州人，教授，碩導，博士，主要研究方向為智能計算、機器學習、智能優化；龍文（1977-），男（通信作者），湖南隆回人，教授，碩導，博士，主要研究方向為智能優化算法、機器學習、特征選擇等（lw6822@163.com）；羊洋（1997-），男，湖南永州人，助教，碩士，主要研究方向為機器學習、統計優化及應用.

摘 要：

針對基本海鷗優化算法（SOA）在處理復雜優化問題中存在低精度、慢收斂和易陷入局部最優的不足，提出了一種基于翻筋斗覓食策略的SOA算法（SFSOA）。該算法首先采用基于倒S型函數的控制參數A非線性遞減策略更新海鷗個體的位置，以改善個體的質量和加快收斂速度；引入一種基于翻筋斗覓食策略的學習機制以增加海鷗個體位置的多樣性，避免算法在搜索后期陷入局部最優值。選取八個基準函數優化問題進行數值實驗，并與基本SOA、灰狼優化算法和改進SOA進行比較，結果表明，所提算法具有較高的解精度、較快的收斂速度和較強的全局搜索能力，能有效地處理復雜函數優化問題。最后，將SFSOA用于求解特征選擇問題，獲得了滿意的結果。

關鍵詞：海鷗優化算法；翻筋斗覓食策略；函數優化；特征選擇

中圖分類號：TP301.6"" 文獻標志碼：A""" 文章編號：1001-3695（2022）12-017-3639-05

doi："" 10.19734/j.issn.1001-3695.2022.05.0224

Somersault foraging seagull optimization algorithm for

function optimization and feature selection

Xu Minga，b， Long Wena，c， Yang Yangb

（a.Guizhou Key Laboratory of Big Data Statistics Analysis， b.School of Mathematics amp; Statistics， c.Key Laboratory of Economics System Simulation， Guizhou University of Finance amp; Economics， Guiyang 550025， China）

Abstract：

The basic SOA has some drawbacks such as low solution accuracy， slow convergence rate， and easy to fall into local optima while solving complex function optimization problems. This paper proposed an improved SOA based on somersault foraging strategy （SFSOA）. Firstly， the proposed SFSOA updated the positions of seagull individuals by using nonlinearly decrease strategy of control parameter A based on the inverted sigmoid function. This way improved individual solution quality and accelerates convergence speed of algorithm. Then， it introduced novel learning mechanism based on the somersault foraging strategy for the global best individual to increase the position diversity of seagull individual and avoid the algorithm falling into a local optimum at the lately stage. The proposed SFSOA was compared against the basic SOA， grey wolf optimizer （GWO）， and improved SOA （ISOA） by using eight complex benchmark function optimization problems. Experimental results reveal that the proposed SFSOA has higher solution accuracy， faster convergence rate and stronger global search ability than its competitors and can effectively deal with complex function optimization problems. Finally， SFSOA is applied to solve the feature selection problems and the satisfactory results are obtained.

Key words：seagull optimization algorithm（SOA）; somersault foraging strategy; function optimization; feature selection

0 引言

在科學研究、經濟、管理和工程應用領域中的許多問題通過數學建模可以轉換為求解函數優化問題。不失一般性，函數優化問題可表述為

min f（X）=f（x1，x2，…，xD）

s.t. li≤xi≤ui（1）

其中： f（·）表示目標函數；xi（i=1，2，…，D）為決策變量；D是待求優化問題的維數；ui和li分別為xi的上、下界。

式（1）所描述的優化問題通常具有非線性、多模態、不連續、不可分的特征，傳統基于梯度信息的優化方法難以有效地進行求解［1］。群體智能優化算法如粒子群優化算法（particle swarm optimization，PSO）［2］、人工蜂群（artificial bee colony，ABC）［3］、灰狼優化（grey wolf optimizer，GWO）［4］、麻雀搜索算法（sparrow search algorithm，SSA）［5］、飛蛾火焰優化（moth flame optimization，MFO）［6］、混合蛙跳算法（shuffled frog-leaping algorithm，SFLA）［7］、鯨魚優化算法（whale optimization algorithm，WOA）［8］、算術優化算法（arithmetic optimization algorithm，AOA）［9］等是一類基于種群迭代的全局優化方法，具有原理簡單、容易編程實現和強并行性等特點，非常適合于求解復雜函數優化問題。近幾十年來，群體智能優化算法在求解復雜函數優化問題中得到了成功的應用［10］。

海鷗優化算法（SOA）［11］是2019年提出的一種新型群體智能優化算法，它模擬自然界中海鷗群體遷徙和捕獲獵物的行為。與PSO、ABC和GWO等群體智能優化算法相似，SOA也具有原理簡單、易于實現和全局尋優能力強的特點，因此廣泛應用于諸多領域如天線陣列合成［12］、特征選擇［13］、短期風速預測［14］、空氣污染分析與質量指數預測［15］、燃料電池建模［16］、并網混合可再生能源系統發電成本優化［17］、短期光伏功率預測［18］、光伏模型參數估計［19］等。 雖然SOA在工程領域有著成功的應用，但它在解決復雜優化問題時仍然存在低求解精度、早熟收斂等缺點。為了克服這些缺點，許多研究者提出了一些改進的SOA。 文獻［19］引入個體歷史最優信息、基于余弦函數的非線性控制參數策略和差分變異策略，提出一種混合SOA用于求解函數優化和光伏模型參數估計，但其僅限于基準測試問題，缺少在實際問題中的應用。文獻［20］結合非線性慣性權重參數策略和萊維飛行算子，提出一種改進SOA。然而，改進算法的性能僅與一些基本算法進行比較。文獻［21］采用Lévy飛行算子和變異策略，提出一種改進SOA用于求解全局優化和特征選擇問題，但其沒有與其他改進SOA的性能進行比較。文獻［22］結合WOA的強全局搜索能力，提出一種混合SOA，同時，引入Lévy飛行算子以避免算法出現早熟收斂。文獻［23］針對基本SOA容易陷入局部最優的不足，引入反向學習策略增加群體的多樣性，從而跳出局部最優值。 文獻［22，23］雖然改善了SOA的全局勘探能力，然而導致算法的收斂速度變慢。

盡管上述改進算法通過引入一些額外的算子或機制來改善基本SOA的搜索性能，但是沒有一種算法是完美的。無免費午餐定理［24］指出：沒有最適合解決所有優化問題的群體智能優化算法。 因此為了進一步改善基本SOA的性能，本文提出一種新的改進SOA（SFSOA）算法用于求解函數優化問題。對八個基準函數優化問題的仿真結果表明，SFSOA能有效地解決復雜函數優化問題。最后，將SFSOA應用于特征選擇，并與其他算法進行比較，結果表明SFSOA具有較強的求解精度和魯棒性。

1 海鷗優化算法

SOA是一種模擬海鷗群體遷移和捕食獵物行為的全局優化算法。首先在問題解空間中隨機產生N個候選解。在迭代過程中，SOA模擬一組海鷗如何從一個位置移動到另一個位置。為了避免相鄰個體之間發生沖突，在算法中使用了一個新變量A來計算新候選海鷗個體位置：

Cs=A×Ps（2）

其中：Cs表示不與群體中其他個體發生沖突的海鷗個體的位置，s=1，2，…，N，N為種群規模；Ps是當前個體的位置；A表示個體在給定搜索空間中的移動行為且計算公式為

A=fc－（t×（fc/tmax））（3）

其中：t為當前迭代次數；tmax表示最大迭代次數；fc稱為頻率控制參數，用來控制變量A從fc線性遞減到0。

在避免了相鄰個體之間的沖突之后，海鷗個體將朝著當前最佳相鄰個體的方向移動進行搜索：

Ms=B×（Pbs（t）－Ps（t））（4）

其中：Ms表示海鷗個體Ps朝最優個體Pbs移動的位置，B是一個隨機參數，負責平衡算法的勘探和開采能力。

B=2×A2×rd（5）

其中：rd是一個［0，1］的隨機數。

最后，每只海鷗個體根據當前最優個體位置更新位置：

Ds=|Cs+Ms|（6）

其中：Ds表示當前個體與最優個體之間的距離。

海鷗個體在遷移過程中用翅膀和重量保持高度，并在飛行過程中不斷改變攻擊角度和速度。海鷗個體采用螺旋運動方式攻擊獵物，其數學模型在x、y、z三維平面計算如下：

x′=r×cos（k）（7）

y′=r×sin（k）（8）

z′=r×k（9）

r=u×ekv（10）

其中：r表示螺旋運動的半徑；k是［0， 2π］的隨機數；u和v是常數。基于式（6）～（9），每只海鷗個體位置更新方式為

Ps（t）=（Ds×x′×y′×z′）+Pbs（t）（11）

算法1 海鷗優化算法

輸入：海鷗種群Ps。

輸出：最優海鷗個體Pbs。

初始化參數如A， B， fc， u， v， tmax。

在搜索空間中隨機產生N個個體構成初始種群，令t=t+1

while （t lt; tmax）

計算每只海鷗個體的適應度值

在（0，1）產生一個隨機數rd

在（0，2π）產生一個隨機數k

根據式（5）計算距離Ds

根據式（7）～（11）更新海鷗個體的位置

t=t+1

end while

return Pbs

2 改進海鷗優化算法

基本SOA有一些局限性，例如容易陷入局部最優值、后期收斂緩慢、勘探與開發能力不平衡等，在求解復雜優化問題時尤甚。為了改善基本SOA的不足，本文提出一種基于翻筋斗覓食策略的改進SOA（SFSOA）。需要強調的是，所提SFSOA不改變基本SOA的算法框架，僅通過引入兩種新策略改善SOA的性能。

2.1 非線性參數A策略

在SOA中，海鷗個體的遷移行為是算法的一種重要操作，通過引入一個參數A來控制海鷗個體位置，避免海鷗個體在飛行尋優過程中與其他相鄰個體發生碰撞，不產生重復的位置。因此，參數A在SOA搜索過程中對平衡算法的勘探和開采能力起重要作用。然而，從式（2）可以看出，參數A的值隨迭代次數增加從fc線性遞減到0。一般來說，fc的取值為2，即在SOA迭代過程中A的值由2線性減少至0。

在利用SOA解決優化問題中，其搜索過程非常復雜且呈現出一個非線性下降趨勢。同時，待求問題也需要算法的探索性和開發性行為發生非線性變化，以避免局部最優解。若控制參數A純粹地以線性遞減的方式模擬海鷗群體的遷移過程，就會降低SOA的尋優搜索能力。因此，本文提出一種基于倒S型函數的非線性遞減控制參數A策略，其數學表達式為

A=fc，max－（fc，max－fc，min）×11+eη－μt（12）

其中： fc，max和fc，min分別為頻率控制參數fc的最大值和最小值；η和μ均為常數。

從式（12）可知，在SOA的尋優過程中，參數A的值以非線性方式進行遞減可增強算法的全局搜索能力，同時既能避開海鷗個體之間的位置重疊，也可在全局探索和局部開發能力上獲得一個較好的平衡。圖1給出了控制參數A的值隨迭代次數增加以非線性遞減方式變化的曲線。

從圖1可以清晰地看出，與式（3）相比，式（12）有兩個不同的特征：a）非線性變化參數A更符合海鷗群體的實際遷移過程，前后期遞減緩慢和中期遞減加快的特點能提高SOA的精度和加快收斂；b）非線性變化參數A在迭代過程中更趨向于局部開發搜索（約占最大迭代次數的60%）。

2.2 翻筋斗覓食策略

在算法搜索后期，所有海鷗個體均向當前群體中最優個體所在區域靠攏，導致群體多樣性損失，如果當前最優個體不是全局最優解，則算法陷入局部最優，這是群體智能優化算法的固有缺點。為了克服這個缺點，研究者在群體智能優化算法中引入許多策略如變異算子、反向學習、Lévy飛行、透鏡成像學習、小孔成像學習等。

翻筋斗覓食是蝠鲼在捕食時最有效的一種方式，當找到食物源時，它們會做一系列向后翻筋斗動作，圍繞浮游生物（獵物）旋轉，將其吸引到自己身邊。受這種現象啟發，Zhao等人［25］提出了一種新型的翻筋斗覓食策略用于群體智能優化算法中，原理實現如下：在這種策略中，獵物的位置被視為一個支點，每只蝠鲼都傾向于圍繞樞軸和翻筋斗來回游動到一個新的位置，其數學模型為

X（t+1）=X（t）+S·（r1·Xbest－r2·X（t））（13）

其中：X為蝠鲼個體位置；Xbest是當前全局最優個體位置；S稱為空翻因子；r1和r2分別是［0，1］的隨機數。

為了降低SOA在搜索后期陷入局部最優的概率，將蝠鲼翻筋斗覓食策略引入到SOA中，其數學表達式為

Ps（t+1）=Ps（t）+S·（r1·Pbs－r2·Ps（t））（14）

其中：空翻因子S=2［25］。海鷗翻筋斗覓食示意圖如圖2所示。

從圖2和式（14）可以看出，在定義了翻筋斗范圍后，每只海鷗都可以移動到新搜索域中的任何位置，該搜索域位于當前位置與其圍繞目前找到的最佳海鷗位置的對稱位置之間。隨著當前海鷗個體位置與目前找到的最佳海鷗位置之間的距離減小，當前位置的擾動也會減小，所有個體逐漸逼近搜索空間中的最優解。因此，隨著迭代次數的增加，翻筋斗覓食的范圍自適應地減小，從而加速收斂。

組合上述兩個策略改進SOA，得到的SFSOA流程如圖3所示。

3 仿真實驗及比較

為了驗證SFSOA的性能，從文獻［19］中選取八個復雜基準函數優化問題進行仿真實驗。算法均由MATLAB R014a軟件編程實現，電腦硬件為：Windows 8.1 64位操作系統，Intel CoreTM i5-5200U CPU @ 2.20 GHz，內存4 GB。八個問題的詳細信息如表1所示。

在表1中，函數f1～f4是單峰函數，主要用來測試算法的局部搜索能力；f5～f8是多峰函數，用來研究算法的全局搜索能力及跳出局部最優的能力。八個函數優化問題的理論全局最優解均為0。

利用SFSOA對表1中的八個函數優化問題進行求解，并與基本SOA［11］、MSOA［12］和ISOA［14］進行比較。為了比較的公平性，四種算法的參數設置相同，即種群規模為30，最大迭代次數為500。在實驗中，所有優化問題的維數均設置為30。每種算法對八個函數優化問題均獨立運行30次以減少實驗誤差。表2給出了四種算法對八個函數優化問題的平均值和標準差結果。

從表2的比較結果可知，SFSOA在所有八個函數優化問題上均能獲得理論最優值0，且具有較強的魯棒性。與基本SOA、MSOA和ISOA相比，SFSOA在八個優化問題上均取得了較好的最優值、平均值和標準差。這說明引入非線性控制參數A和翻筋斗覓食策略對改進SOA的性能非常有幫助。另外，圖4給出了四種算法對八個問題的尋優收斂曲線。

從圖4中的尋優收斂曲線可以清晰地看出，與SOA、MSOA和ISOA相比，SFSOA在八個優化問題上均獲得了較快的收斂速度和較高的精度。

4 兩種改進策略的有效性分析

由表2中的實驗結果和圖4中的收斂曲線可知，SFSOA在八個函數優化問題上表現出優異的求解性能，但它是引入非線性參數A和翻筋斗覓食兩種策略的綜合結果。為了分析兩種改進策略的有效性，選取表1中的八個基準函數優化問題分別進行兩個不同的實驗，即在SOA中僅引入非線性參數A策略（記做SFSOA-1）和僅采用翻筋斗覓食策略（記做SFSOA-2）。算法參數設置與第3章相同。表3列出了SOA、SFSOA-1、SFSOA-2和SFSOA算法30次實驗的平均值結果比較。鑒于篇幅原因，圖5僅顯示了四種算法對兩個代表性優化問題（即f1和f5）的尋優收斂曲線。

由表3可知，與SOA相比，SFSOA-1在八個函數優化問題上均獲得了較好的平均值，這說明引入非線性參數A策略對改進SOA的性能有幫助，但是改進效果不是很明顯；而SFSOA-2獲得的結果明顯比SOA要優越很多，這說明采用翻筋斗覓食策略能夠跳出局部最優和加快收斂速度。除了函數優化問題f5，SFSOA-2和SFSOA在其他七個問題上均得到了相同的結果，但是SFSOA-2算法的收斂速度明顯比SFSOA要慢，從圖5中的尋優收斂曲線也能得出此結論。這也恰好說明只有同時采用非線性參數A策略和翻筋斗覓食策略改進SOA才能獲得較好的結果。

5 基于SFSOA的特征選擇

特征選擇是一種常用的數據降維方法，它是指從眾多特征中選擇出一組特征能使得系統性能最優。特征選擇通過數學建模后可轉換為求解一個多目標函數優化問題，其目標（適應度）函數可描述為［13］

fitness=（1－ρ）×E+ρ×|l||L|（15）

其中：E為分類器的分類錯誤率；ρ是權重系數；|l|表示算法所選擇的特征子集數；|L|為原始數據集的特征數。

為了進一步驗證SFSOA的尋優能力，本章將其應用于求解特征選擇問題。選取國際上通用的21個UCI數據集［26］進行數值實驗，它們的詳細信息如表4所示。

利用SOA、MSOA、ISOA和SFSOA對表4中21個UCI數據集進行特征選擇，結合包裹式方法和k-近鄰模型進行分類。為了比較的公平性，四種算法的參數設置相同，即種群規模為10，最大迭代次數為100，k=3，ρ=0.01。對于每個數據集，隨機選擇80%作為訓練集，剩下20%作為測試集。四種算法對每個數據集獨立運行10次，得到的平均分類準確率和平均所選特征數分別如表5、6所示。

從表5中的平均分類準確率可以看出，SFSOA的整體性能最好。SFSOA在所有21個數據集上均得到了比基本SOA更優的性能；與MSOA相比，SFSOA分別在13個和1個（即zoo）數據集上獲得了較好和相似的平均分類準確率。但是，MSOA在BreastEW、clean2、exactly2、HeartEW、KrvskpEW、vote和Waveform-EW數據集取得了較好的結果；與ISOA相比，SFSOA分別在15個和4個（即BreastEW、KrvskpEW、SonarEW和vote）數據集上獲得了較好和較差的平均分類準確率。兩種算法在兩個數據集（即clean2和PenglungEW）上得到了相似的結果。另外，對四種算法在21個數據集上所獲得的平均分類準確率進行Friedman排名統計檢驗［27］，結果顯示SFSOA排名第一，接著是MSOA、ISOA和SOA。

由表6可知，SFSOA在所有21個數據集上均獲得了比SOA更優的特征子集；除了Tic-tac-toe，SFSOA在其他20個數據集上獲得了比MSOA更少的特征數；與ISOA相比，SFSOA在12個數據集上所選擇的特征數要少，然而，對于其他9個數據集，ISOA所選擇的特征子集要更優。對四種算法在21個UCI數據集上所選擇的特征子集數進行Friedman排名檢驗，結果表明SFSOA獲得第一名，其后分別是ISOA、MSOA和SOA。

6 結束語

為改善基本SOA在函數優化和特征選擇上的求解效率，本文提出了基于翻筋斗覓食策略的改進SOA（SFSOA）。在SFSOA中，分析了控制參數A在算法搜索過程中的作用，在此基礎上提出了一種基于倒S型函數的非線性遞減策略替代原有線性策略，以改善解的精度和加快收斂。與此同時，在算法搜索后期，引入海鷗個體翻筋斗覓食策略跳入新的位置，從而擴大搜索范圍，以增強算法的種群多樣性，從而降低算法陷入局部最優的可能性。選取8個基準函數優化問題和基于21個UCI數據集的特征選擇問題進行數值實驗，結果表明，SFSOA在解質量、收斂速度、分類準確率等指標上均獲得了較大的提升。然而，SFSOA的有效性僅選取8個基準函數優化問題和包含21個UCI基準數據集的特征選擇問題進行實驗，還需要進一步通過大量的實例驗證。因此，SFSOA在不同優化問題如約束優化、多目標優化、工程優化問題中的應用是下一步的研究方向。另外，特征選擇是處理高維復雜數據的必要環節，大數據背景下高維數據相關特征的精確選擇、多種優化方法的融合及應用等都值得深入研究。

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