多策略協同優化的改進HHO算法

收稿日期：2022-05-24；修回日期：2022-07-18" 基金項目：教育部規劃基金青年項目（21YJCZH204）；遼寧省自然科學基金資助項目（2020-MS-301）；遼寧省教育廳項目（LJ2019JL017）

作者簡介：柴巖（1970-），女，遼寧阜新人，教授，碩導，碩士，主要研究方向為最優化理論與應用；任生（1997-），男（通信作者），遼寧葫蘆島人，碩士研究生，主要研究方向為最優化理論與應用（2996799376@qq.com）.

摘 要：

為進一步提升哈里斯鷹優化算法（HHO）的收斂精度和迭代速度，提出一種多策略協同優化的改進HHO算法（MSHHO）。首先采用拉丁超立方抽樣方法初始化種群，加強個體在解空間區域的均勻化分布程度；其次引入融合萊維飛行的自適應阿基米德螺旋機制于局部搜索階段，完善算法開采機制并有效增強個體鄰域的搜索嚴密性，提高算法收斂精度；最后鑒于算法在迭代后期易于陷入局部極值情形，采取柯西變異和反向學習的混合變異策略交替擾動最優個體以助其快速逃離局部極值區，加快算法迭代速度。通過對基準測試函數的求解對比分析、Wilcoxon秩和檢驗和CEC2014復雜函數對比分析，證實了改進算法優異的尋優性能和穩健的魯棒性。

關鍵詞：哈里斯鷹優化算法；拉丁超立方抽樣；萊維飛行；自適應阿基米德螺旋；混合變異

中圖分類號：TP301.6"" 文獻標志碼：A""" 文章編號：1001-3695（2022）12-020-3658-09

doi："" 10.19734/j.issn.1001-3695.2022.05.0246

Improved HHO algorithm based on multi-strategy cooperative optimization

Chai Yan， Ren Sheng

（College of Science， Liaoning Technical University， Fuxin Liaoning 123000， China）

Abstract：

In order to improve the convergence accuracy and iteration speed of Harris eagle optimization algorithm （HHO）， this paper proposed a multi-strategy cooperative optimization improved HHO algorithm （MSHHO）. Firstly， this paper used a Latin hypercube sampling to initialize the population to enhance the uniformity of individual distribution in the solution space. Secondly， it introduced the adaptive Archimedes spiral mechanism based on Lévy flight in the local search stage to improve the mining mechanism of the algorithm and effectively enhanced the search rigor of individual neighborhood to improve the convergence accuracy of the algorithm. Finally， considering that the algorithm was prone to fall into the local extremum situation at the later stage of iteration， it adopted the hybrid mutation strategy of Cauchy mutation and reverse learning to alternate the optimal individuals to help them escape from the local extremum region quickly and accelerate the iteration speed of the algorithm. Through the comparative analysis of the solution of benchmark function， Wilcoxon rank sum test and the comparative analysis of CEC2014 complex functions， it confirms the excellent optimization performance and robust robustness of the improved algorithm.

Key words：Harris eagle optimization algorithm; Latin hypercube sampling; Lévy flight; adaptive Archimedes spiral; hybrid mutation

0 引言

智能優化算法是基于自然界生物集群行為或自然現象規律而產生的一種尋優手段，因其具有靈活性、簡便性、高效性等特點被廣泛用于求解旅行商［1］、機器人路徑規劃［2］、車間調度［3］等眾多復雜的優化問題，并且效果顯著。自20世紀中后期，智能優化算法開始為大眾熟知，如模擬鳥群群體覓食行為的粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）［4］、基于螞蟻群體搜索最優路徑的蟻群算法（ant colony optimization， ACO）［5］、源于動植物演化機制的遺傳算法（genetic algorithm，GA）［6］等經典算法，隨著信息技術的高速發展，更多新型的智能優化算法為滿足實際需求被提出，如模擬灰狼等級和捕食機制的灰狼優化算法（grey wolf optimizer，GWO）［7］、基于座頭鯨捕食獵物行為的鯨魚優化算法（whale optimization algorithm，WOA）［8］、模擬蝴蝶覓食和交配行為的蝴蝶優化算法（butterfly optimization algorithm，BOA）［9］等。

Heidari 等人［10］通過研究分析哈里斯鷹群體圍擊獵物的生物行為，于2019年提出了哈里斯鷹優化算法（Harris hawks optimization，HHO），作為一種新型智能優化算法，該算法主要圍繞哈里斯鷹捕食過程展開，模擬了哈里斯鷹圍擊獵物的生物行為，具有原理易于理解、算法便于實現、全局探索能力強等特點，因此被廣泛應用于光伏電池組件識別［11］、圖像分割［12］等領域問題。但在求解復雜的高維優化問題時，HHO算法仍具有其他智能優化算法所存在的收斂速度慢、收斂精度低、容易產生早熟現象等問題。為此，一些國內外學者對HHO算法進行相關改進。

Jia等人［13］利用動態控制逃逸因子策略來協調HHO算法尋優的平衡性，并融入差分變異策略提升了算法的全局搜索能力; Wunnava等人［14］以均值化逃逸因子的方式平衡了算法搜索過程，并通過對比種群平均適應度和個體適應度來確定全局搜索公式；Guo等人［15］提出了佳點集初始化種群的方法來均勻化種群分布，并通過非線性自適應權重調節能量逃逸因子來提升算法性能；趙世杰等人［16］設計了一種周期性能量因子遞減策略，并依據牛頓迭代思想提出牛頓局部增強策略；Hussain等人［17］引入正余弦算法于HHO算法搜索階段并在局部開采過程添加增量因子，同時修改了能量逃逸參數來調控HHO算法搜索過程；郭雨鑫等人［18］使用精英反向學習初始化種群，并將黃金正余弦算法融入HHO算法的圍擊策略中來提高其局部開采的嚴密性；陳功等人［19］利用tent映射初始化種群，并融合互利共生思想增強了種群信息交流，最后提出透鏡反向學習策略擾動個體位置加快了算法的收斂速度。

上述改進文獻雖一定程度提升了HHO算法的收斂精度和迭代速度，但仍難以避免陷入局部極值、早熟收斂等問題，為此本文提出了多策略協同優化的改進HHO算法。首先利用拉丁超立方抽樣方法均勻化初始種群，夯實算法后續的尋優基礎；其次基于哈里斯鷹圍擊獵物過程嚴密性不足的情形，提出融合萊維飛行的自適應阿基米德螺旋機制來強化算法的局部開采階段，保證其擁有更加優異的求解能力；最后為最大程度規避局部極值對算法收斂的消極影響，引入柯西反向學習混合變異策略來擾動全局最優個體，幫助算法順利跳出局部極值區。通過仿真實驗佐證了MSHHO算法的極佳的尋優性能。

1 哈里斯鷹優化算法（HHO）

HHO算法以哈里斯鷹為待優化問題可行解，迭代初期的哈里斯鷹棲息在某處伺機觀察，通過以下兩種策略對獵物進行搜索，具體策略如下：

X（t+1）=Xrand（t）－r1|Xrand（t）－2r2X（t）|""" q≥0.5

（Xbest（t）－Xm（t））－r3（lb+r4（ub－lb）） qlt;0.5（1）

其中：X（t+1）和X（t）為哈里斯鷹第t+1次和第t次迭代位置；Xrand（t）和Xbest（t）分別為隨機個體和獵物位置；r1、r2、r3、r4、q分別為［0，1］的隨機數；Xm（t）為種群的平均位置，公式為

Xm（t）=1N∑Na=1Xa（t）（2）

在迭代搜索過程中，HHO算法以能量因子E實現全局搜索和局部開發的轉換，其公式表達如下：

E=2E01－tT（3）

其中：t和T分別為當前迭代次數和最大迭代次數；E0為［－1，1］的隨機數，表示初始能量值。當|E|≥1時，算法進行全局搜索，反之進行局部開發。

在確定獵物位置后，哈里斯鷹以四種可能的圍擊策略對獵物展開圍擊。參數α∈［0，1］表示獵物是否成功逃逸，并結合能量因子E的相對大小對圍擊策略進行選擇。

a）當|E|≥0.5且α≥0.5，哈里斯鷹以軟圍擊策略捕食獵物，此時獵物雖擁有足夠能量但因缺乏成功逃跑機會而被捕殺，個體位置更新公式為

X（t+1）=Xbest（t）－X（t）－E|PXbest（t）－X（t）|（4）

其中：PXr（t）－X（t）為獵物與當前哈里斯鷹的距離；P=2（1－r5）為獵物逃跑能力；r5為［0，1］隨機數。

b）當|E|lt;0.5且α≥0.5，哈里斯鷹采取硬圍擊策略捕食獵物，此時獵物因能量匱乏而被獵殺，個體位置更新公式為

X（t+1）=Xbest（t）－E|PXbest（t）－X（t）|（5）

c）當|E|≥0.5且αlt;0.5，哈里斯鷹采取漸進式俯沖快速的軟圍擊策略捕食獵物，此時獵物擁有足夠能量且逃跑成功概率較大，因此哈里斯鷹將采取更加嚴密的策略進行捕殺，公式為

X（t+1）=Y1" f（Y1）lt;f（X（t））Y2" f（Y2）lt;f（X（t）） （6）

Y1=Xbest（t）－E|PXbest（t）－X（t）|（7）

Y2=Y1+Q×LF（d）（8）

其中：f為目標函數；Q為d維隨機向量；LF為Lévy飛行函數。

d）當|E|lt;0.5且αlt;0.5，哈里斯鷹采取漸進式俯沖快速的硬圍擊策略捕食獵物，此時獵物逃逸成功機會較大但能量匱乏，哈里斯鷹以縮短和獵物平均距離捕殺獵物，具體公式為

X（t+1）=Y1" f（Y1）lt;f（X（t））Y2" f（Y2）lt;f（X（t）） （9）

Y1=Xbest（t）－E|PXbest（t）－Xm（t）|（10）

Y2=Y1+Q×LF（d）（11）

2 改進哈里斯鷹優化算法（MSHHO）

2.1 拉丁超立方抽樣

對于采用并行迭代方式尋優的智能優化算法，多樣性更為優異的初始種群奠定了算法求解基礎。標準HHO算法以rand函數隨機初始化種群個體，該方式生成的種群隨機性較高，但無法確保其均勻覆蓋于解空間區域，從而降低了算法后續的迭代效率。拉丁超立方抽樣［20］是一種分層抽樣手段，其主要特征為抽取樣本的均勻化程度高，相比于隨機抽樣方法更為有效，因此被廣泛應用于智能算法的初始化種群問題［21］。假設從D維向量空間抽取N個樣本，拉丁超立方抽樣步驟如下：

a）確定向量空間D和抽取樣本數N，并設一超立方體變量維度為D，變量xj∈［lb，ub］，j=1，2，…，D。

b）將變量xj的定義域［lb，ub］劃分為N個均等區間，即

lb=xj1lt;xj2lt;…lt;xjilt;…lt;xjN=ub

所以原超立方體被劃分為ND個小超立方體。

c）產生N×D的矩陣A，該矩陣的每列皆為N個均等區間的全排列組合。

d）矩陣A每行對應一個選定的小超立方體，在每個選定的小超立方體內隨機產生一個樣本，即可抽取到N個樣本。

圖1為標準HHO算法隨機初始化的種群分布，圖2為拉丁超立方抽樣初始化的種群分布，其中種群規模N=50。對比分析可知，圖1中存在個體聚集情形較嚴重，且左上角位置的空白區域較大，初始種群的均勻化程度偏低，而在圖2中個體均勻地存在于整個解空間，種群的區域覆蓋性偏高，并且不存在個體重疊現象，因此拉丁超立方抽樣方法生成的種群質量更高，多樣性更加優異。

2.2 融合萊維飛行的自適應阿基米德螺旋機制

在標準HHO算法中，哈里斯鷹以四種圍擊策略對獵物鄰域進行開采，此過程雖相對完善模擬了種群狩獵行為，但仍存在如下問題：a）軟圍擊和硬圍擊策略中均未建立于父代個體之上，削弱了父代個體與子代個體間的信息交流，并且僅以全局最優個體為指導進行位置更新的方式也將增大迭代后期種群多樣性缺失的可能性；b）快速俯沖軟圍擊和硬圍擊策略利用萊維飛行來擾動個體更新過程雖強化了算法尋優的隨機性，但萊維飛行手段只在個體陷入開采停滯時發揮作用，難以滿足算法總體的局部搜索過程；c）標準算法的四種圍擊策略皆未能充分利用全局最優個體進行迭代尋優，忽視了不同時期全局最優個體對種群個體更新的不同影響作用。

為解決上述問題，本文引入融合萊維飛行的阿基米德螺旋機制來提高標準算法的局部開采效益，并以自適應權重動態調節全局最優個體在不同階段所占比重。

2.2.1 融合萊維飛行的阿基米德螺旋公式

阿基米德螺線［22］是一點勻速脫離某一固定點并以恒定角速度繞該固定點轉動所生成的運動軌跡，其極坐標形式為

r=a+bθ（12）

其中：a為初始點至極坐標中心距離；b為螺線間距離；θ為極角。將萊維飛行策略與阿基米德螺線進行融合來開采個體鄰域范圍內的解，如式（13）（14）所示。

X（t+1）=Xbest（t）+|Xbest（t）－XLevy（t）|l cos（2πl）（13）

XLevy（t）=μ|α|1/β（Xr（t）－Xbest（t））（14）

其中：Xbest（t）為當前種群最優個體；XLevy（t）表示式（14）生成的萊維飛行解；l為［－1，1］的隨機數；Xbest（t）和|Xbest（t）-XLevy（t）|l分別對應阿基米德螺線的a和b；cos（2πl）則對應阿基米德螺線的極角θ；

Xr（t）為種群內部的隨機個體；μ和ν分別服從正態分布μ～N（0，σ2μ）和ν～N（0，σ2ν），且σ2μ和σ2v取值為

σμ=Γ（1+β）sin（πβ/2）Γ［（1+β）/2］β2（β－1）/21/β， συ=1（15）

其中：Γ為伽瑪函數；β的一般取值為（0，2］，本文取β=1。

該機制借助阿基米德螺線的旋轉特征，以一定角度和轉動間距搜索個體鄰域范圍，可避免算法遺漏部分解空間區域，最大限度地確保開采周密性；作為一種隨機游走方式，萊維飛行采用小步長搜索和大步長跳躍相結合的方式遍歷解空間，可有效擴大哈里斯鷹種群的搜索范圍，并更好地規避局部極值對算法尋優的消極影響。本文將萊維飛行策略融入阿基米德螺旋機制來搜索局部解，既可保證算法開采過程的嚴密性與準確性，增強局部搜索能力，又能在迭代后期提高算法的種群多樣性以避免早熟現象產生，優化了算法尋優精度和收斂速度。

2.2.2 自適應權重因子

本文提出一種自適應權重因子來動態調節全局最優個體在不同時期的螺旋機制中的影響程度，并以此來強化該機制在迭代過程的開采效益，自適應權重因子如式（16）所示。

w=1－（e（2.（1－t/T））－e（－2.（1－t/T）））（e（2.（1－t/T））+e（－2.（1－t/T）））（16）

其中：w為自適應權重因子；t為當前迭代次數；T為最大迭代次數。取T=500，自適應權重因子w隨迭代次數變化的曲線趨勢如圖2所示。

由圖2可知，曲線總體呈遞增態勢且遞增速度逐步加快，迭代前期權重因子w偏小，反應了全局最優個體在該時期對螺旋機制尋優的影響較小，種群個體可充分搜索鄰近區域；當算法處于迭代中后期時權重因子w偏大，全局最優個體增強了對個體位置更新的影響，并迫使種群個體向全局最優位置處靠攏，加快算法求解效率。聯合式（13）（16），融合萊維飛行的自適應阿基米德螺旋機制如式（17）所示。

X（t+1）=wXbest（t）+|Xbest（t）－XLevy（t）|l cos（2πl）（17）

2.3 柯西反向學習混合變異策略

標準HHO算法中，最優位置的產生依賴于哈里斯鷹群體的圍擊獵物行為，當種群個體因迭代次數遞增而趨于聚集時，最優個體將缺乏快速逃逸局部極值區的能力，從而使算法易出現早熟現象。因此本文引入融合柯西變異和反向學習的混合變異策略對當前最優解進行擾動處理，以確保算法在局部尋優時具有更大的種群多樣性，順利逃離局部極值的同時加快種群逼近最優位置的速度。

柯西變異源于柯西分布，由柯西分布機理可知，柯西分布函數曲線兩端較長，表明其可使個體更易逃離局部極值，而且較小的峰值將指導個體花費更少時間搜尋最優位置。因此將柯西變異算子引入HHO算法中，充分利用其擾動能力強的特點調控當前最優解，表達式如下：

X*best（t+1）=Cauchy（0，1）⊕Xbest（t）（18）

反向學習是2005年提出的一種新手段，其核心思想是根據當前解捕獲相應解空間內的反向解，通過對比兩者優劣保留較優解的方式引導個體尋優，將反向學習策略引入標準算法中，表達式如下：

Xbest′（t）=k1（ub+lb）－Xbest（t）（19）

X*best（t+1）=k2（Xbest（t）-Xbest′（t））（20）

其中：X′best（t）為第t次迭代時最優個體反向解；k1、k2分別為［0，1］的隨機數。

綜合上述策略，柯西反向學習混合變異策略的公式如下：

X*best（t+1）=Cauchy（0，1）Xbest（t）" Pgt;0.5

k2（Xbest（t）-Xbest′（t）） P≤0.5（21）

其中：Xbest′（t）來自式（19）；P為服從正態分布的隨機概率。當Pgt;0.5時，算法以柯西算子變異最優解，其強大的擾動能力可大幅提升最優解周圍的種群多樣性，在面對陷入局部極值的最優個體時，可助其快速逃逸以保證算法穩健尋優；當P≤0.5時，算法以反向學習策略擾動當前最優解，經反向學習生成的反向解可擴大種群的開采范圍，增加個體接近目標位置概率，且隨機值k1的動態變化一定程度提高了算法尋優速度。采用擾動最優個體的混合變異策略雖增強了算法脫離局部極值區的能力，但并不能確保變異后的位置一定優于原位置，因此本文在混合變異策略結束后采用貪婪算法比較兩者適應度值，以保存優勢個體，公式如下：

Xb=Xb" f（Xb）≤f（X*b）

X*b f（Xb）gt;f（X*b）（22）

2.4 改進算法實現流程

MSHHO算法偽代碼如下：

輸入：種群規模N，問題維度D，最大迭代次數T。

輸出：獵物位置Xbest及其適應度f（Xb）。

利用拉丁超立方抽樣方法初始化種群X

while（tlt;T）

計算個體適應度以確定當代最優個體

利用式（21）產生混合變異解，并以式（22）選擇優勢個體

更新能量因子E與自適應權重w

for i=1∶N

if |E|≥1//探索階段

以式（1）更新哈里斯鷹位置

else if |E|lt;1//開采階段

以式（4）（5）（6）（9）圍擊獵物

采用融合萊維飛行的自適應阿基米德螺旋機制強化圍擊策略，并根據強化前后的適應度值擇優保留個體位置

end if

end for

t=t+1

end while

2.5 時間復雜度分析

時間復雜度是衡量算法性能優劣的重要指標，其決定了代碼自身的運行效率，特別是在處理高維復雜的優化問題時，直接影響算法最終的尋優速度和求解精度。下面將對標準HHO和MSHHO算法的時間復雜度進行對比分析。

標準的HHO算法中，假設哈里斯鷹種群規模為N，搜索維度為D，最大迭代次數為T，適應度函數為f（x）。在種群初始化階段，設初始化參數時間為a0，產生每一維值時間為a1，此階段時間復雜度為

T1=O（a0+NDa1）=O（D）

在獵物位置更新和能量轉換階段，設個體每一維變量邊界檢查及處理時間為a2，個體適應度值的運算時間為f（D），種群個體對比歷史最優解時間為a3，個體執行式（3）實現能量轉換時間為a4。則該階段時間復雜度為

T2=O（T（N（Da2+f（D）+a3）+a4））=O（D+f（D））

在個體搜尋獵物階段，設產生隨機數q時間為a5，依據式（1）生成新個體每一維值的時間為a6，則該階段時間復雜度為

T3=O（T（a5+NDa6））=O（D）

在個體開采獵物階段，設產生獵物跳躍能力P的時間為a7，選擇圍擊策略時間為a8，采用式（4）～（6）（9）生成新個體每一維值的時間為a9，更新個體與原個體位置優劣的對比時間為a10，則該階段時間復雜度為

T4=O（TN（a7+a8+a10+Da9））=O（D）

綜上分析，標準HHO算法的時間復雜度為

THHO=T1+T2+T3+T4=3O（D）+O（D+f（D））=O（D+f（D））

在MSHHO算法中，種群規模、搜索維度、最大迭代次數、適應度函數的設定同標準HHO算法，因MSHHO算法未對全局探索階段的更新公式進行改進，此階段時間復雜度為T′3=T3；而MSHHO算法雖在種群初始化階段引入了拉丁超立方抽樣，但僅是對原隨機初始化種群方式進行替換，其時間復雜度并未改變，T′1=T1。

在獵物位置更新和能量轉換階段，設采用式（21）進行柯西反向學習混合變異策略擾動最優解時間為t1，執行貪婪原則時間為t2，以式（16）產生自適應權重因子時間為t3，其余環節復雜度同HHO算法，所以該階段時間復雜度為

T′2=O（T（N（Da2+f（D）+a3）+t1+t2+t3））=O（D+f（D））

在個體開采獵物階段，設融合萊維飛行的自適應阿基米德螺旋機制強化圍擊策略的時間為t4，通過適應度值判斷強化前后的優勢個體時間為t5，其余環節時間復雜度同HHO算法，則此階段時間復雜度為

T′4=O（T（N（a7+a8+a10+t5+Da9+Dt4）））=O（D）

綜上分析，MSHHO算法的時間復雜度為

TMSHHO=T′1+T′2+T′3+T′4=O（D+f（D））

因此，MSHHO算法的時間復雜度相比于HHO算法并未增加，兩者相同，并未增加計算負擔。

3 數值實驗

3.1 實驗設計與參數設置

為檢驗MSHHO算法良好的尋優性能，本文共設計五組實驗：實驗1對不同改進策略的有效性進行分析；實驗2將本文算法與其他文獻改進HHO算法進行對比分析；實驗3通過五種智能算法來證明本文算法在不同維度函數下優異的求解精度和低維下的迭代趨勢；實驗4以Wilcoxon秩和檢驗來證明MSHHO算法的顯著差異性；實驗5利用CEC2014復雜函數來進一步檢驗MSHHO算法的有效性和穩定性。

本文實驗均在MATLAB R2018b上進行，設置種群規模N=30，搜索維度D=30/50/100/300，最大迭代次數T=500，同時在16個基準測試函數上分別獨立運行30次來檢驗本文算法的改進性能，詳見表1。其中包括六個單峰（unimodal）函數、五個多峰（multimodal）函數以及五個固定維度（fix-dimension）函數；函數類型包括可分（separable）和不可分（non-separable）。

3.2 改進策略有效性分析

為驗證不同改進策略的有效性，將采用拉丁超立方抽樣方法初始化種群的HHO算法（HHO-1）、融合萊維飛行的自適應阿基米德螺旋機制的HHO算法（HHO-2）和引入柯西反向學習混合變異策略的HHO算法（HHO-3）分別與HHO算法在D=30條件下進行對比，并以平均值、標準差、最優值和最差值作為性能評價指標，尋優結果如表2所示。

由表2可知，三種改進策略均提升了HHO算法的尋優性能，并且融合三種策略優勢的MSHHO算法則進一步強化了標準算法。對于單峰函數f1～f4，HHO-2的各項指標值皆收斂至理論最優值，表明融合萊維飛行的自適應阿基米德螺旋機制可有效增強算法的局部搜索能力，而HHO-1和HHO-3的改進優勢雖無HHO-2顯著，但尋優精度仍領先于標準HHO幾個或幾十個甚至上百個數量級。在求解函數f5和f6時，三種策略的單獨改進結果均有不同程度的降低，但仍保持一定優勢，而MSHHO算法不僅在平均收斂精度和穩定性方面優于其他對比算法，而且在最優值處要高于HHO算法3、4個數量級，改進優勢顯著。對于多峰函數f7～f9，所有算法的各項評價指標相同且無任何差別，均可達到或接近于理論最優值，而在求解函數f10和f11時，三種策略的改進效果各有不同，特別是HHO-1和HHO-2的優勢顯著，反應了拉丁超立方初始化種群和螺旋機制強化算法開采過程可有效規避尋優過程的局部極值問題，并更好地提升算法性能。雖然MSHHO算法在函數f11上的最優值劣于HHO-2，但其各項指標要遠勝于HHO，且在函數f11上MSHHO算法的最差值優于HHO算法的平均收斂精度。而在固定維度函數f12～f16上，不同策略改進的HHO算法并未完全占據優勢，個別指標值弱于HHO算法，如HHO在函數f14上的標準差強于HHO-1。然而MSHHO很好地克服了各個策略的劣勢，并在各項指標上均優于HHO。

3.3 與其他改進HHO對比分析

為證明本文算法相比于其他文獻改進HHO算法更優的改進競爭力，將MSHHO算法與IHHO［16］、SCHHO［17］、EGHHO［18］在搜索維度D=50條件下進行對比分析，并以平均值、標準差和最優值作為性能評價指標，對比結果如表3所示。

由表3可知，MSHHO算法的求解性能優于IHHO、SCHHO、EGHHO，具有強勁的改進競爭力。對于單峰函數，MSHHO算法在f1～f4上的各項指標值皆為0，表明其優異的求解精度和穩定性，尋優性能遠遠領先于對比算法，而在求解函數f5和f6時，MSHHO算法的領先優勢相對偏小，但仍在函數f5上高于SCHHO算法3個數量級，并在函數f6上高于IHHO算法2個數量級。對于多峰函數f10和f11，MSHHO算法的平均值項和標準差項均優于對比算法，表明本文算法可有效克服局部極值在尋優過程中的不利影響并以良好穩定的態勢搜索可行解。盡管IHHO算法在函數f11上的最優值略高于MSHHO算法，但MSHHO算法的最優值仍大幅優于其他對比算法，反應了該算法可使全局搜索和局部開發更加充分進行，并在一定程度上提升了標準算法的收斂精度。對于固定維度函數，MSHHO算法在個別函數的個別指標項上存在一定劣勢，特別是IHHO在函數f16上的標準差優于本文算法，但MSHHO算法的平均收斂精度和最優值為理論最優值，整體求解性能依舊占據領先地位。

3.4 不同維度下算法對比分析

為檢驗本文算法在不同維度下的求解優勢，將MSHHO與PSO［4］、WOA［7］、GWO［8］、BOA［9］、HHO［10］在16個測試函數上進行對比分析，其中函數f1～f11的搜索維度為D=50/100/300，函數f12～f16為表1中的維度，求解結果如表4和5所示。

由表4和5可知，在不同維度下的單、多峰函數上，MSHHO算法的求解性能優于PSO、GWO、WOA、BOA、HHO，并且在固定維度函數上優勢顯著。

在50維條件下，MSHHO對函數f1～f4、f7、f9求解的各項指標值均為0，反映了本文算法優異的收斂精度和良好的穩定性，且在部分單峰和多峰情形下都可收斂至理論最優值。對于單峰函數f5和f6，MSHHO算法的各項指標雖未能達到最理想結果，但仍強于對比算法，并在平均收斂精度方面分別高于PSO算法8～9個數量級。在求解多峰函數f10和f11時，MSHHO的平均收斂精度明顯優于PSO、GWO、WOA和BOA，且至少高于對比算法5個數量級，而相對于HHO，雖僅取得1個數量級的領先優勢，但HHO在函數f10上的最優值項劣于MSHHO近4個數量級，反映了MSHHO算法在優勢情形下可有效規避局部極值的消極影響，并順利捕獲更優的收斂精度。在100維和300維的高維條件下，所有算法的各項指標值均發生不同程度的變化，而MSHHO算法受維度升高的影響最小，精度優勢依舊顯著，特別是在求解函數f1～f4、f7、f9時各項指標皆為理論最小值，沒有出現精度倒退的情形，對其他單峰和多峰函數尋優時的平均收斂精度仍優于對比算法，表明MSHHO擁有更強的全局搜索能力和局部開采能力。

對于固定維度函數，MSHHO算法的總體優勢相對偏小，個別指標項未能領先于對比算法，如PSO在函數f12上的標準差優于MSHHO，但MSHHO的平均收斂精度和最優值皆在函數f12上達到最優，并在其他函數上領先于對比算法。

為更加直觀地描述算法的迭代尋優過程，在搜索維度D=50條件下，圖3給出了六種算法在11個單、多峰函數和5個固定維函數獨立運行30次的平均收斂曲線。通過圖3可觀察到MSHHO算法的迭代趨勢明顯優于對比算法，并能夠以較快的收斂速度實現尋優任務，特別是圖3（a）～（d）在迭代次數達到最大迭代次數的1/2上下時則已捕獲全局最優值，完全領先于對比算法。同時在面對局部極值區時MSHHO算法亦可有效擺脫其束縛來獲得更優的求解精度，如在圖3（j）（k）中迭代初期便以更快速度進行搜索尋優且迭代完成時的收斂精度勝于對比算法，證實了本文算法良好的求解性能。

3.5 Wilcoxon秩和檢驗

為探究本文算法的改進優越性，在顯著水平p=5%條件下，選取11個搜索維度D=50的單、多峰函數和5個固定維度函數，采用Wilcoxon秩和檢驗來驗證MSHHO算法是否與智能優化算法（PSO、GWO、WOA、BOA、HHO）以及其他文獻改進HHO算法（IHHO、SCHHO、EGHHO）存在顯著差異，結果如表6所示。N/A表示兩者性能相近且無法比較；+、=、-分別表示MSHHO性能優于、相近于、劣于對比算法。在16個測試函數中，絕大部分的p值均小于5%，反映了MSHHO算法總體上與對比算法具有顯著差異，并且求解性能優于對比算法。

3.6 CEC2014復雜函數分析

為進一步驗證MSHHO算法尋優的有效性和魯棒性，本文選取CEC2014復雜函數中的部分單峰函數（UN）、多峰函數（MN）、混合類型函數（HF）、復合類型函數（CF），如表7所示。實驗參數設置為：種群數量N=30，搜索維度D=30，最大迭代次數T=500。將本文算法與PSO、GWO、WOA、BOA、HHO、IHHO、SCHHO、EGHHO進行對比分析，并以平均值和標準差作為性能評價指標，獨立運行30次的測試結果如表8所示。

對于單峰函數CEC01，MSHHO的平均值和標準差皆優于對比算法，表明其具有更佳的求解精度和穩定性；在求解多峰函數時，MSHHO的平均值更接近理論最佳值，雖然在函數CEC06上PSO的標準差領先于其他算法，但MSHHO的標準差仍優于其余對比算法，穩定性優異；對于混合類型函數，MSHHO在函數CEC20和CEC21上表現出顯著優越性，而在求解函數CEC18時，IHHO擁有更優的平均收斂精度，但MSHHO的穩定性更佳。對于復合類型函數問題，MSHHO的平均值和標準差明顯優于對比算法，反映了其更加適用于處理此類問題。因此MSHHO算法在CEC2014函數上表現突出，驗證了本文算法尋優的有效性和魯棒性。

4 結束語

為有效提升標準HHO算法的求解性能，本文提出多策略協同優化的改進HHO算法。采用拉丁超立方抽樣方法初始化哈里斯鷹種群以使個體分布更加均勻，奠定了算法尋優基礎；提出融合萊維飛行的自適應阿基米德螺旋機制來完善圍擊策略，強化了算法局部搜索的嚴密性；引入柯西反向學習混合變異策略擾動最優個體來避免其陷入局部極值，加快了算法的尋優速度。數值實驗表明，MSHHO算法的不同改進策略有效性顯著，且對比文獻改進的HHO更具競爭力，同時本文算法提高了標準HHO面對不同維度函數問題時穩定的求解性能以及更優的顯著差異性，而CEC2014復雜函數則進一步佐證了MSHHO算法的求解有效性和魯棒性。后續工作主要為將改進HHO算法應用于多領域的實際優化問題。

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