考慮時間與能耗約束的柔性作業車間調度優化

收稿日期：2022-04-29；修回日期：2022-06-06" 基金項目：國家自然科學基金聯合基金資助項目（U1904167）；教育部人文社會科學規劃基金資助項目（18YJAZH125）；河南省高校科技創新團隊資助項目（21IRTSTHN018）；鄭州航院研究生教育創新計劃基金資助項目（2021CX08）

作者簡介：張國輝（1980-），男（通信作者），河南新鄉人，教授，碩導，博士，主要研究方向為智能調度（zgh_hust@qq.com）；衛世文（1994-），男，河南洛陽人，碩士研究生，主要研究方向為智能調度；張海軍（1983-），男，河南信陽人，副教授，碩導，博士，主要研究方向為數字孿生、優化算法；陸熙熙（1998-），女，河南商丘人，碩士，主要研究方向為智能調度.

摘 要：

隨著能源價格日益上漲以及國家節能減排措施的不斷推進，制造業正朝著綠色生產方向轉型。針對受調整時間和能耗約束的柔性作業車間調度問題，建立以最大完工時間、總調整時間和總能耗為目標的數學模型。設計改進的NSGA-Ⅱ與禁忌搜索結合的多目標混合算法（MOGATS）進行求解。算法設計三種初始化規則保證初始解的質量和多樣性。為提高算法搜索效果，將Pareto等級引入交叉算子中，并在變異算子中加入模擬退火算法提升算法的局部搜索能力。最后，在Pareto前沿中找到各個目標的最優個體作為初始解，進行禁忌搜索以提高解的質量。通過與其他算法的實驗結果進行對比，驗證MOGATS算法能夠有效求解考慮機器調整的柔性作業車間多目標問題。

關鍵詞：柔性作業車間調度；能耗；調整時間；多目標；模擬退火；禁忌搜索

中圖分類號：TH165"" 文獻標志碼：A""" 文章編號：1001-3695（2022）12-022-3673-05

doi："" 10.19734/j.issn.1001-3695.2022.04.0233

Optimization of flexible Job-Shop scheduling considering time and energy constraints

Zhang Guohuia， Wei Shiwena， Zhang Haijunb， Lu Xixia

（a. School of Management Engineering， b. School of Aeronautics amp; Astronautics， Zhengzhou University of Aeronautics， Zhengzhou 450046， China）

Abstract：

With the increasing energy prices and the national measures for energy conservation and emission reduction， the manufacturing industry is transforming towards green production. For the flexible Job-Shop scheduling problem constrained by adjustment time and energy consumption， this paper established a mathematical model with the objectives of maximum completion time， total adjustment time and total energy consumption. It designed a multi-objective hybrid algorithm （MOGATS） combining improved NSGA-Ⅱ with tabu search to solve the problem. It designed three initialization rules to ensure the quality and diversity of the initial solution. It introduced the Pareto rank into the crossover operator to improve the search effect of the algorithm and added the simulated annealing algorithm to the mutation operator to enhance the local search ability of the algorithm. Finally， it found the optimal individual of each objective as the initial solution in the Pareto frontier， and performed tabu search to improve the quality of the solution. By comparing the experimental results with other algorithms， it verifies that the MOGATS algorithm can effectively solve the multi-objective problem of flexible Job-Shop considering machine adjustment.

Key words：flexible Job-Shop scheduling; energy consumption; adjustment time; multi-objective; simulated annealing; tabu search

0 引言

近些年，隨著我國環保意識的增強以及能源消耗的提高，節能逐漸成為各行各業的共識。因此，制造業在生產過程中實現低碳環保是大勢所趨。而制造業的核心單位是車間，良好的車間調度可以使得車間進行高效有序的生產。柔性作業車間調度問題（flexible Job-Shop scheduling problem，FJSP）是傳統作業車間調度（Job-Shop scheduling problem，JSP）的延伸，對每個工件的工序排序和機器選擇同時提出優化的要求，很大程度上增加了調度的靈活性和計算的復雜度。為求解該類問題，研究人員利用遺傳算法［1］、蟻群算法［2］、粒子群算法［3］等收斂速度快、結構簡單的優點對其進行改進，取得了不錯的成果，但由于算法缺少動態調節容易陷入局部最優，所以研究人員為縮短計算時間、避免陷入局部最優，往往將多種算法混合使用，從而實現算法的優勢互補。例如陳廣鋒等人［4］利用禁忌搜索對遺傳迭代后的種群進行優化，克服了遺傳算法局部搜索能力差的問題，進而提高算法的求解質量；同樣，Xu等人［5］綜合了遺傳算法和禁忌搜索的優點對分布式柔性作業車間調度問題進行求解，利用實驗驗證了混合算法相對于遺傳算法和禁忌搜索算法無論在穩定性還是求解性能方面都具有優勢；由于NSGA-Ⅱ算法在多目標問題計算時的獨特性，研究人員常常對其進行改進用來求解多目標問題；為了兼顧算法的全局和局部搜索能力，Liu等人［6］將NSGA-Ⅱ遺傳算子與禁忌策略相結合，增強了算法的局部搜索能力，并利用實驗證明混合算法相對于NSGA-Ⅱ具有優越性。

在調度問題研究中，由于工件的運輸安裝與定位、機器的調整、工作臺的清掃與清屑等時間占總加工時間的90%以上［7］，所以輔助作業對系統的影響不容忽視。目前，對柔性作業車間調度的研究主要集中在以加工時間、能耗和輔助時間為對象的多目標問題，而對輔助作業產生的能耗并未進行系統的分析。例如吳秀麗等人［8］考慮了機器多轉速條件下的車間能耗問題，通過構建能耗計算模型，在不影響最大完工時間的條件下調節機器轉速來降低能耗；包哲人等人［9］對機械加工能耗曲線進行分析，設計具有記憶能力的粒子變異操作避免算法早熟，同時，引入慣性權重策略來平衡全局和局部搜索能力進而尋找最優解；王凌等人［10］考慮了帶峰值能耗的流水線調度問題，提出協同群智能算法設計多種搜索機制來改善性能。對輔助時間的研究集中在以運輸時間和調整時間等為約束的FJSP中。例如李明等人［11］考慮了順序準備時間約束的FJSP，根據問題特點將目標分配為關鍵問題和非關鍵問題，使用新型帝國競爭算法優化關鍵目標的同時不斷對非關鍵目標進行改進；陳魁等人［12］考慮運輸時間約束條件下的柔性車間調度問題，通過引入隨機重啟策略和學習競爭機制避免算法早熟，利用鄰域搜索提高粒子群算法的穩定性。近年來輔助時間約束條件下能耗問題研究越來越多。例如Ning等人［13］考慮了機器調整對調度的影響，采用雙鏈量子編碼的方式提出新的調度策略，通過改變機器的加工工序減少機器的調整時間和待機時間從而降低能耗；李俊青等人［14］考慮了運輸資源約束下的柔性作業車間調度能效問題，并使用改進的人工蜂群算法對問題進行求解；Jiang等人［15］在具有運輸時間和劣化效應約束情況下，考慮能量意識的柔性車間調度問題；同樣，Dai等人［16］研究柔性作業車間調度節能問題時，同樣考慮了運輸時間的約束；Zhao等人［17］建立了人機雙資源模型，以運輸時間和學習效果為約束，能耗、加工時間和噪聲為研究對象的多目標數學模型，通過混合離散帝國競爭算法求解；Zhang等人［18］考慮工件加工的全過程，研究以運輸時間、安裝時間和加工時間為對象的多目標問題，通過多種初始化方法及自適應權重機制對問題求解。

綜上所述，在問題研究方面，眾多學者對輔助時間和能耗作為目標有深入的研究，但對輔助操作產生的能耗尚未進行充分分析；在算法研究方面，提出了改進NSGA-Ⅱ算法和禁忌搜索結合的多目標混合算法，使其具有較強全局尋優能力的同時增強算法在局部的搜索性能。本文通過分析機器調整產生耗能和時間對系統的影響，以最大完工時間、總調整時間和總能耗為研究對象提出多目標混合算法。算法首先通過三種初始化規則保證初始解的質量和多樣性，并在交叉操作中使用基于Pareto等級的方法，將模擬退火引入變異操作中提高算法的尋優能力；然后，從改進的NSGA-Ⅱ算法產生的Pareto前沿找到各個目標最優個體，將其作為初始解，通過禁忌搜索來尋找最優解；最后，通過實驗驗證MOGATS算法的有效性。

1 問題描述與目標優化

1.1 問題描述

柔性作業車間調度問題是傳統作業車間調度問題的擴展，主要是解決機器約束條件下工件的排序問題。簡單可以表述為在M臺機器上加工N個工件，每個工件的工序數不盡相同且同一工件的每個工序在不同機器上的加工時間不同，不同工件在同一機器上加工時間也不同，問題假設如下：a）同一時刻一臺機器只能加工一個工件；b）工件一旦開始加工就不能中斷；c）機器加工每道工序時，對應的加工時間已知；d）每個工件的工序加工順序有先后之分，只有當前工序加工完成后才能加工后一道工序；e）零時刻所有機器準備就緒；e）工件加工前需要判斷當前工序與緊前工序的關系，若為同一個工件則不需要調整，反之，則需要調整且調整時間已知；f）機器的加工功率、調整功率和待機功率已知。

1.2 變量定義

該文相關變量的符號及定義如表1所示。

決策變量為Xijk，用來表示工件是否在機器上進行加工：

xijk=1" 工件i的第j 道工序在機器k上加工0" 工件i的第j 道工序不在機器k 上加工（1）

以最大完工時間、總調整時間、總能耗為優化目標，其目標函數及約束如下所示：

a）最小化最大完工時間。

實際生產中，通常需要得到加工完所有工件的最短調度來提高生產效率。其目標函數如式（2）所示。

f（1）=min（max Ci）" i=1，2，3，…，n（2）

b）最小化總調整時間。

調整時間對工件加工及排序影響很大，因此在進行調度排序時應盡量減少調整時間進而提升加工效率。目標函數為

f（2）=min（∑ni=1 ∑lj=1 ∑mk=1AijkXijk）（3）

c）最小化總能耗。

本文考慮了加工過程前后的能耗，即機器加工能耗、機器調整能耗和機器空閑能耗，目標函數為

f（3）=EA+Ep+EH（4）

EA=∑ni=1 ∑lj=1 ∑mk=1（PAijk×Aijk×Xijk）（5）

Ep=∑ni=1 ∑lj=1 ∑mk=1（Pijk×Tijk×Xijk）（6）

EH=∑ni=1 ∑lj=1 ∑mk=1（PHijk×Hijk）（7）

約束條件如式（8）～（10）所示。

∑mik=1Xijk=1（8）

Ci=Sijk+Aijk+Hijk+Tijk（9）

Oijk－Oi′j′k′≥Tijk+Aijk（10）

式（8）表示每道工序只能在一臺機器加工；式（9）表示工件完工時間為加工時間、調整時間與空閑時間之和；式（10）表示當前機器只能加工一個工件。

為便于理解，提供生產示例如表2所示。表2顯示機器處理不同作業時的加工時間、調整時間、加工功率和調整功率，表中“-”表示工件無法在對應機器上加工。以表2問題為例生成兩張甘特圖，其中圖1為不考慮機器調整的甘特圖，其最大完工時間為10，總能耗為22 230；圖2為考慮機器調整的甘特圖（淡黃色為機器調整時間），其最大完工時間為14，總能耗為33 720。顯然考慮機器調整比不考慮機器調整最大完工時間多4個時間單位，總能耗增加11 490，故實際生產中調整操作帶來的影響不能忽視，若不考慮機器調整產生的計劃其可靠性將會非常差。

2 多目標混合算法

2.1 編碼和解碼

本文采用的是兩段式編碼，解碼方法與文獻［7］相同。以表2問題為例編碼過程如圖3所示，圖3左側為工件每道工序可選的加工機器，右上側機器選擇段中整數表示在可選機器集合中選擇的加工機器（所選機器由左側黃色標出，見電子版），工序排序段為工件的加工順序，其中整數出現的次數表示當前工件的工序數，工序排序結果為右下側所示。

2.2 初始化

初始種群的質量對算法的收斂速度和搜索效果影響很大，因此，本文設計三種初始化規則以保證初始種群的質量和多樣性，根據完全隨機、最小加工時間和剩余加工時間的方法生成初始種群并按照1∶1∶1分配，初始規則如下：

a）完全隨機規則。對于工件排序和機器選擇部分，使用完全隨機方法生成。

b）最小加工時間規則。當前工件加工時選擇加工時間最短的機器進行加工。

c）剩余加工時間最小規則。對于工序排序部分，選擇當前操作剩余總處理時間最大的作業進行加工。

2.3 排序

將初始解進行非支配排序，區分個體的等級，為交叉變異操作提供基礎。非支配排序如圖4所示。

2.4 交叉操作

本文采用基于Pareto等級的交叉操作。若當前個體存在較小等級，則提高交叉和變異概率。父代個體的交叉率為

ls=max（lmax－lilmax－lmin，lmax－ljlmax－lmin）（11）

其中：ls為當前父代的交叉率；li和lj為父代個體的排序等級；lmax和lmin為排序的最高和最低等級。

2.5 變異操作

由于模擬退火算法具有較強的局部搜索能力，所以在變異算子中引入模擬退火策略可以有效提高算法的收效速度，同時避免陷入局部最優解。

算法1 變異操作中的模擬退火算法

輸入：初始溫度wd；終止溫度wdf；馬爾可夫鏈lk；擾動前后makespan的值s1和s2；溫度系數常數t；溫度衰減系數ta。

輸出：變異操作引入模擬退火操作后的染色體。

a） if wdgt;wdf;

b）" if nlt;lk;

c）"" 染色體工序部分中產生擾動，隨機產生三個位置，互換該位置的基因，產生多個鄰域個體;

d）"" if新解質量優于之前解的質量或es1－s2t×wdgt;rand;

e）"""" 用新染色體替換之前的染色體;

end;

n=n+1;

end;

wd=ta×wd;

end

2.6 禁忌搜索與選擇

為提高改進NSGA-Ⅱ算法解的質量，從Pareto前沿中選擇三個目標值分別最優的個體將其作為初始解，進行禁忌搜索。本文通過隨機移動產生鄰域結構，并將三組禁忌搜索得到的解匯總選擇出最優解，算法流程如圖5所示。

3 算法測試

3.1 多目標評價

求解多目標問題不同于單目標問題，后者只需求得最大或最小值即可，然而由于多目標問題中各個目標之間存在矛盾，求得最優解必然不可能是各個目標均最優的情況，而是一組Pareto解集［19］。故本文用反世代距離（inverted generational distance，IGD）對問題進行評價，IGD定義如式（12）（13）所示。

IGD（P，S）=∑|P|i=1d2i|P|（12）

di=minx∈S‖F（pi）－F（x）‖" pi∈P（13）

其中：di是Pareto近似前沿P上的參考點p與最近的解xi之間的歐氏距離，IGD的值越小表示解集的質量越好。

3.2 參數設置

針對交叉率、變異率、候選解個數和禁忌長度四個參數，每個參數有五個水平。采用Minitab軟件進行多因子正交實驗，對正交表進行正交分析得到均值主效應圖如圖6所示，根據實驗得到交叉率、變異率、候選解個數、禁忌長度分別是0.7、0.25、60、80。

3.3 實驗對比

將MOGATS算法與IGA［18］、GASA［20］和改進的帝國競爭算法（improved imperialist competition algorithm，ICA）［21］進行實驗對比，由于數據集中沒有調整時間、加工功率和調整功率，所以需要重新設置。已知不同機器存在不同的功率，且同一臺機器上調整功率和加工功率的相似性應該更高。基于此假設，將機器調整時間設置為r1×T，r1為均勻分布在（0.05，0.15）上的隨機數，T為工件的加工時間；機器的加工功率設置為r2×（2T+1），r2是均勻分布在（30，50）上的隨機數；機器的調整功率設置為r3×P，r3為均勻分布在（0.3，0.5）上的隨機數，P是同一臺機器上的加工功率。在MOGATS算法中NSGA-Ⅱ算法迭代次數為100次，禁忌搜索迭代次數為4 900次，IGA、GASA和ICA均迭代100次，種群個數均為40個。

3.4 實驗結果

基于BRdata數據集，對于每個實例算法各運行10次，實驗結果如表3所示，其中f1、f2、f3分別為最大完工時間、總調整時間和總能耗。在表3中可知，MOGATS算法偏向于f1和f2導致f3的值較大，通過橫向對比f1和f2的解及平均值可知MOGATS算法較其他三種算法更好，縱向對比可知，對于小規模問題如MK02和MK03，MOGATS算法得到的解均支配其他三種算法，對于大規模問題，MOGATS算法得到的f1值相對于其他算法優勢更加明顯，總體上看，MOGATS算法得到的解優于其他三種算法，且保證第一個優化目標f1質量的情況下，同時能夠使其他兩個優化目標得到不錯的值。綜上所述，MOGATS優于其他算法，證明了MOGATS算法能夠保證算法全局搜索能力的同時兼顧算法的局部搜索，從而算法可以得到優秀解。MK01問題MOGATS算法得到的甘特圖如圖7所示。

4 結束語

針對機器調整帶來的調整時間和調整能耗對系統的影響，本文建立了以最小化最大完工時間、最小化調整時間和最小化總能耗為研究對象的多目標優化模型，并提出了將改進的NSGA-Ⅱ算法與禁忌搜索相結合的多目標混合算法，旨在解決NSGA-Ⅱ算法易早熟收斂、陷入局部最優等問題。算法使用三種初始化規則，將基于Pareto算法的交叉算子和模擬退火的變異算子用來改進NSGA-Ⅱ算法，保證算法具有較強的全局搜索能力，然后在前沿面上找到三個目標分別最優的三個解，通過禁忌搜索來改善算法局部搜索能力較弱的問題，最后利用BRdata數據集進行實驗仿真。通過實驗結果進行對比，證明MOGATS算法在求解考慮機器調整的柔性作業車間調度問題的有效性。

由于在實際生產過程中機器調整對系統的影響不容忽視，所以，在面對機器調整的柔性作業車間調度問題時，利用多目標混合算法不僅能夠得到有效調度，而且可以對工件和機器進行合理分配，從而降低系統的總調整時間和總能耗。同樣，工件在機器間運輸產生的運輸時間和能耗問題仍然需要進一步研究。為此，筆者下一步將重點對機器調整和工件運輸對系統的影響進行分析，使研究內容更加貼合實際生產。

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